8. (2024·盐城)如图，点C在以AB为直径的⊙O上，过点C作⊙O的切线l，过点A作AD⊥l，垂足为D，连接AC、BC.
(1) 求证：△ABC∽△ACD；
(2) 若AC = 5，CD = 4，求⊙O的半径.
　　　　

（1）连接 OC. ∵ l 是 $ \odot O $ 的切线，∴ $ OC\perp l $。∴ $ \angle OCD = 90^{\circ} $。∵ $ AD\perp l $，∴ $ \angle ADC = 90^{\circ} $。∴ $ \angle OCD+\angle ADC = 180^{\circ} $。∴ $ OC// AD $。∴ $ \angle CAD=\angle ACO $。∵ $ OA = OC $，∴ $ \angle BAC=\angle ACO $。∴ $ \angle CAD=\angle BAC $。∵ AB 为 $ \odot O $ 的直径，∴ $ \angle ACB = 90^{\circ} $。∴ $ \angle ACB=\angle ADC $。∴ $ \triangle ABC\sim\triangle ACD $
（2）∵ 在 $ Rt\triangle ADC $ 中， $ AC = 5 $， $ CD = 4 $，∴ $ AD=\sqrt{AC^{2}-CD^{2}} = 3 $。∵ $ \triangle ABC\sim\triangle ACD $，∴ $ \frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD} $。∴ $ \frac{AB}{5}=\frac{5}{3} $。∴ $ AB=\frac{25}{3} $。∴ $ \odot O $ 的半径为 $ \frac{1}{2}AB=\frac{25}{6} $

9. 如图，在△ABC中，AC = AB，点E、F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF = BE，AE² = AQ·AB. 求证：
(1) ∠CAE = ∠BAF；
(2) CF·FQ = AF·BQ.
　　　　　

（1）∵ $ AC = AB $，∴ $ \angle C=\angle B $。∵ $ CF = BE $，∴ $ CF - EF = BE - EF $，即 $ CE = BF $。在 $ \triangle ACE $ 和 $ \triangle ABF $ 中，$ \begin{cases} AC = AB \\ \angle C=\angle B \\ CE = BF \end{cases} $，∴ $ \triangle ACE\cong\triangle ABF $。∴ $ \angle CAE=\angle BAF $
（2）∵ $ \triangle ACE\cong\triangle ABF $，∴ $ AE = AF $， $ \angle CAE=\angle BAF $。∵ $ AE^{2}=AQ\cdot AB $， $ AC = AB $，∴ $ \frac{AE}{AQ}=\frac{AC}{AF} $。又∵ $ \angle CAE=\angle FAQ $，∴ $ \triangle ACE\sim\triangle AFQ $。∴ $ \angle AEC=\angle AQF $。∴ $ \angle AEF=\angle BQF $。∵ $ AE = AF $，∴ $ \angle AEF=\angle AFE $。∴ $ \angle AFE=\angle BQF $。又∵ $ \angle C=\angle B $，∴ $ \triangle CAF\sim\triangle BFQ $。∴ $ \frac{CF}{BQ}=\frac{AF}{FQ} $，即 $ CF\cdot FQ = AF\cdot BQ $

10. (2023·辽宁)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O(0，0)、A(1，0)、B(2，3)、C(-1，2). 若四边形OA'B'C'与四边形OABC关于原点O位似，且四边形OA'B'C'的面积是四边形OABC面积的4倍，则第一象限内点B'的坐标为_______.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（4，6）

11. 如图，在一块斜边长为30 cm的直角三角形木板(Rt△ACB)上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上. 若AF : AC = 1 : 3，则在这块木板上截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为 （ ）
A. 100 cm² B. 150 cm² C. 170 cm² D. 200 cm²
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

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