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12. 已知整式$A = 2t + 4$，$B = 2t - 4$，$t$为任意有理数.
（1）$A· B + 17$的值可能为负数吗？请说明理由.
（2）请说明：当$t$是整数时，$A^{2}-B^{2}$的值一定能被 32 整除.
（1）$A· B + 17$的值可能为负数吗？请说明理由.
（2）请说明：当$t$是整数时，$A^{2}-B^{2}$的值一定能被 32 整除.
答案
12.（1）因为$A = 2t + 4$，$B = 2t - 4$，所以$A· B + 17 = (2t + 4)(2t - 4) + 17 = 4t^{2} - 16 + 17 = 4t^{2} + 1$，因为$t$为任意有理数，所以$t^{2} ≥ 0$，所以$4t^{2} + 1 ≥ 1$，即$A· B + 17 ≥ 1$，所以$A· B + 17$的值不可能为负数 （2）因为$A = 2t + 4$，$B = 2t - 4$，所以$A^{2} - B^{2} = (2t + 4)^{2} - (2t - 4)^{2} = 4t^{2} + 16t + 16 - (4t^{2} - 16t + 16) = 32t$，当$t$是整数时，$32t$能被$32$整除，即$A^{2} - B^{2}$一定能被$32$整除
解析
【分析】
（1）要判断$A·B + 17$的值是否可能为负数，首先将$A$和$B$代入式子，利用平方差公式展开计算，化简后根据有理数平方的非负性分析式子的取值范围，进而判断是否为负数；
（2）要证明当$t$是整数时$A^2 - B^2$能被32整除，先将$A$和$B$代入式子，通过计算平方再相减化简式子，得到结果后结合$t$是整数的条件，看结果是否为32的整数倍。
【解析】
（1）$A·B + 17$的值不可能为负数，理由如下：
已知$A = 2t + 4$，$B = 2t - 4$，代入$A·B + 17$可得：
$\begin{aligned}A·B + 17&=(2t + 4)(2t - 4) + 17\\&=(2t)^2 - 4^2 + 17\\&=4t^2 - 16 + 17\\&=4t^2 + 1\end{aligned}$
因为$t$为任意有理数，所以$t^2≥0$，则$4t^2≥0$，因此$4t^2 + 1≥1$，即$A·B + 17$的最小值为1，不可能为负数。
（2）证明：
将$A = 2t + 4$，$B = 2t - 4$代入$A^2 - B^2$：
$\begin{aligned}A^2 - B^2&=(2t + 4)^2 - (2t - 4)^2\\&=(4t^2 + 16t + 16) - (4t^2 - 16t + 16)\\&=4t^2 + 16t + 16 - 4t^2 + 16t - 16\\&=32t\end{aligned}$
当$t$是整数时，$32t$是32的整数倍，所以$A^2 - B^2$的值一定能被32整除。
【答案】
（1）$A·B + 17$的值不可能为负数，理由见上述解析；
（2）当$t$是整数时，$A^2 - B^2$的值一定能被32整除，证明见上述解析。
【知识点】
平方差公式，非负数的性质，整除的概念
【点评】
本题主要考查整式的混合运算及数的性质，熟练运用平方差公式、完全平方公式进行整式化简是解题关键，通过化简后的式子结合有理数的性质分析取值或整除性，锻炼了代数运算与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
（1）要判断$A·B + 17$的值是否可能为负数，首先将$A$和$B$代入式子，利用平方差公式展开计算，化简后根据有理数平方的非负性分析式子的取值范围，进而判断是否为负数；
（2）要证明当$t$是整数时$A^2 - B^2$能被32整除，先将$A$和$B$代入式子，通过计算平方再相减化简式子，得到结果后结合$t$是整数的条件，看结果是否为32的整数倍。
【解析】
（1）$A·B + 17$的值不可能为负数，理由如下：
