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11. 解分式方程：
（1）$\frac{2x - 3}{x - 1}=\frac{4x - 1}{2x + 3}$；
（2）$\frac{y + 1}{y - 1}-\frac{4}{y^{2}-1}=1$.
（1）$\frac{2x - 3}{x - 1}=\frac{4x - 1}{2x + 3}$；
（2）$\frac{y + 1}{y - 1}-\frac{4}{y^{2}-1}=1$.
答案
11. (1) $x = 2$ (2) 无解
解析
【分析】
对于分式方程，解题核心思路是先通过去分母将其转化为整式方程求解，最后必须检验所得解是否使原分式方程的分母为0，若使分母为0则为增根，原方程无解。
（1）对于方程$\frac{2x - 3}{x - 1}=\frac{4x - 1}{2x + 3}$，首先确定最简公分母为$(x-1)(2x+3)$，两边同乘最简公分母去掉分母，转化为整式方程后求解，最后检验。
（2）对于方程$\frac{y + 1}{y - 1}-\frac{4}{y^{2}-1}=1$，先将分母$y^2-1$因式分解为$(y-1)(y+1)$，确定最简公分母为$(y-1)(y+1)$，去分母转化为整式方程，求解后检验，若解使分母为0则原方程无解。
【解析】
（1）$\frac{2x - 3}{x - 1}=\frac{4x - 1}{2x + 3}$
① 确定最简公分母为$(x-1)(2x+3)$，且$x≠1$，$x≠-\frac{3}{2}$（分母不能为0）；
② 方程两边同乘$(x-1)(2x+3)$，得：
$(2x-3)(2x+3)=(4x-1)(x-1)$
③ 展开两边：
左边利用平方差公式得：$(2x)^2 - 3^2 = 4x^2 - 9$，
右边展开得：$4x(x-1)-1×(x-1)=4x^2 -4x -x +1=4x^2 -5x +1$；
④ 移项化简：
$4x^2 - 9 = 4x^2 -5x +1$，
两边消去$4x^2$，得$-9 = -5x +1$，
移项整理得$5x=10$，解得$x=2$；
⑤ 检验：将$x=2$代入最简公分母$(2-1)(2×2+3)=7≠0$，故$x=2$是原方程的解。
（2）$\frac{y + 1}{y - 1}-\frac{4}{y^{2}-1}=1$
① 对分母因式分解，$y^2-1=(y-1)(y+1)$，确定最简公分母为$(y-1)(y+1)$，且$y≠1$，$y≠-1$；
② 方程两边同乘$(y-1)(y+1)$，得：
$(y+1)^2 - 4 = (y-1)(y+1)$
③ 展开两边：
左边展开得$y^2 + 2y +1 -4 = y^2 +2y -3$，
右边利用平方差公式得$y^2 -1$；
④ 移项化简：
$y^2 +2y -3 = y^2 -1$，
两边消去$y^2$，得$2y -3 = -1$，
移项整理得$2y=2$，解得$y=1$；
⑤ 检验：将$y=1$代入最简公分母$(1-1)(1+1)=0$，故$y=1$是增根，原方程无解。
【答案】
（1）$x=2$；（2）无解
【知识点】
分式方程的解法；增根的判定；平方差公式
【点评】
本题重点考查分式方程的求解步骤，核心是通过去分母将分式方程转化为整式方程，特别强调解分式方程必须进行检验，避免忽略增根导致错误。其中第二个方程的解为增根，需明确增根不满足原方程，故原方程无解。
【难度系数】
0.6
对于分式方程，解题核心思路是先通过去分母将其转化为整式方程求解，最后必须检验所得解是否使原分式方程的分母为0，若使分母为0则为增根，原方程无解。
（1）对于方程$\frac{2x - 3}{x - 1}=\frac{4x - 1}{2x + 3}$，首先确定最简公分母为$(x-1)(2x+3)$，两边同乘最简公分母去掉分母，转化为整式方程后求解，最后检验。
（2）对于方程$\frac{y + 1}{y - 1}-\frac{4}{y^{2}-1}=1$，先将分母$y^2-1$因式分解为$(y-1)(y+1)$，确定最简公分母为$(y-1)(y+1)$，去分母转化为整式方程，求解后检验，若解使分母为0则原方程无解。
