一、选择题
1. 下列说法错误的是()
A. 当 $ x = 2 $ 时，分式 $ \dfrac{1}{x - 2} $ 无意义
B. 当 $ x ＞ 5 $ 时，分式 $ \dfrac{1}{x - 5} $ 的值为正数
C. 当分式 $ \dfrac{m^2 - 9}{m + 3} = 0 $ 时，$ m = \pm 3 $
D. 分式 $ \dfrac{2}{3a} $ 与 $ \dfrac{1}{ab^2} $ 的最简公分母是 $ 3ab^2 $

C

对于选项C，分式$\frac{m^{2}-9}{m+3}=0$，
要求分子等于0且分母不等于0，
由$m^{2}-9 = 0$，
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a - b)$，
可得$(m + 3)(m - 3)=0$，
则$m+3 = 0$或$m - 3 = 0$，
即$m=-3$或$m = 3$，
又因为分母$m+3≠0$，即$m≠ - 3$，
所以$m = 3$，而不是$m=\pm3$，
选项A，当$x = 2$时，$x-2=0$，分式$\frac{1}{x - 2}$无意义，该选项正确；
选项B，当$x＞5$时，$x - 5＞0$，分式$\frac{1}{x - 5}$的值为正数，该选项正确；
选项D，根据最简公分母的确定方法，分式$\frac{2}{3a}$与$\frac{1}{ab^{2}}$的最简公分母是$3ab^{2}$，该选项正确。

2. A，B 两地相距 $ 160 \mathrm{ km} $，甲车和乙车的平均速度之比为 $ 4:5 $，两车同时从 A 地出发到 B 地，乙车比甲车早到 $ 30 \mathrm{ min} $。若求甲车的平均速度，设甲车的平均速度为 $ 4x \mathrm{ km/h} $，则所列方程是()

A.$ \dfrac{160}{4x} - \dfrac{160}{5x} = 30 $
B.$ \dfrac{160}{4x} - \dfrac{160}{5x} = \dfrac{1}{2} $
C.$ \dfrac{160}{5x} - \dfrac{160}{4x} = \dfrac{1}{2} $
D.$ \dfrac{160}{4x} + \dfrac{160}{5x} = 30 $

B

设甲车平均速度为 $4x \mathrm{ km/h}$，则乙车平均速度为 $5x \mathrm{ km/h}$。
甲车行驶时间：$ \dfrac{160}{4x} $ 小时，
乙车行驶时间：$ \dfrac{160}{5x} $ 小时。
乙车比甲车早到 $30 \mathrm{ min} = \dfrac{1}{2} \mathrm{ h}$，故甲车时间减乙车时间差为 $ \dfrac{1}{2} $，
即方程：$ \dfrac{160}{4x} - \dfrac{160}{5x} = \dfrac{1}{2} $。

3. 若关于 $ x $ 的分式方程 $ \dfrac{a}{x - 1} + \dfrac{2}{1 - x} = 3 $ 有非正数解，则 $ a $ 的取值范围是()

A.$ a ＞ -1 $
B.$ a ＜ -1 $
C.$ a ≤ -1 $
D.$ a ＞ -1 $ 且 $ a ≠ 2 $

C

首先将方程 $\dfrac{a}{x - 1} + \dfrac{2}{1 - x} = 3$ 进行通分，
注意到 $1 - x = -(x - 1)$，
所以方程可以改写为：
$\dfrac{a}{x - 1} - \dfrac{2}{x - 1} = 3$，
进一步合并同类项，得到：
$\dfrac{a - 2}{x - 1} = 3$，
解这个方程，得到：
$x - 1 = \dfrac{a - 2}{3}$，
$x = \dfrac{a - 2}{3} + 1$，
$x = \dfrac{a + 1}{3}$，
由题意知，方程有非正数解，即：
$x ≤ 0$，
且$x ≠ 1$（因为分母 $x - 1$ 不能为0），
所以有：
$\dfrac{a + 1}{3} ≤ 0$，
解这个不等式，得到：
$a ≤ -1$，
另外，由于 $x ≠ 1$，
所以 $\dfrac{a + 1}{3} ≠ 1$，
即 $a ≠ 2$。
但 $a ≤ -1$ 已经排除了 $a = 2$ 的可能性，
所以最终得到 $a ≤ -1$ 且（由于分母不能为0且$x$为非正数，所以当$a+1=0$时，$x=0$是符合题意的）$a$可以等于$-1$。

二、填空题
4. 若关于 $ x $ 的分式方程 $ \dfrac{x}{x - 3} - 2 = \dfrac{m}{x - 3} $ 有增根，则增根为，$ m = $。

$ x = 3 $；$ 3 $。

增根为 $ x = 3 $，$ m = 3 $。
步骤解析：
1. 分式方程的增根是使分母为零的未知数的值，原方程分母为 $ x - 3 $，故增根为 $ x = 3 $。
2. 方程两边同乘 $ x - 3 $ 去分母得：$ x - 2(x - 3) = m $。
3. 将增根 $ x = 3 $ 代入整式方程：$ 3 - 2(3 - 3) = m $，解得 $ m = 3 $。

5. 若关于 $ x $ 的分式方程 $ \dfrac{2}{x - 3} = 1 - \dfrac{m}{3 - x} $ 的解为非负数，则 $ m $ 的取值范围是。

