9. 提升题 为推进主题公园设施建设，某城市公园管理部门准备改、扩建一块草坪场地。现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：
信息一

信息二
甲工程队施工 $ 1500 \mathrm{ m}^2 $ 所需天数与乙工程队施工 $ 1000 \mathrm{ m}^2 $ 所需天数相等。
（1）求 $ x $ 的值；
（2）该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工 $ 20 $ 天，且完成的施工面积不少于 $ 10000 \mathrm{ m}^2 $。求该段时间内城市公园管理部门至少需要支付多少施工费用。

（1）甲队每天施工$ (x + 200) \, \mathrm{m}^2 $，施工$ 1500 \, \mathrm{m}^2 $所需天数为$ \frac{1500}{x + 200} $天；
乙队每天施工$ x \, \mathrm{m}^2 $，施工$ 1000 \, \mathrm{m}^2 $所需天数为$ \frac{1000}{x} $天。
根据题意，两队施工天数相等：
$ \frac{1500}{x + 200} = \frac{1000}{x} $
解方程：
$ 1500x = 1000(x + 200) $
$ 1500x = 1000x + 200000 $
$ 500x = 200000 $
$ x = 400 $
经检验，$ x = 400 $是原方程的解，且符合题意。
所以$x$的值为$400$。

（2）设甲队施工$ y $天，则乙队施工$ (20 - y) $天。
总施工面积不少于$ 10000 \, \mathrm{m}^2 $：
$ (400 + 200)y + 400(20 - y) ≥ 10000 $
$ 600y + 8000 - 400y ≥ 10000 $
$ 200y ≥ 2000 $
$ y ≥ 10 $
设总费用为$ w $元：
$ w = 8000y + 6000(20 - y) $
$ w = 8000y + 120000 - 6000y $
$ w = 2000y + 120000 $
当$ y = 10 $时，费用最小：
$ w = 2000 × 10 + 120000 = 140000 $
所以该段时间内城市公园管理部门至少需要支付的施工费用为$140000$元。