【解析】
（1）$\frac{2x - 3}{x - 1}=\frac{4x - 1}{2x + 3}$
① 确定最简公分母为$(x-1)(2x+3)$，且$x≠1$，$x≠-\frac{3}{2}$（分母不能为0）；
② 方程两边同乘$(x-1)(2x+3)$，得：
$(2x-3)(2x+3)=(4x-1)(x-1)$
③ 展开两边：
左边利用平方差公式得：$(2x)^2 - 3^2 = 4x^2 - 9$，
右边展开得：$4x(x-1)-1×(x-1)=4x^2 -4x -x +1=4x^2 -5x +1$；
④ 移项化简：
$4x^2 - 9 = 4x^2 -5x +1$，
两边消去$4x^2$，得$-9 = -5x +1$，
移项整理得$5x=10$，解得$x=2$；
⑤ 检验：将$x=2$代入最简公分母$(2-1)(2×2+3)=7≠0$，故$x=2$是原方程的解。
（2）$\frac{y + 1}{y - 1}-\frac{4}{y^{2}-1}=1$
① 对分母因式分解，$y^2-1=(y-1)(y+1)$，确定最简公分母为$(y-1)(y+1)$，且$y≠1$，$y≠-1$；
② 方程两边同乘$(y-1)(y+1)$，得：
$(y+1)^2 - 4 = (y-1)(y+1)$
③ 展开两边：
左边展开得$y^2 + 2y +1 -4 = y^2 +2y -3$，
右边利用平方差公式得$y^2 -1$；
④ 移项化简：
$y^2 +2y -3 = y^2 -1$，
两边消去$y^2$，得$2y -3 = -1$，
移项整理得$2y=2$，解得$y=1$；
⑤ 检验：将$y=1$代入最简公分母$(1-1)(1+1)=0$，故$y=1$是增根，原方程无解。
【答案】
（1）$x=2$；（2）无解
【知识点】
分式方程的解法；增根的判定；平方差公式
【点评】
本题重点考查分式方程的求解步骤，核心是通过去分母将分式方程转化为整式方程，特别强调解分式方程必须进行检验，避免忽略增根导致错误。其中第二个方程的解为增根，需明确增根不满足原方程，故原方程无解。
【难度系数】
0.6
12. 先化简，再求值：$\frac{3 - a}{2a - 4}÷(\frac{5}{a - 2}-a - 2)$，其中$a =-\frac{1}{2}$.
答案
12. $\frac{1}{2(3 + a)}$，原式 $= \frac{1}{5}$
解析
【分析】
本题是分式化简求值题，解题思路为：先对原式分母因式分解，再计算括号内的分式减法（需将整式通分为同分母分式），接着将除法转化为乘法，通过约分得到最简分式，最后代入给定的$a$值计算结果。具体步骤：先处理括号内的运算，把$a+2$转化为以$a-2$为分母的分式，与$\frac{5}{a-2}$通分后相减，利用平方差公式对分子因式分解，再将除法变乘法，约去公因式得到最简形式，最后代入$a$的值求值。
【解析】
1. 因式分解分母
将$2a-4$因式分解为$2(a-2)$，原式变形为：
$\frac{3 - a}{2(a - 2)} ÷ ( \frac{5}{a - 2} - a - 2 )$
2. 计算括号内的分式减法
将整式$a+2$通分为以$a-2$为分母的分式：
$a + 2 = \frac{(a + 2)(a - 2)}{a - 2} = \frac{a^2 - 4}{a - 2}$
括号内运算：
$\frac{5}{a - 2} - \frac{a^2 - 4}{a - 2} = \frac{5 - (a^2 - 4)}{a - 2} = \frac{9 - a^2}{a - 2}$
利用平方差公式分解分子：$9 - a^2 = (3 - a)(3 + a)$，则括号内结果为$\frac{(3 - a)(3 + a)}{a - 2}$。
3. 除法转乘法并约分
将除法运算转化为乘法运算：
$\frac{3 - a}{2(a - 2)} × \frac{a - 2}{(3 - a)(3 + a)}$
