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5. 如图是一个平面直角坐标系。
(1) 请在图中描出以下$6$个点：$A(0,2)$，$B(4,2)$，$C(3,4)$，$A'(-4,-4)$，$B'(0,-4)$，$C'(-1,-2)$；
(2) 分别顺次连接点$A$，$B$，$C$和点$A'$，$B'$，$C'$，得到三角形$ABC$和三角形$A'B'C'$；
(3) 观察所画的图形，判断三角形$A'B'C'$能否由三角形$ABC$平移得到，如果能，请说出三角形$A'B'C'$是由三角形$ABC$经过怎样的平移得到的；如果不能，说明理由。
(1) 请在图中描出以下$6$个点：$A(0,2)$，$B(4,2)$，$C(3,4)$，$A'(-4,-4)$，$B'(0,-4)$，$C'(-1,-2)$；
(2) 分别顺次连接点$A$，$B$，$C$和点$A'$，$B'$，$C'$，得到三角形$ABC$和三角形$A'B'C'$；
(3) 观察所画的图形，判断三角形$A'B'C'$能否由三角形$ABC$平移得到，如果能，请说出三角形$A'B'C'$是由三角形$ABC$经过怎样的平移得到的；如果不能，说明理由。
答案
(1) 在平面直角坐标系中描出点 $A(0,2)$，$B(4,2)$，$C(3,4)$，$A'(-4,-4)$，$B'(0,-4)$，$C'(-1,-2)$。
(2 ) 分别顺次连接点 $A$，$B$，$C$ 和点 $A'$，$B'$，$C'$，得到三角形 $ABC$ 和三角形 $A'B'C'$。
(3) 三角形 $A'B'C'$ 能由三角形 $ABC$ 平移得到，三角形 $A'B'C'$ 是由三角形 $ABC$ 向左平移 $4$ 个单位，向下平移 $6$ 个单位得到的。
(2 ) 分别顺次连接点 $A$，$B$，$C$ 和点 $A'$，$B'$，$C'$，得到三角形 $ABC$ 和三角形 $A'B'C'$。
(3) 三角形 $A'B'C'$ 能由三角形 $ABC$ 平移得到，三角形 $A'B'C'$ 是由三角形 $ABC$ 向左平移 $4$ 个单位，向下平移 $6$ 个单位得到的。
6. 把点$P(m + 1,2m)$向右平移$1$个单位长度后，正好落在$y$轴上，则点$P$的坐标为()。
A.$(-1,-4)$
B.$(1,4)$
C.$(\frac{1}{2},-1)$
D.$(1,0)$
A.$(-1,-4)$
B.$(1,4)$
C.$(\frac{1}{2},-1)$
D.$(1,0)$
答案
A
解析
点$P(m + 1,2m)$向右平移1个单位长度后的新坐标为$(m + 1 + 1, 2m) = (m + 2, 2m)$。
新点落在$y$轴上，因此其$x$坐标为0，即：
$m + 2 = 0$
解得：
$m = -2$
将$m = -2$代入点$P$的坐标$(m + 1, 2m)$，得到：
$P(-2 + 1, 2 × (-2)) = (-1, -4)$
新点落在$y$轴上，因此其$x$坐标为0，即：
$m + 2 = 0$
解得：
$m = -2$
将$m = -2$代入点$P$的坐标$(m + 1, 2m)$，得到：
$P(-2 + 1, 2 × (-2)) = (-1, -4)$
7. 如图，在平面直角坐标系中，点$A$的坐标为$(2,0)$，点$B$的坐标为$(0,1)$，将线段$AB$平移，使其一个端点到点$C(3,2)$，则平移后另一端点的坐标为()。
A.$(1,3)$
B.$(5,1)$
C.$(1,3)$或$(3,5)$
D.$(1,3)$或$(5,1)$
A.$(1,3)$
B.$(5,1)$
C.$(1,3)$或$(3,5)$
D.$(1,3)$或$(5,1)$
答案
D
解析
题中给出点$A(2,0)$和点$B(0,1)$，将其线段$AB$平移，使其一端点到点$C(3,2)$。
平移有两种可能情况：
情况1：点$A$平移到点$C$。
此时，$A(2,0)$到$C(3,2)$的平移向量为$(1,2)$。
将点$B(0,1)$按此平移向量平移得到新坐标：
$(0+1,1+2)=(1,3)$。
情况2：点$B$平移到点$C$。
此时，$B(0,1)$到$C(3,2)$的平移向量为$(3,1)$。
将点$A(2,0)$按此平移向量平移得到新坐标：
$(2+3,0+1)=(5,1)$。
因此，平移后另一端点的坐标为$(1,3)$或$(5,1)$。
平移有两种可能情况：
情况1：点$A$平移到点$C$。
此时，$A(2,0)$到$C(3,2)$的平移向量为$(1,2)$。
