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10. 已知$P = x + 2$，$Q=\frac{8x}{x + 2}$.当$x＞0$时，判断$P$与$Q$的大小关系，并说明理由.
答案
10. 当 $ x＞0 $ 时，$ P ≥ Q $，理由如下：$\because P = x + 2$，$ Q = \frac{8x}{x + 2} $，$\therefore P - Q = x + 2 - \frac{8x}{x + 2} = \frac{x^{2} + 4x + 4}{x + 2} - \frac{8x}{x + 2} = \frac{(x - 2)^{2}}{x + 2} $。$\because x＞0$，$\therefore x + 2＞0$，$(x - 2)^{2} ≥ 0$，$\therefore P - Q = \frac{(x - 2)^{2}}{x + 2} ≥ 0$，$\therefore P ≥ Q$
解析
【分析】
要判断P与Q的大小关系，可采用作差法这一比较代数式大小的常用方法。先计算P-Q，将整式转化为同分母分式后进行减法运算，再通过完全平方公式化简式子，最后结合x＞0的条件，分析化简后式子的正负性，进而得出P和Q的大小关系：若差≥0，则P≥Q；若差＜0，则P＜Q。
【解析】
当$x＞0$时，$P ≥ Q$，理由如下：
$\because P = x + 2$，$Q = \frac{8x}{x + 2}$，
$\therefore P - Q = x + 2 - \frac{8x}{x + 2}$
$= \frac{(x + 2)^2}{x + 2} - \frac{8x}{x + 2}$
$= \frac{x^2 + 4x + 4 - 8x}{x + 2}$
$= \frac{x^2 - 4x + 4}{x + 2}$
$= \frac{(x - 2)^2}{x + 2}$。
$\because x＞0$，
$\therefore x + 2＞0$，又$\because (x - 2)^2 ≥ 0$（任何实数的平方均为非负数），
$\therefore \frac{(x - 2)^2}{x + 2} ≥ 0$，即$P - Q ≥ 0$，
$\therefore P ≥ Q$。
【答案】
当$x＞0$时，$P ≥ Q$
【知识点】
作差法比较大小、分式加减运算、完全平方公式
【点评】
本题核心考查作差法比较代数式大小的应用，结合分式运算与完全平方公式化简，利用平方数的非负性判断差的符号是解题关键。作差法是比较数或代数式大小的基础方法，通过将问题转化为判断差的正负，能有效锻炼逻辑推理与代数运算能力。
【难度系数】
0.7
要判断P与Q的大小关系，可采用作差法这一比较代数式大小的常用方法。先计算P-Q，将整式转化为同分母分式后进行减法运算，再通过完全平方公式化简式子，最后结合x＞0的条件，分析化简后式子的正负性，进而得出P和Q的大小关系：若差≥0，则P≥Q；若差＜0，则P＜Q。
【解析】
当$x＞0$时，$P ≥ Q$，理由如下：
$\because P = x + 2$，$Q = \frac{8x}{x + 2}$，
$\therefore P - Q = x + 2 - \frac{8x}{x + 2}$
$= \frac{(x + 2)^2}{x + 2} - \frac{8x}{x + 2}$
$= \frac{x^2 + 4x + 4 - 8x}{x + 2}$
$= \frac{x^2 - 4x + 4}{x + 2}$
$= \frac{(x - 2)^2}{x + 2}$。
$\because x＞0$，
$\therefore x + 2＞0$，又$\because (x - 2)^2 ≥ 0$（任何实数的平方均为非负数），
$\therefore \frac{(x - 2)^2}{x + 2} ≥ 0$，即$P - Q ≥ 0$，
$\therefore P ≥ Q$。