已知$A = 2t + 4$，$B = 2t - 4$，代入$A·B + 17$可得：
$\begin{aligned}A·B + 17&=(2t + 4)(2t - 4) + 17\\&=(2t)^2 - 4^2 + 17\\&=4t^2 - 16 + 17\\&=4t^2 + 1\end{aligned}$
因为$t$为任意有理数，所以$t^2≥0$，则$4t^2≥0$，因此$4t^2 + 1≥1$，即$A·B + 17$的最小值为1，不可能为负数。
（2）证明：
将$A = 2t + 4$，$B = 2t - 4$代入$A^2 - B^2$：
$\begin{aligned}A^2 - B^2&=(2t + 4)^2 - (2t - 4)^2\\&=(4t^2 + 16t + 16) - (4t^2 - 16t + 16)\\&=4t^2 + 16t + 16 - 4t^2 + 16t - 16\\&=32t\end{aligned}$
当$t$是整数时，$32t$是32的整数倍，所以$A^2 - B^2$的值一定能被32整除。
【答案】
（1）$A·B + 17$的值不可能为负数，理由见上述解析；
（2）当$t$是整数时，$A^2 - B^2$的值一定能被32整除，证明见上述解析。
【知识点】
平方差公式，非负数的性质，整除的概念
【点评】
本题主要考查整式的混合运算及数的性质，熟练运用平方差公式、完全平方公式进行整式化简是解题关键，通过化简后的式子结合有理数的性质分析取值或整除性，锻炼了代数运算与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
13. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“偶巧数”.例如，$4 = 2^{2}-0^{2}$，$12 = 4^{2}-2^{2}$，$20 = 6^{2}-4^{2}$，…所以 4，12，20 都是“偶巧数”.
请根据上述内容回答问题：
(1)在 28，32，36 这三个数中，是“偶巧数”的为
(2)一个正奇数的 4 倍一定是“偶巧数”吗？
(3)类似地，请给“奇巧数”下定义，并写出一个相关的真命题.
请根据上述内容回答问题：
(1)在 28，32，36 这三个数中，是“偶巧数”的为
28，36
.(2)一个正奇数的 4 倍一定是“偶巧数”吗？
(3)类似地，请给“奇巧数”下定义，并写出一个相关的真命题.
答案
13.（1）28，36 （2）设这个正奇数为$(2n - 1)$，则其$4$倍可表示为$4(2n - 1)$，$\because (2n)^{2} - (2n - 2)^{2} = 8n - 4 = 4(2n - 1)$，$\therefore 4(2n - 1)$总能表示为两个连续偶数的平方差，$\therefore 4(2n - 1)$（$n$为正整数）是“偶巧数” （3）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个数为奇巧数，一个正偶数的$4$倍一定是奇巧数
解析
【分析】
（1）首先根据“偶巧数”的定义，设两个连续偶数为2k和2k-2（k为正整数），推导其平方差的表达式为4(2k-1)，然后分别将28、32、36代入该表达式，判断是否能求出整数k，若能则为“偶巧数”。
（2）要判断正奇数的4倍是否为“偶巧数”，先设正奇数为2n-1（n为正整数），计算其4倍为4(2n-1)，再通过代数推导验证该式能否表示为两个连续偶数的平方差，若能则结论成立。
（3）类比“偶巧数”的定义，将“两个连续偶数”替换为“两个连续奇数”即可得到“奇巧数”的定义，再根据定义写出一个符合条件的真命题。
【解析】
（1）设两个连续偶数为$2k$和$2k-2$（$k$为正整数），则：
$\begin{aligned}(2k)^2-(2k-2)^2&=4k^2-(4k^2-8k+4)\\&=8k-4\\&=4(2k-1)\end{aligned}$
当$4(2k-1)=28$时，解得$2k-1=7$，$k=4$（整数），故28是“偶巧数”；
当$4(2k-1)=32$时，解得$2k-1=8$，$k=4.5$（非整数），故32不是“偶巧数”；