将点$B(0,1)$按此平移向量平移得到新坐标：
$(0+1,1+2)=(1,3)$。
情况2：点$B$平移到点$C$。
此时，$B(0,1)$到$C(3,2)$的平移向量为$(3,1)$。
将点$A(2,0)$按此平移向量平移得到新坐标：
$(2+3,0+1)=(5,1)$。
因此，平移后另一端点的坐标为$(1,3)$或$(5,1)$。
8. 如图，点$A$，$B$的坐标分别为$(1,2)$，$(4,0)$，将三角形$AOB$沿$x$轴向右平移，得到三角形$CDE$。已知$DB = 1$，则点$C$的坐标为()。
A.$(2,2)$
B.$(4,3)$
C.$(3,2)$
D.$(4,2)$
A.$(2,2)$
B.$(4,3)$
C.$(3,2)$
D.$(4,2)$
答案
D
解析
因为点B坐标为(4,0)，DB=1，且D在x轴上，所以点D坐标为(4-1,0)=(3,0)。三角形AOB沿x轴向右平移得到三角形CDE，点D是点O平移后的对应点，点O坐标为(0,0)，所以平移距离为3-0=3个单位长度。点A坐标为(1,2)，向右平移3个单位后，点C坐标为(1+3,2)=(4,2)。
9. 如图，点$A$，$B$的坐标分别为$(2,0)$，$(0,4)$，将线段$AB$平移到$A'B'$，点$A'$，$B'$的坐标分别为$(m,2)$，$(2,n)$，则线段$AB$在平移过程中扫过的面积为。
答案
12
解析
由点A(2,0)平移到A'(m,2)，纵坐标增加2；点B(0,4)平移到B'(2,n)，横坐标增加2。因平移向量相同，故A'横坐标为2+2=4，B'纵坐标为4+2=6，即A'(4,2)，B'(2,6)。平移向量为(2,2)，向量AB=(-2,4)。扫过的面积为平行四边形ABB'A'的面积，由向量叉积得|(-2)×2 - 4×2|=12。
10. (几何直观)如图，在平面直角坐标系中，设一质点$M$自$P_0(1,0)$处向上运动$1$个单位长度至$P_1(1,1)$处，然后向左运动$2$个单位长度至$P_2$处，再向下运动$3$个单位长度至$P_3$处，再向右运动$4$个单位长度至$P_4$处，再向上运动$5$个单位长度至$P_5$处……如此继续运动下去，设$P_n(x_n,y_n)$，$n = 1,2,3,···$，则$x_1 + x_2 + ··· + x_{2026} + x_{2027}$的值为()。
A.$1$
B.$3$
C.$-1$
D.$2019$
A.$1$
B.$3$
C.$-1$
D.$2019$
答案
C
解析
先列出前几个点的x坐标，寻找规律：
$P_1(1,1)$，$x_1=1$；
$P_2(-1,1)$，$x_2=-1$；
$P_3(-1,-2)$，$x_3=-1$；
$P_4(3,-2)$，$x_4=3$；
$P_5(3,3)$，$x_5=3$；
$P_6(-3,3)$，$x_6=-3$；
$P_7(-3,-4)$，$x_7=-3$；
$P_8(5,-4)$，$x_8=5$；...
规律：每4个点为一循环，第$k$循环（$k=1,2,3,...$）的x坐标为$(2k-1),-(2k-1),-(2k-1),(2k+1)$，其和为$2$。
2027个点包含$506$个完整循环（$4×506=2024$个点）和剩余3个点。
506个循环的x和：$506×2=1012$；
剩余3个点（第507循环前3个点）：$x_{2025}=1013$，$x_{2026}=-1013$，$x_{2027}=-1013$，和为$1013-1013-1013=-1013$。
总 sum：$1012-1013=-1$。
$P_1(1,1)$，$x_1=1$；
$P_2(-1,1)$，$x_2=-1$；
$P_3(-1,-2)$，$x_3=-1$；
$P_4(3,-2)$，$x_4=3$；
$P_5(3,3)$，$x_5=3$；
$P_6(-3,3)$，$x_6=-3$；
$P_7(-3,-4)$，$x_7=-3$；
$P_8(5,-4)$，$x_8=5$；...
规律：每4个点为一循环，第$k$循环（$k=1,2,3,...$）的x坐标为$(2k-1),-(2k-1),-(2k-1),(2k+1)$，其和为$2$。
2027个点包含$506$个完整循环（$4×506=2024$个点）和剩余3个点。
506个循环的x和：$506×2=1012$；
剩余3个点（第507循环前3个点）：$x_{2025}=1013$，$x_{2026}=-1013$，$x_{2027}=-1013$，和为$1013-1013-1013=-1013$。
总 sum：$1012-1013=-1$。