【答案】
当$x＞0$时，$P ≥ Q$
【知识点】
作差法比较大小、分式加减运算、完全平方公式
【点评】
本题核心考查作差法比较代数式大小的应用，结合分式运算与完全平方公式化简，利用平方数的非负性判断差的符号是解题关键。作差法是比较数或代数式大小的基础方法，通过将问题转化为判断差的正负，能有效锻炼逻辑推理与代数运算能力。
【难度系数】
0.7
11. 在一条河里，甲、乙两船从$A$港口同时同向逆流出发，分别航行$1h$后立即原路返航，若甲船在静水中的速度为$v_{1}$，乙船在静水中的速度为$v_{2}$，水流速度为$v_{0}$（$v_{1}＞v_{2}＞v_{0}＞0$），甲、乙两船是否同时返回$A$港？为什么？
答案
11. 甲、乙两船不同时返回 A 港。理由：由题意得，甲船的返航时间为 $ t_{1} = \frac{1 × (v_{1} - v_{0})}{v_{1} + v_{0}} = \frac{v_{1} - v_{0}}{v_{1} + v_{0}} $，乙船的返航时间为 $ t_{2} = \frac{1 × (v_{2} - v_{0})}{v_{2} + v_{0}} = \frac{v_{2} - v_{0}}{v_{2} + v_{0}} $，$\therefore t_{1} - t_{2} = \frac{v_{1} - v_{0}}{v_{1} + v_{0}} - \frac{v_{2} - v_{0}}{v_{2} + v_{0}} = \frac{(v_{1} - v_{0})(v_{2} + v_{0}) - (v_{2} - v_{0})(v_{1} + v_{0})}{(v_{1} + v_{0})(v_{2} + v_{0})} = \frac{2v_{0}(v_{1} - v_{2})}{(v_{1} + v_{0})(v_{2} + v_{0})} $。$\because v_{1}＞v_{2}＞v_{0}＞0$，$\therefore v_{1} - v_{2}＞0$，$ v_{1 +}v_{0}＞0 $，$ v_{2} + v_{0}＞0 $。$\therefore t_{1} - t_{2}＞0$。$\therefore t_{1}＞t_{2}$。$\therefore$ 乙船先返回 A 港
解析
【分析】
要判断甲、乙两船是否同时返回A港，需分别计算两船的返航时间并比较是否相等。首先，根据逆流速度=船在静水中速度-水流速度，可得出两船逆流航行1小时的路程；返航时为顺流航行，顺流速度=船在静水中速度+水流速度，结合“时间=路程÷速度”可求出两船的返航时间；最后通过作差法比较两个返航时间的大小，结合已知条件$v_{1}＞v_{2}＞v_{0}＞0$判断时间是否相等即可。
【解析】
甲、乙两船不同时返回A港，理由如下：
1. 计算甲船的返航时间：
甲船逆流航行1小时的路程为$1×(v_{1}-v_{0})=v_{1}-v_{0}$，甲船顺流返航的速度为$v_{1}+v_{0}$，因此甲船的返航时间：
$t_{1}=\frac{v_{1}-v_{0}}{v_{1}+v_{0}}$
2. 计算乙船的返航时间：
乙船逆流航行1小时的路程为$1×(v_{2}-v_{0})=v_{2}-v_{0}$，乙船顺流返航的速度为$v_{2}+v_{0}$，因此乙船的返航时间：
$t_{2}=\frac{v_{2}-v_{0}}{v_{2}+v_{0}}$
3. 比较$t_{1}$与$t_{2}$的大小：
对$t_{1}$和$t_{2}$作差：
$t_{1}-t_{2}=\frac{v_{1}-v_{0}}{v_{1}+v_{0}}-\frac{v_{2}-v_{0}}{v_{2}+v_{0}}$
通分并化简分子：
$=\frac{(v_{1}-v_{0})(v_{2}+v_{0})-(v_{2}-v_{0})(v_{1}+v_{0})}{(v_{1}+v_{0})(v_{2}+v_{0})}$