约去公因式$(3 - a)$和$(a - 2)$，得到最简分式：
$\frac{1}{2(3 + a)}$
4. 代入$a = -\frac{1}{2}$求值
将$a = -\frac{1}{2}$代入$\frac{1}{2(3 + a)}$：
$3 + a = 3 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$
则原式$= \frac{1}{2 × \frac{5}{2}} = \frac{1}{5}$
【答案】
化简结果为$\frac{1}{2(3 + a)}$，原式的值为$\frac{1}{5}$
【知识点】
分式的化简求值、分式混合运算、平方差公式因式分解
【点评】
本题考查分式混合运算及化简求值，核心是掌握分式通分、约分的方法，以及除法变乘法的运算法则，运算中需注意符号处理，代入数值时要仔细计算，避免出错。
【难度系数】
0.7
本题是分式化简求值题，解题思路为：先对原式分母因式分解，再计算括号内的分式减法（需将整式通分为同分母分式），接着将除法转化为乘法，通过约分得到最简分式，最后代入给定的$a$值计算结果。具体步骤：先处理括号内的运算，把$a+2$转化为以$a-2$为分母的分式，与$\frac{5}{a-2}$通分后相减，利用平方差公式对分子因式分解，再将除法变乘法，约去公因式得到最简形式，最后代入$a$的值求值。
【解析】
1. 因式分解分母
将$2a-4$因式分解为$2(a-2)$，原式变形为：
$\frac{3 - a}{2(a - 2)} ÷ ( \frac{5}{a - 2} - a - 2 )$
2. 计算括号内的分式减法
将整式$a+2$通分为以$a-2$为分母的分式：
$a + 2 = \frac{(a + 2)(a - 2)}{a - 2} = \frac{a^2 - 4}{a - 2}$
括号内运算：
$\frac{5}{a - 2} - \frac{a^2 - 4}{a - 2} = \frac{5 - (a^2 - 4)}{a - 2} = \frac{9 - a^2}{a - 2}$
利用平方差公式分解分子：$9 - a^2 = (3 - a)(3 + a)$，则括号内结果为$\frac{(3 - a)(3 + a)}{a - 2}$。
3. 除法转乘法并约分
将除法运算转化为乘法运算：
$\frac{3 - a}{2(a - 2)} × \frac{a - 2}{(3 - a)(3 + a)}$
约去公因式$(3 - a)$和$(a - 2)$，得到最简分式：
$\frac{1}{2(3 + a)}$
4. 代入$a = -\frac{1}{2}$求值
将$a = -\frac{1}{2}$代入$\frac{1}{2(3 + a)}$：
$3 + a = 3 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$
则原式$= \frac{1}{2 × \frac{5}{2}} = \frac{1}{5}$
【答案】
化简结果为$\frac{1}{2(3 + a)}$，原式的值为$\frac{1}{5}$
【知识点】
分式的化简求值、分式混合运算、平方差公式因式分解
【点评】
本题考查分式混合运算及化简求值，核心是掌握分式通分、约分的方法，以及除法变乘法的运算法则，运算中需注意符号处理，代入数值时要仔细计算，避免出错。
【难度系数】
0.7
13. 聪聪在长为$180m$的跑道上训练机器人.
（1）若$A$机器人匀速行走$1min$后，提速到原速的$1.5$倍后继续匀速行走.结果比原计划提前$40s$到达终点.求$A$机器人走完全程所花的时间.
（2）已知$B$机器人一半路程以$a m/min$的速度行走，另一半路程以$b m/min$的速度行走，$C$机器人一半时间以$a m/min$的速度行走，另一半时间以$b m/min$的速度行走，且$a≠ b$，$a＞0$，$b＞0$，试比较$B$，$C$两个机器人行走的时间$t_{1}$，$t_{2}$大小.
