【变式 3】有一个两位数，它的值等于十位上的数字与个位上的数字之和的 $4$ 倍，它的十位上的数字比个位上的数字小 $2$，则这个两位数是。

24

设这个两位数的十位数字为$x$，个位数字为$y$。根据题意，得$\begin{cases}10x + y = 4(x + y) \\ y - x = 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 2 \\ y = 4\end{cases}$，所以这个两位数是$24$。

【变式 4】一个三位数和一个两位数的差为 $225$，在三位数的左边写上这个两位数，得到一个五位数，在三位数的右边写上这个两位数，也得到一个五位数。已知前面的五位数比后面的五位数大 $225$，求这个三位数和两位数。

设三位数为$x$，两位数为$y$。
根据题意，得：
$\begin{cases}x - y = 225 \\(1000y + x) - (100x + y) = 225\end{cases}$
化简第二个方程：
$1000y + x - 100x - y = 225 \\999y - 99x = 225 \\111y - 11x = 25$
由第一个方程得$x = y + 225$，代入$111y - 11x = 25$：
$111y - 11(y + 225) = 25 \\111y - 11y - 2475 = 25 \\100y = 2500 \\y = 25$
则$x = 25 + 225 = 250$。
检验：$250 - 25 = 225$；左边五位数为$25250$，右边五位数为$25025$，$25250 - 25025 = 225$，符合题意。
三位数为$250$，两位数为$25$。

【例 3】现有一项对 $88$ m 长的河道进行清淤的任务，由甲、乙两个工程队先后接力完成。甲工程队每天清理 $10$ m，乙工程队每天清理 $8$ m，两工程队共用时 $10$ 天，则甲、乙两工程队各清理了几天？

解：设甲工程队清理了$x$天，则乙工程队清理了$(10 - x)$天。
根据题意，得$10x + 8(10 - x) = 88$。
去括号，得$10x + 80 - 8x = 88$。
移项，得$10x - 8x = 88 - 80$。
合并同类项，得$2x = 8$。
系数化为$1$，得$x = 4$。
则乙工程队清理的天数为：$10 - x = 10 - 4 = 6$（天）。
答：甲工程队清理了$4$天，乙工程队清理了$6$天。

【变式 5】甲、乙承包一项任务，共生产机器零件 $420$ 个，甲先做 $2$ 天，乙加入合作，再做 $2$ 天完成；如果乙先做 $2$ 天，甲加入合作，那么再做 $3$ 天完成。设甲每天做 $x$ 个零件，乙每天做 $y$ 个零件，列方程组为()。

A.$\begin{cases}2x + 2y = 420, \\ 2y + 3x = 420\end{cases}$
B.$\begin{cases}2x + 4y = 420, \\ 2y + 5x = 420\end{cases}$
C.$\begin{cases}4x + 2y = 420, \\ 3x + 5y = 420\end{cases}$
D.$\begin{cases}2x + 4y = 420, \\ 3x + 5y = 420\end{cases}$

C

设甲每天做$x$个零件，乙每天做$y$个零件。
第一种情况：甲先做两天，然后乙加入，两人再做两天，总共完成的零件数为甲单独做两天的量加上两人合作两天的量，即$2x + 2x + 2y = 4x + 2y$。
第二种情况：乙先做两天，然后甲加入，两人再做三天，总共完成的零件数为乙单独做两天的量加上两人合作三天的量，即$2y + 3x + 3y = 3x + 5y$。
由于两种情况都完成了420个零件，所以可以列出方程组：
$\begin{cases}4x + 2y = 420, \\3x + 5y = 420.\end{cases}$

【变式 6】一项工作，若甲先完成全部工作的 $\frac{1}{2}$，然后乙完成余下部分，两人共用 $25$ 天；若甲先完成全部工作的 $\frac{1}{5}$，然后乙完成余下部分，两人共用 $28$ 天。求甲单独完成这项工作所需的时间。

设甲单独完成这项工作需$x$天，乙单独完成需$y$天，工作总量为单位“1”，则甲的工作效率为$\frac{1}{x}$，乙的工作效率为$\frac{1}{y}$。
根据题意，得：
$\begin{cases}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{x}} + \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{y}} = 25 \\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{x}} + \frac{\frac{4}{5}}{\frac{1}{y}} = 28\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 25 \\frac{x}{5} + \frac{4y}{5} = 28\end{cases}$
整理为：
$\begin{cases}x + y = 50 \quad ① \\x + 4y = 140 \quad ②\end{cases}$
② - ①得：$3y = 90$，解得$y = 30$。
将$y = 30$代入①得：$x + 30 = 50$，解得$x = 20$。
答：甲单独完成这项工作所需的时间为20天。

1. 甲、乙两个小组共同生产某种产品。若甲组先生产 $1$ 天，然后甲、乙合作生产 $5$ 天，则两个小组产量一样多；若甲组先生产 $300$ 个产品，然后两组合作生产 $4$ 天，则乙比甲多生产 $100$ 个产品。若设甲每天生产 $x$ 个产品，乙每天生产 $y$ 个产品，则可列方程组为()。

A.$\begin{cases}6x = 5y, \\ 300 + 4x = 4y + 100\end{cases}$
B.$\begin{cases}5x = 6y, \\ 200 + 4x = 4y\end{cases}$
C.$\begin{cases}6x - 5y = 0, \\ 4x + 400 = 4y\end{cases}$
D.$\begin{cases}5x - 6y = 0, \\ 4x + 400 = 4y\end{cases}$

C

根据题意，第一个条件：甲组先生产1天，再合作5天，甲共生产6天，产量为6x；乙合作5天，产量为5y，产量相等得6x=5y，即6x-5y=0。第二个条件：甲先生产300个，再合作4天，甲总产量为300+4x；乙合作4天，产量为4y，乙比甲多100个，得4y=300+4x+100，即4x+400=4y。故方程组为$\begin{cases}6x - 5y = 0 \\ 4x + 400 = 4y\end{cases}$。