$=\frac{v_{1}v_{2}+v_{1}v_{0}-v_{0}v_{2}-v_{0}^{2}-v_{1}v_{2}-v_{2}v_{0}+v_{1}v_{0}+v_{0}^{2}}{(v_{1}+v_{0})(v_{2}+v_{0})}$
$=\frac{2v_{0}(v_{1}-v_{2})}{(v_{1}+v_{0})(v_{2}+v_{0})}$
已知$v_{1}＞v_{2}＞v_{0}＞0$，则$v_{1}-v_{2}＞0$，$v_{1}+v_{0}＞0$，$v_{2}+v_{0}＞0$，因此$t_{1}-t_{2}＞0$，即$t_{1}＞t_{2}$。
所以乙船的返航时间更短，两船不同时返回A港。
【答案】
甲、乙两船不同时返回A港，乙船先返回A港。
【知识点】
顺逆流航行问题，分式的加减运算，作差比较大小
【点评】
本题核心是利用行船问题的速度关系推导往返时间，通过作差法比较分式大小是判断时间长短的关键，需要熟练掌握分式通分、化简的技巧，理清往返路程相等的隐含条件。
【难度系数】
0.6
要判断甲、乙两船是否同时返回A港，需分别计算两船的返航时间并比较是否相等。首先，根据逆流速度=船在静水中速度-水流速度，可得出两船逆流航行1小时的路程；返航时为顺流航行，顺流速度=船在静水中速度+水流速度，结合“时间=路程÷速度”可求出两船的返航时间；最后通过作差法比较两个返航时间的大小，结合已知条件$v_{1}＞v_{2}＞v_{0}＞0$判断时间是否相等即可。
【解析】
甲、乙两船不同时返回A港，理由如下：
1. 计算甲船的返航时间：
甲船逆流航行1小时的路程为$1×(v_{1}-v_{0})=v_{1}-v_{0}$，甲船顺流返航的速度为$v_{1}+v_{0}$，因此甲船的返航时间：
$t_{1}=\frac{v_{1}-v_{0}}{v_{1}+v_{0}}$
2. 计算乙船的返航时间：
乙船逆流航行1小时的路程为$1×(v_{2}-v_{0})=v_{2}-v_{0}$，乙船顺流返航的速度为$v_{2}+v_{0}$，因此乙船的返航时间：
$t_{2}=\frac{v_{2}-v_{0}}{v_{2}+v_{0}}$
3. 比较$t_{1}$与$t_{2}$的大小：
对$t_{1}$和$t_{2}$作差：
$t_{1}-t_{2}=\frac{v_{1}-v_{0}}{v_{1}+v_{0}}-\frac{v_{2}-v_{0}}{v_{2}+v_{0}}$
通分并化简分子：
$=\frac{(v_{1}-v_{0})(v_{2}+v_{0})-(v_{2}-v_{0})(v_{1}+v_{0})}{(v_{1}+v_{0})(v_{2}+v_{0})}$
$=\frac{v_{1}v_{2}+v_{1}v_{0}-v_{0}v_{2}-v_{0}^{2}-v_{1}v_{2}-v_{2}v_{0}+v_{1}v_{0}+v_{0}^{2}}{(v_{1}+v_{0})(v_{2}+v_{0})}$
$=\frac{2v_{0}(v_{1}-v_{2})}{(v_{1}+v_{0})(v_{2}+v_{0})}$
已知$v_{1}＞v_{2}＞v_{0}＞0$，则$v_{1}-v_{2}＞0$，$v_{1}+v_{0}＞0$，$v_{2}+v_{0}＞0$，因此$t_{1}-t_{2}＞0$，即$t_{1}＞t_{2}$。
所以乙船的返航时间更短，两船不同时返回A港。
【答案】
甲、乙两船不同时返回A港，乙船先返回A港。
【知识点】
顺逆流航行问题，分式的加减运算，作差比较大小
【点评】
本题核心是利用行船问题的速度关系推导往返时间，通过作差法比较分式大小是判断时间长短的关键，需要熟练掌握分式通分、化简的技巧，理清往返路程相等的隐含条件。
【难度系数】
0.6
12. 证明：$\frac{1}{2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}+···\frac{1}{n×(n + 1)}＜1$（$n$为正整数）.