（1）若$A$机器人匀速行走$1min$后，提速到原速的$1.5$倍后继续匀速行走.结果比原计划提前$40s$到达终点.求$A$机器人走完全程所花的时间.
（2）已知$B$机器人一半路程以$a m/min$的速度行走，另一半路程以$b m/min$的速度行走，$C$机器人一半时间以$a m/min$的速度行走，另一半时间以$b m/min$的速度行走，且$a≠ b$，$a＞0$，$b＞0$，试比较$B$，$C$两个机器人行走的时间$t_{1}$，$t_{2}$大小.
答案
13. (1) 设原行走的速度为 $x\ \mathrm{m/min}$，$\frac{180 - x}{x} = \frac{180 - x}{1.5x} + \frac{40}{60}$，解得 $x = 60$，经检验，$x = 60$ 为原方程的解，$\therefore 1 + \frac{180 - x}{1.5x} = 1 + \frac{180 - 60}{1.5 × 60} = \frac{7}{3}$，$\therefore$ 机器人走完全程所花的时间为 $\frac{7}{3}\ \mathrm{min}$ (2) $B$ 机器人所需时间 $t_1 = \frac{90}{a} + \frac{90}{b} = \frac{90(a + b)}{ab}$，$C$ 机器人所需时间 $t_2 = \frac{180}{\frac{a}{2} + \frac{b}{2}} = 180 ÷ \frac{a + b}{2} = 180 × \frac{2}{a + b} = \frac{360}{a + b}$，$\therefore t_1 - t_2 = \frac{90(a + b)}{ab} - \frac{360}{a + b} = \frac{90[(a + b)^2 - 4ab]}{ab(a + b)} = \frac{90(a - b)^2}{ab(a + b)}$，由题意可得 $(a - b)^2 ＞ 0$，$ab(a + b) ＞ 0$，$\therefore t_1 - t_2 ＞ 0$，$\therefore t_1 ＞ t_2$
解析
【分析】
（1）先设A机器人原速度为$x\ \mathrm{m/min}$，根据“原计划走剩余路程的时间比实际走剩余路程的时间多40秒”这一等量关系列分式方程，求解原速度后，再计算实际走完全程的时间。
（2）对于B机器人，直接利用“时间=路程÷速度”计算总时间$t_1$；对于C机器人，设总时间为$t_2$，根据“总路程=速度×时间”列方程求出$t_2$，最后通过作差法，结合完全平方公式判断$t_1$与$t_2$的大小关系。
【解析】
（1）设A机器人原行走速度为$x\ \mathrm{m/min}$。
原计划走剩余$(180 - x)\ \mathrm{m}$的时间为$\frac{180 - x}{x}\ \mathrm{min}$，实际走这段路程的时间为$\frac{180 - x}{1.5x}\ \mathrm{min}$，提前的40秒即$\frac{40}{60}\ \mathrm{min}$，列方程：
$\frac{180 - x}{x} = \frac{180 - x}{1.5x} + \frac{40}{60}$
两边同乘$3x$去分母得：
$3(180 - x) = 2(180 - x) + 2x$
化简求解：
$540 - 3x = 360 - 2x + 2x$
$3x = 180$
$x = 60$
经检验，$x = 60$是原方程的解且符合题意。
则A机器人走完全程的时间为：
$1 + \frac{180 - 60}{1.5×60} = 1 + \frac{120}{90} = \frac{7}{3}\ \mathrm{min}$
（2）计算B机器人的时间$t_1$：
一半路程为$90\ \mathrm{m}$，则
$t_1 = \frac{90}{a} + \frac{90}{b} = \frac{90(a + b)}{ab}$
计算C机器人的时间$t_2$：
设C机器人总时间为$t_2$，根据路程公式：
$\frac{t_2}{2}×a + \frac{t_2}{2}×b = 180$
整理得：
$t_2×\frac{a + b}{2} = 180$
解得：
$t_2 = \frac{360}{a + b}$
比较$t_1$与$t_2$的大小：
$t_1 - t_2 = \frac{90(a + b)}{ab} - \frac{360}{a + b}$
