1. 已知有一个多边形，其周长为10厘米，有一个直径为1厘米的圆在其外围滚动了一周，试说明圆心走过的距离是否与这个多边形的边数有关，若无关，求出圆心走过的距离；若有关，写出圆心走过的距离与该多边形的边数n的关系式。
答案
拓展探究
1. 无关。 该多边形边数为n，则其内角和是$(n - 2)×180^{\circ}$，由例2推导可知，圆在每一个顶点上转过的圆心角与该顶点对应的内角之和是$180^{\circ}$，该多边形有n条边，则有n个内角，那么n个$180^{\circ}$相加再减去每个内角也就是该多边形的内角和$[(n - 2)×180^{\circ}]$可得圆心在滚动时经过的圆弧部分的圆心角度数和是$180^{\circ}×n-(n - 2)×180^{\circ}=2×180^{\circ}=360^{\circ}$，即经过了1个周角，所以圆心走过的距离与多边形的边数无关，而是多边形周长与圆周长的和。$10 + 3.14×1 = 13.14$(厘米)
1. 无关。 该多边形边数为n，则其内角和是$(n - 2)×180^{\circ}$，由例2推导可知，圆在每一个顶点上转过的圆心角与该顶点对应的内角之和是$180^{\circ}$，该多边形有n条边，则有n个内角，那么n个$180^{\circ}$相加再减去每个内角也就是该多边形的内角和$[(n - 2)×180^{\circ}]$可得圆心在滚动时经过的圆弧部分的圆心角度数和是$180^{\circ}×n-(n - 2)×180^{\circ}=2×180^{\circ}=360^{\circ}$，即经过了1个周角，所以圆心走过的距离与多边形的边数无关，而是多边形周长与圆周长的和。$10 + 3.14×1 = 13.14$(厘米)
2. 如图，求圆沿该图形外围滚动一周后圆心走过的距离。
答案
2. $3 + 5 + 3 + 3.14×1÷4×2 = 12.57(cm)$ $3.14×1÷4×3 = 2.355(cm)$ $12.57 + 2.355+(3 - 1÷2)+(4 - 1÷2)=20.925(cm)$
解析:如图，连接AD，可知ABCD是长方形，则圆在从点A经点B、C到点D的过程中圆心走过的距离为AB、BC、CD的长度之和加上两段直径1cm的$\frac{1}{4}$圆圆弧的长度之和。因为∠E是直角，可得$∠EAD + ∠ADE = 90^{\circ}$，由$∠BAE + ∠EAD = ∠ADE + ∠CDE = 90^{\circ}$，知$∠BAE + ∠CDE = 90^{\circ}$，由例2推出的结论可知，圆心在围绕点A和点D旋转时移动的圆弧圆心角之和是$180^{\circ}×2 - 90^{\circ}=270^{\circ}$，移动了圆周长的$\frac{3}{4}$。圆由点A经点E滚向点D，只沿线段滚动，且圆心经过的两条线段长分别比AE、ED的长短$1÷2 = 0.5(cm)$。相加即可求得滚动一周后圆心走过的距离。
3. 一个直径是1cm的圆沿一个半径是2cm的半圆外围滚动一周，求圆心走过的距离。
答案
3. $2×2 + 3.14×1÷4×2+(2 + 1÷2)×2×3.14÷2 = 13.42(cm)$ 解析:根据题意画图如下，圆心走过的距离分为三部分，分别是半圆直径，两个直径1cm的$\frac{1}{4}$小圆圆弧的长度，半径为$(2 + 1÷2)cm$的半圆圆弧的长度，相加即可求出圆心走过的距离。