答案
12. 对正整数 $ k $，有 $ \frac{1}{k(k + 1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1} $。$\therefore$ 原式 $ = \frac{1}{2} + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + ··· + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{n + 1} = 1 - \frac{1}{n + 1} $。$\because n$ 为正整数，$\therefore n + 1＞1$，则 $ \frac{1}{n + 1}＞0 $。$\therefore 1 - \frac{1}{n + 1}＜1$
解析
【分析】
要证明该不等式，先观察式子中每一项的结构，发现每一项的分母都是两个连续正整数的乘积，这类分式可通过裂项相消法拆分。先将$\frac{1}{k(k+1)}$拆成$\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$的形式，再将原式各项按此拆分后相加，中间项会相互抵消，化简得到简洁表达式，最后结合$n$是正整数的性质，即可证明不等式。
【解析】
对任意正整数$k$，有$\frac{1}{(k + 1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}$。
将原式各项按上述规律拆分：
原式$ = \frac{1}{2} + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + ··· + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1})$
去括号后，中间的$- \frac{1}{3}$与$+ \frac{1}{3}$、$- \frac{1}{4}$与$+ \frac{1}{4}$等项相互抵消，化简得：
原式$ = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{n + 1} = 1 - \frac{1}{n + 1}$
因为$n$为正整数，所以$n + 1 ＞ 1$，则$\frac{1}{n + 1} ＞ 0$，因此$1 - \frac{1}{n + 1} ＜ 1$，即原式$＜1$，不等式得证。
【答案】
不等式$\frac{1}{2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}+···\frac{1}{n×(n + 1)}＜1$（$n$为正整数）成立。
【知识点】
裂项相消法、分式拆分
【点评】
本题考查裂项相消法在数列求和中的应用，通过拆分分式将复杂求和转化为简单加减运算，消去中间项后得到简洁表达式，再利用正整数性质证明不等式，关键是掌握$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$的裂项技巧。
【难度系数】
0.7
要证明该不等式，先观察式子中每一项的结构，发现每一项的分母都是两个连续正整数的乘积，这类分式可通过裂项相消法拆分。先将$\frac{1}{k(k+1)}$拆成$\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$的形式，再将原式各项按此拆分后相加，中间项会相互抵消，化简得到简洁表达式，最后结合$n$是正整数的性质，即可证明不等式。
【解析】
对任意正整数$k$，有$\frac{1}{(k + 1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}$。
将原式各项按上述规律拆分：
原式$ = \frac{1}{2} + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + ··· + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1})$
去括号后，中间的$- \frac{1}{3}$与$+ \frac{1}{3}$、$- \frac{1}{4}$与$+ \frac{1}{4}$等项相互抵消，化简得：
原式$ = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{n + 1} = 1 - \frac{1}{n + 1}$
因为$n$为正整数，所以$n + 1 ＞ 1$，则$\frac{1}{n + 1} ＞ 0$，因此$1 - \frac{1}{n + 1} ＜ 1$，即原式$＜1$，不等式得证。
【答案】
不等式$\frac{1}{2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}+···\frac{1}{n×(n + 1)}＜1$（$n$为正整数）成立。
【知识点】
裂项相消法、分式拆分
【点评】
本题考查裂项相消法在数列求和中的应用，通过拆分分式将复杂求和转化为简单加减运算，消去中间项后得到简洁表达式，再利用正整数性质证明不等式，关键是掌握$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$的裂项技巧。
【难度系数】
0.7
13. 化简：$\frac{2a - b - c}{(a - b)(a - c)}+\frac{2b - c - a}{(b - c)(b - a)}+\frac{2c - a - b}{(c - a)(c - b)}$.
