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4. 求代数式 $ \dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $ 的值，其中 $ a = 2 $，$ b = -8 $，$ c = 5 $。
答案
$\frac{4 + \sqrt{6}}{2}$
解析
将 $a = 2$，$b = -8$，$c = 5$ 代入代数式，得：
$\begin{aligned}&\frac{-(-8) + \sqrt{(-8)^2 - 4 × 2 × 5}}{2 × 2}\\=&\frac{8 + \sqrt{64 - 40}}{4}\\=&\frac{8 + \sqrt{24}}{4}\\=&\frac{8 + 2\sqrt{6}}{4}\\=&\frac{4 + \sqrt{6}}{2}\end{aligned}$
$\begin{aligned}&\frac{-(-8) + \sqrt{(-8)^2 - 4 × 2 × 5}}{2 × 2}\\=&\frac{8 + \sqrt{64 - 40}}{4}\\=&\frac{8 + \sqrt{24}}{4}\\=&\frac{8 + 2\sqrt{6}}{4}\\=&\frac{4 + \sqrt{6}}{2}\end{aligned}$
5. 先化简，再求值：$ (a + b)^2 + (a - b)(2a + b) - 3a^2 $，其中 $ a = 2 + \sqrt{3} $，$ b = 2 - \sqrt{3} $。
答案
1
解析
本题可先根据完全平方公式、多项式乘多项式法则将原式化简，再将$a$、$b$的值代入化简后的式子求值。
步骤一：化简原式
根据完全平方公式$(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$，将$(a + b)^2$展开得$a^2 + 2ab + b^2$。
根据多项式乘多项式法则，将$(a - b)(2a + b)$展开得：
$a×2a+a× b - b×2a - b× b=2a^2 + ab - 2ab - b^2=2a^2 - ab - b^2$。
将上述展开式代入原式可得：
$(a^2 + 2ab + b^2)+(2a^2 - ab - b^2)-3a^2$
去括号得：$a^2 + 2ab + b^2 + 2a^2 - ab - b^2 - 3a^2$
合并同类项得：$(a^2+2a^2 - 3a^2)+(b^2 - b^2)+(2ab - ab)=ab$。
步骤二：代入求值
将$a = 2 + \sqrt{3}$，$b = 2 - \sqrt{3}$代入$ab$可得：
$(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})$
根据平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2 - n^2$，可得：
$2^2 - (\sqrt{3})^2=4 - 3 = 1$。
步骤一：化简原式
根据完全平方公式$(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$，将$(a + b)^2$展开得$a^2 + 2ab + b^2$。
根据多项式乘多项式法则，将$(a - b)(2a + b)$展开得：
$a×2a+a× b - b×2a - b× b=2a^2 + ab - 2ab - b^2=2a^2 - ab - b^2$。
将上述展开式代入原式可得：
$(a^2 + 2ab + b^2)+(2a^2 - ab - b^2)-3a^2$
去括号得：$a^2 + 2ab + b^2 + 2a^2 - ab - b^2 - 3a^2$
合并同类项得：$(a^2+2a^2 - 3a^2)+(b^2 - b^2)+(2ab - ab)=ab$。
步骤二：代入求值
将$a = 2 + \sqrt{3}$，$b = 2 - \sqrt{3}$代入$ab$可得：
$(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})$
根据平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2 - n^2$，可得：
$2^2 - (\sqrt{3})^2=4 - 3 = 1$。
6. 观察运算：$ \sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 2 × \sqrt{2} × 1 + 1^2} = \sqrt{(\sqrt{2} + 1)^2} = \sqrt{2} + 1 $。
(1) 填空：
$ \sqrt{11 + 4\sqrt{7}} = \sqrt{( )^2 + 2 × ( ) × ( ) + ( )^2} = \sqrt{( )^2} = \_\_\_\_\_ $。
(2) 计算：$ \sqrt{6 - 2\sqrt{5}} $，$ \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} $。
(1) 填空：
$ \sqrt{11 + 4\sqrt{7}} = \sqrt{( )^2 + 2 × ( ) × ( ) + ( )^2} = \sqrt{( )^2} = \_\_\_\_\_ $。
(2) 计算：$ \sqrt{6 - 2\sqrt{5}} $，$ \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} $。
答案
(1) $\sqrt{7}$；$\sqrt{7}$；$2$；$2$；$\sqrt{7}+2$；$\sqrt{7}+2$
(2) $\sqrt{6 - 2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 - 2×\sqrt{5}×1 + 1^2} = \sqrt{(\sqrt{5} - 1)^2} = \sqrt{5} - 1$
$\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 2×\sqrt{3}×\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$
(2) $\sqrt{6 - 2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 - 2×\sqrt{5}×1 + 1^2} = \sqrt{(\sqrt{5} - 1)^2} = \sqrt{5} - 1$
$\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 2×\sqrt{3}×\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$
7. 已知 $ a + \dfrac{1}{a} = \sqrt{10} $，求 $ a - \dfrac{1}{a} $ 的值。
答案
$\pm \sqrt{6}$
解析
解：设 $ b = a - \dfrac{1}{a} $，
因为 $ a + \dfrac{1}{a} = \sqrt{10} $，
所以 $ (a + \dfrac{1}{a})^2 = (\sqrt{10})^2 $，
即 $ a^2 + 2 · a · \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{a^2} = 10 $，
$ a^2 + 2 + \dfrac{1}{a^2} = 10 $，
$ a^2 + \dfrac{1}{a^2} = 8 $。
又因为 $ b^2 = (a - \dfrac{1}{a})^2 = a^2 - 2 · a · \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{a^2} = a^2 + \dfrac{1}{a^2} - 2 = 8 - 2 = 6 $，
所以 $ b = \pm \sqrt{6} $，即 $ a - \dfrac{1}{a} = \pm \sqrt{6} $。
因为 $ a + \dfrac{1}{a} = \sqrt{10} $，
所以 $ (a + \dfrac{1}{a})^2 = (\sqrt{10})^2 $，
即 $ a^2 + 2 · a · \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{a^2} = 10 $，
$ a^2 + 2 + \dfrac{1}{a^2} = 10 $，
$ a^2 + \dfrac{1}{a^2} = 8 $。
又因为 $ b^2 = (a - \dfrac{1}{a})^2 = a^2 - 2 · a · \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{a^2} = a^2 + \dfrac{1}{a^2} - 2 = 8 - 2 = 6 $，
所以 $ b = \pm \sqrt{6} $，即 $ a - \dfrac{1}{a} = \pm \sqrt{6} $。
