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四、解决问题。
1. 一个圆锥形杯子(如图),装满水,然后倒入底面半径为 2 cm 的圆柱形容器中(水未溢出),水面高度是多少?(杯子和容器的厚度都忽略不计)
1. 一个圆锥形杯子(如图),装满水,然后倒入底面半径为 2 cm 的圆柱形容器中(水未溢出),水面高度是多少?(杯子和容器的厚度都忽略不计)
答案
圆锥的底面半径为 8 ÷ 2 = 4(cm)。
圆锥体积公式为$V=\frac{1}{3}π r^{2}h$，
该杯子体积为：
$\frac{1}{3}×3.14×4^{2}×6$
$=\frac{1}{3}×3.14×16×6$
$=100.48（cm^{3}）$。
圆柱底面积：
$3.14×2^{2}=12.56（cm^{2}）$。
水面高度：
$100.48÷12.56=8(cm)$。
答：水面高度为8cm。
圆锥体积公式为$V=\frac{1}{3}π r^{2}h$，
该杯子体积为：
$\frac{1}{3}×3.14×4^{2}×6$
$=\frac{1}{3}×3.14×16×6$
$=100.48（cm^{3}）$。
圆柱底面积：
$3.14×2^{2}=12.56（cm^{2}）$。
水面高度：
$100.48÷12.56=8(cm)$。
答：水面高度为8cm。
2. 如图,以 $BC$ 为轴旋转一周得到一个立体图形,求它的体积。
答案
它的体积是$37.68 \mathrm{cm^3}$。
解析
$直角三角形ABC以BC为轴旋转一周得到的立体图形是一个圆锥，底面半径r= 3\mathrm{cm}，高h = 4\mathrm{cm}$。
圆锥体积公式$V = \frac{1}{3}π r^2h$。
代入数值，
$V = \frac{1}{3}π × 3^2 × 4$
$ = \frac{1}{3}π × 9 × 4$
$ = \frac{1}{3} × 36π$
$ = 12π$
$ \approx 37.68 \mathrm{cm^3}$
圆锥体积公式$V = \frac{1}{3}π r^2h$。
代入数值，
$V = \frac{1}{3}π × 3^2 × 4$
$ = \frac{1}{3}π × 9 × 4$
$ = \frac{1}{3} × 36π$
$ = 12π$
$ \approx 37.68 \mathrm{cm^3}$
3. 将一个底面半径是 4 厘米、高是 6 厘米的圆柱体零件熔铸成一个底面直径为 6 厘米的圆锥形零件。圆锥形零件的高是多少厘米?
答案
圆柱体体积：$V_1 = π r_1^2 h_1 = 3.14 × 4^2 × 6 = 3.14 × 16 × 6 = 301.44$（立方厘米）
圆锥底面半径：$r_2 = 6 ÷ 2 = 3$（厘米）
圆锥体积公式：$V_2 = \frac{1}{3} π r_2^2 h_2$，因为$V_1 = V_2$，所以$h_2 = \frac{3V_1}{π r_2^2} = \frac{3 × 301.44}{3.14 × 3^2} = \frac{904.32}{3.14 × 9} = \frac{904.32}{28.26} = 32$（厘米）
答：圆锥形零件的高是32厘米。
圆锥底面半径：$r_2 = 6 ÷ 2 = 3$（厘米）
圆锥体积公式：$V_2 = \frac{1}{3} π r_2^2 h_2$，因为$V_1 = V_2$，所以$h_2 = \frac{3V_1}{π r_2^2} = \frac{3 × 301.44}{3.14 × 3^2} = \frac{904.32}{3.14 × 9} = \frac{904.32}{28.26} = 32$（厘米）
答：圆锥形零件的高是32厘米。
五、一个底面直径是 12 cm 的圆锥,如图从顶点沿高将它切成两半后,表面积增加了 $72 \mathrm{ cm}^2$。求这个圆锥的体积。
答案
226.08cm³
解析
圆锥底面半径：12÷2=6(cm)；切开后增加2个三角形面，每个三角形面积：72÷2=36(cm²)；三角形底为圆锥底面直径12cm，高（圆锥的高）：36×2÷12=6(cm)；圆锥体积：(1/3)×3.14×6²×6=226.08(cm³)