通分后化简：
$= \frac{90(a + b)^2 - 360ab}{ab(a + b)}$
$= \frac{90[(a + b)^2 - 4ab]}{ab(a + b)}$
$= \frac{90(a - b)^2}{ab(a + b)}$
因为$a≠b$，$a＞0$，$b＞0$，所以$(a - b)^2＞0$，$ab(a + b)＞0$，则$t_1 - t_2＞0$，即$t_1 ＞ t_2$。
【答案】
（1）$\frac{7}{3}\ \mathrm{min}$；（2）$t_1 ＞ t_2$
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 作差法比较大小
3. 行程问题公式
【点评】
本题考查分式方程的实际应用及代数式大小比较，第一问需找准行程问题中的等量关系列方程，注意检验分式方程的解；第二问通过作差法结合完全平方公式判断差的正负，熟练掌握路程、速度、时间的关系及分式运算是解题关键。
【难度系数】
0.6
（1）先设A机器人原速度为$x\ \mathrm{m/min}$，根据“原计划走剩余路程的时间比实际走剩余路程的时间多40秒”这一等量关系列分式方程，求解原速度后，再计算实际走完全程的时间。
（2）对于B机器人，直接利用“时间=路程÷速度”计算总时间$t_1$；对于C机器人，设总时间为$t_2$，根据“总路程=速度×时间”列方程求出$t_2$，最后通过作差法，结合完全平方公式判断$t_1$与$t_2$的大小关系。
【解析】
（1）设A机器人原行走速度为$x\ \mathrm{m/min}$。
原计划走剩余$(180 - x)\ \mathrm{m}$的时间为$\frac{180 - x}{x}\ \mathrm{min}$，实际走这段路程的时间为$\frac{180 - x}{1.5x}\ \mathrm{min}$，提前的40秒即$\frac{40}{60}\ \mathrm{min}$，列方程：
$\frac{180 - x}{x} = \frac{180 - x}{1.5x} + \frac{40}{60}$
两边同乘$3x$去分母得：
$3(180 - x) = 2(180 - x) + 2x$
化简求解：
$540 - 3x = 360 - 2x + 2x$
$3x = 180$
$x = 60$
经检验，$x = 60$是原方程的解且符合题意。
则A机器人走完全程的时间为：
$1 + \frac{180 - 60}{1.5×60} = 1 + \frac{120}{90} = \frac{7}{3}\ \mathrm{min}$
（2）计算B机器人的时间$t_1$：
一半路程为$90\ \mathrm{m}$，则
$t_1 = \frac{90}{a} + \frac{90}{b} = \frac{90(a + b)}{ab}$
计算C机器人的时间$t_2$：
设C机器人总时间为$t_2$，根据路程公式：
$\frac{t_2}{2}×a + \frac{t_2}{2}×b = 180$
整理得：
$t_2×\frac{a + b}{2} = 180$
解得：
$t_2 = \frac{360}{a + b}$
比较$t_1$与$t_2$的大小：
$t_1 - t_2 = \frac{90(a + b)}{ab} - \frac{360}{a + b}$
通分后化简：
$= \frac{90(a + b)^2 - 360ab}{ab(a + b)}$
$= \frac{90[(a + b)^2 - 4ab]}{ab(a + b)}$
$= \frac{90(a - b)^2}{ab(a + b)}$
因为$a≠b$，$a＞0$，$b＞0$，所以$(a - b)^2＞0$，$ab(a + b)＞0$，则$t_1 - t_2＞0$，即$t_1 ＞ t_2$。
【答案】
（1）$\frac{7}{3}\ \mathrm{min}$；（2）$t_1 ＞ t_2$
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 作差法比较大小
3. 行程问题公式
【点评】
本题考查分式方程的实际应用及代数式大小比较，第一问需找准行程问题中的等量关系列方程，注意检验分式方程的解；第二问通过作差法结合完全平方公式判断差的正负，熟练掌握路程、速度、时间的关系及分式运算是解题关键。
【难度系数】
0.6