答案
13. 原式 $ = \frac{2a - b - c}{(a - b)(a - c)} - \frac{2b - c - a}{(b - c)(a - b)} + \frac{2c - a - b}{(a - c)(b - c)} = \frac{(a - b) + (a - c)}{(a - b)(a - c)} - \frac{(b - c) + (b - a)}{(b - c)(a - b)} + \frac{(c - a) + (c - b)}{(c - a)(c - b)} = \frac{1}{a - c} + \frac{1}{a - b} - \frac{1}{a - b} - \frac{1}{c - b} + \frac{1}{c - b} + \frac{1}{c - a} = 0 $
解析
【分析】
本题是分式化简题，解题关键在于对分子进行合理拆分以及调整分母的符号：
1. 首先观察分母中互为相反数的因式，如$(b-a)=-(a-b)$，$(c-a)(c-b)=(a-c)(b-c)$，先将原式转化为分母因式形式统一的式子，方便后续计算；
2. 发现每个分式的分子可拆分为分母中两个因式的和，例如$2a-b-c=(a-b)+(a-c)$，将复杂分式拆分为两个简单分式的和；
3. 拆分后合并同类项，可发现多数项相互抵消，最终得到化简结果。
【解析】
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{2a - b - c}{(a - b)(a - c)} - \frac{2b - c - a}{(b - c)(a - b)} + \frac{2c - a - b}{(a - c)(b - c)}\\&=\frac{(a - b)+(a - c)}{(a - b)(a - c)} - \frac{(b - c)+(b - a)}{(b - c)(a - b)} + \frac{(c - a)+(c - b)}{(c - a)(c - b)}\\&=\frac{1}{a - c} + \frac{1}{a - b} - (\frac{1}{a - b} + \frac{1}{c - b}) + \frac{1}{c - b} + \frac{1}{c - a}\\&=\frac{1}{a - c} + \frac{1}{a - b} - \frac{1}{a - b} - \frac{1}{c - b} + \frac{1}{c - b} + \frac{1}{c - a}\\&=(\frac{1}{a - c} + \frac{1}{c - a}) + (\frac{1}{a - b} - \frac{1}{a - b}) + (-\frac{1}{c - b} + \frac{1}{c - b})\\&=0 + 0 + 0\\&=0\end{aligned}$
【答案】
$\boxed{0}$
【知识点】
分式化简，分子拆分，分母符号转化
【点评】
本题考查分式化简的技巧性运算，需要观察分式的结构特征，通过拆分分子将复杂分式转化为简单分式的和，同时注意分母中互为相反数因式的符号处理，拆分后利用分式加减的抵消规律简化计算，对学生的观察能力和分式运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
本题是分式化简题，解题关键在于对分子进行合理拆分以及调整分母的符号：
1. 首先观察分母中互为相反数的因式，如$(b-a)=-(a-b)$，$(c-a)(c-b)=(a-c)(b-c)$，先将原式转化为分母因式形式统一的式子，方便后续计算；
2. 发现每个分式的分子可拆分为分母中两个因式的和，例如$2a-b-c=(a-b)+(a-c)$，将复杂分式拆分为两个简单分式的和；
3. 拆分后合并同类项，可发现多数项相互抵消，最终得到化简结果。
【解析】
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{2a - b - c}{(a - b)(a - c)} - \frac{2b - c - a}{(b - c)(a - b)} + \frac{2c - a - b}{(a - c)(b - c)}\\&=\frac{(a - b)+(a - c)}{(a - b)(a - c)} - \frac{(b - c)+(b - a)}{(b - c)(a - b)} + \frac{(c - a)+(c - b)}{(c - a)(c - b)}\\&=\frac{1}{a - c} + \frac{1}{a - b} - (\frac{1}{a - b} + \frac{1}{c - b}) + \frac{1}{c - b} + \frac{1}{c - a}\\&=\frac{1}{a - c} + \frac{1}{a - b} - \frac{1}{a - b} - \frac{1}{c - b} + \frac{1}{c - b} + \frac{1}{c - a}\\&=(\frac{1}{a - c} + \frac{1}{c - a}) + (\frac{1}{a - b} - \frac{1}{a - b}) + (-\frac{1}{c - b} + \frac{1}{c - b})\\&=0 + 0 + 0\\&=0\end{aligned}$
【答案】
$\boxed{0}$
【知识点】
分式化简，分子拆分，分母符号转化
【点评】
本题考查分式化简的技巧性运算，需要观察分式的结构特征，通过拆分分子将复杂分式转化为简单分式的和，同时注意分母中互为相反数因式的符号处理，拆分后利用分式加减的抵消规律简化计算，对学生的观察能力和分式运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