当$4(2k-1)=36$时，解得$2k-1=9$，$k=5$（整数），故36是“偶巧数”。
（2）一个正奇数的4倍一定是“偶巧数”，理由如下：
设这个正奇数为$2n-1$（$n$为正整数），则其4倍为$4(2n-1)$。
计算两个连续偶数$2n$和$2n-2$的平方差：
$\begin{aligned}(2n)^2-(2n-2)^2&=4n^2-(4n^2-8n+4)\\&=8n-4\\&=4(2n-1)\end{aligned}$
即$4(2n-1)$能表示为两个连续偶数的平方差，所以一个正奇数的4倍一定是“偶巧数”。
（3）“奇巧数”的定义：如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇巧数”。
真命题：一个正偶数的4倍一定是“奇巧数”（或例如$8=3^2-1^2$，8是奇巧数，答案不唯一）。
【答案】
(1) 28，36
(2) 是，理由见解析
(3) 定义：如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇巧数”；真命题：一个正偶数的4倍一定是“奇巧数”（答案不唯一）
【知识点】
平方差公式，新定义问题，代数式恒等变形
【点评】
本题以新定义“偶巧数”为载体，考查平方差公式的应用及代数式的推导能力，同时通过类比定义“奇巧数”，培养学生的类比推理与知识迁移能力，解题的关键是准确理解新定义，利用代数运算进行验证与证明。
【难度系数】
0.6
（1）首先根据“偶巧数”的定义，设两个连续偶数为2k和2k-2（k为正整数），推导其平方差的表达式为4(2k-1)，然后分别将28、32、36代入该表达式，判断是否能求出整数k，若能则为“偶巧数”。
（2）要判断正奇数的4倍是否为“偶巧数”，先设正奇数为2n-1（n为正整数），计算其4倍为4(2n-1)，再通过代数推导验证该式能否表示为两个连续偶数的平方差，若能则结论成立。
（3）类比“偶巧数”的定义，将“两个连续偶数”替换为“两个连续奇数”即可得到“奇巧数”的定义，再根据定义写出一个符合条件的真命题。
【解析】
（1）设两个连续偶数为$2k$和$2k-2$（$k$为正整数），则：
$\begin{aligned}(2k)^2-(2k-2)^2&=4k^2-(4k^2-8k+4)\\&=8k-4\\&=4(2k-1)\end{aligned}$
当$4(2k-1)=28$时，解得$2k-1=7$，$k=4$（整数），故28是“偶巧数”；
当$4(2k-1)=32$时，解得$2k-1=8$，$k=4.5$（非整数），故32不是“偶巧数”；
当$4(2k-1)=36$时，解得$2k-1=9$，$k=5$（整数），故36是“偶巧数”。
（2）一个正奇数的4倍一定是“偶巧数”，理由如下：
设这个正奇数为$2n-1$（$n$为正整数），则其4倍为$4(2n-1)$。
计算两个连续偶数$2n$和$2n-2$的平方差：
$\begin{aligned}(2n)^2-(2n-2)^2&=4n^2-(4n^2-8n+4)\\&=8n-4\\&=4(2n-1)\end{aligned}$
即$4(2n-1)$能表示为两个连续偶数的平方差，所以一个正奇数的4倍一定是“偶巧数”。
（3）“奇巧数”的定义：如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇巧数”。
真命题：一个正偶数的4倍一定是“奇巧数”（或例如$8=3^2-1^2$，8是奇巧数，答案不唯一）。
【答案】
(1) 28，36
(2) 是，理由见解析
(3) 定义：如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇巧数”；真命题：一个正偶数的4倍一定是“奇巧数”（答案不唯一）
【知识点】
平方差公式，新定义问题，代数式恒等变形
【点评】
本题以新定义“偶巧数”为载体，考查平方差公式的应用及代数式的推导能力，同时通过类比定义“奇巧数”，培养学生的类比推理与知识迁移能力，解题的关键是准确理解新定义，利用代数运算进行验证与证明。
【难度系数】
0.6