【解析】：方程两边同乘$x - 3$，得$2 = (x - 3) + m$，解得$x = 5 - m$。
∵解为非负数，
∴$5 - m ≥ 0$，即$m ≤ 5$。
∵分母不能为$0$，即$x ≠ 3$，
∴$5 - m ≠ 3$，即$m ≠ 2$。
综上，$m$的取值范围是$m ≤ 5$且$m ≠ 2$。
【答案】：$m ≤ 5$且$m ≠ 2$

首先去分母，方程两边同乘以$(x - 3)$得：
$2=(x - 3)+m$，
化简可得$x = 5 - m$。
因为该分式方程的解为非负数，所以$x≥0$，即$5 - m≥0$，解得$m≤5$。
又因为分母不能为$0$，即$x - 3≠0$，$x≠3$，那么$5 - m≠3$，解得$m≠2$。
综上，$m$的取值范围是$m≤5$且$m≠2$。

6. 若对于 $ x = \pm 3 $ 以外的一切数，$ \dfrac{m}{x + 3} - \dfrac{n}{x - 3} = \dfrac{8x}{x^2 - 9} $ 均成立，则 $ mn $ 的值是。

-16

将等式左边通分得$\frac{m(x - 3)-n(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)}=\frac{(m - n)x-3m - 3n}{x^{2}-9}$，因为该等式对于$x = \pm3$以外的一切数均成立，且等式右边为$\frac{8x}{x^{2}-9}$，所以$(m - n)x-3m - 3n = 8x$，则可得方程组$\begin{cases}m - n = 8,\\-3m - 3n = 0.\end{cases}$由$-3m - 3n = 0$可得$m=-n$，将$m = -n$代入$m - n = 8$，得$-n - n = 8$，即$-2n = 8$，解得$n=-4$，那么$m = 4$，所以$mn=-16$。

三、解答题
7. 解下列方程：
（1）$ 1 - \dfrac{1}{x - 5} = \dfrac{x}{x + 5} $；
（2）$ \dfrac{3}{x - 1} - \dfrac{2}{x + 1} = \dfrac{1}{x^2 - 1} $。

（1）方程两边同乘最简公分母$(x - 5)(x + 5)$，得：
$(x - 5)(x + 5) - (x + 5) = x(x - 5)$
展开并化简：
$x^2 - 25 - x - 5 = x^2 - 5x$
$x^2 - x - 30 = x^2 - 5x$
移项合并：$4x = 30$
解得：$x = \frac{15}{2}$
检验：当$x = \frac{15}{2}$时，$(x - 5)(x + 5) ≠ 0$，
∴原方程的解为$x = \frac{15}{2}$。
（2）方程两边同乘最简公分母$(x - 1)(x + 1)$，得：
$3(x + 1) - 2(x - 1) = 1$
展开并化简：
$3x + 3 - 2x + 2 = 1$
$x + 5 = 1$
解得：$x = -4$
检验：当$x = -4$时，$(x - 1)(x + 1) ≠ 0$，
∴原方程的解为$x = -4$。

8. 提升题 阅读材料：
解方程：$ \dfrac{x - 1}{x} - \dfrac{4x}{x - 1} = 0 $。
解：设 $ y = \dfrac{x - 1}{x} $，则原方程化为 $ y - \dfrac{4}{y} = 0 $。
方程两边同时乘 $ y $，得 $ y^2 - 4 = 0 $，解得 $ y = \pm 2 $。
经检验，$ y = \pm 2 $ 都是方程 $ y - \dfrac{4}{y} = 0 $ 的解。
当 $ y = 2 $ 时，$ \dfrac{x - 1}{x} = 2 $，解得 $ x = -1 $；
当 $ y = -2 $ 时，$ \dfrac{x - 1}{x} = -2 $，解得 $ x = \dfrac{1}{3} $。
经检验，$ x = -1 $，$ x = \dfrac{1}{3} $ 都是原分式方程的解。
∴ 原分式方程的解为 $ x = -1 $ 或 $ x = \dfrac{1}{3} $。
上述这种解分式方程的方法称为换元法。
解答下列问题：
（1）对于方程 $ \dfrac{x - 1}{x} - \dfrac{5x}{x - 1} = 4 $，若设 $ \dfrac{x - 1}{x} = y $，则原方程可化为；
（2）模仿上述换元法解方程：$ \dfrac{x - 1}{x + 2} - \dfrac{3}{x - 1} - 1 = 0 $。

（1）$y - \frac{5}{y} = 4$。
（2）
原方程$\frac{x - 1}{x + 2} - \frac{3}{x - 1} - 1 = 0$可化为$\frac{x - 1}{x + 2} - \frac{x + 2}{x - 1} = 0$。
设$y = \frac{x - 1}{x + 2}$，则原方程化为$y-\frac{1}{y}=0$。
方程两边同时乘$y$，得$y^{2}-1 = 0$，即$(y + 1)(y - 1)=0$，解得$y_{1}=1$，$y_{2}=-1$。
经检验，$y = 1$或$y = - 1$是方程$y-\frac{1}{y}=0$的解。
当$y = 1$时，$\frac{x - 1}{x + 2}=1$，方程无解。
当$y = - 1$时，$\frac{x - 1}{x + 2}=-1$，
$x - 1=-(x + 2)$
$x - 1=-x - 2$
$2x=-1$
解得$x =-\frac{1}{2}$。
经检验，$x =-\frac{1}{2}$是原分式方程的解。
∴原分式方程的解为$x =-\frac{1}{2}$。