1. 有一个角是且有一组相等的平行四边形是正方形.
2. 正方形具有平行四边形：
边：四条边；
角：四个角；
对角线：对角线、每条对角线分每个内角为度的角.
3. 有一个角是直角的是正方形.
4. 有一组邻边相等的是正方形.

1.直角，邻边；
2.所有性质，都相等，都是直角，相等且互相垂直平分，45；
3.菱形；
4.矩形。

1.根据正方形的判定定理，有一个角是直角的且有一组邻边相等的平行四边形是正方形。
2.正方形具有平行四边形的所有性质，边：四条边都相等，角：四个角都是直角，对角线：对角线相等且互相垂直平分、每条对角线分每个内角为45度的角。
3.根据正方形的判定定理，有一个角是直角的菱形是正方形，因为菱形的四条边都相等，当角是直角时，就满足了正方形的定义。
4.根据正方形的判定定理，有一组邻边相等的矩形是正方形，矩形的四个角都是直角，当有一组邻边相等时，就满足了正方形的定义。

【典例1】如图，正方形ABCD中，点E是CD边上的一点（不与点C、D重合），连结BE，BF平分∠ABE，交AD边于点F，试判断线段AF、CE和BE之间的数量关系，并说明理由.

解析：AF + CE = BE.

理由：如图所示，过点B作BG⊥BE，与DA的延长线交于点G.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC = ∠C = ∠BAD = 90°，AB = BC，AD//BC，∴∠ABE + ∠CBE = 90°.
∵BG⊥BE，
∴∠GBE = ∠ABG + ∠ABE = 90°，
∴∠ABG = ∠CBE.
在△CBE和△ABG中，
$\{\begin{array}{l}∠C = ∠BAG = 90° \\BC = AB \\∠CBE = ∠ABG\end{array}$
∴△CBE≌△ABG(ASA)，
∴CE = AG，BE = BG.
∵BF平分∠ABE，∴∠ABF = ∠EBF.
∵∠ABG = ∠CBE，
∴∠ABG + ∠ABF = ∠CBE + ∠EBF，
即∠GBF = ∠CBF.
∵AD//BC，∴∠CBF = ∠AFB，
∴∠AFB = ∠GBF，∴BG = GF = BE，
∴AF + CE = AF + AG = GF = BE.

$AF + CE = BE$，
理由如下：
过点$B$作$BG ⊥ BE$，与$DA$的延长线交于点$G$。
$\because$四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore ∠ ABC = ∠ C = ∠ BAD = 90°$，$AB = BC$，$AD // BC$，
$\therefore ∠ ABE + ∠ CBE = 90°$，
$\because BG ⊥ BE$，
$\therefore ∠ GBE = ∠ ABG + ∠ ABE = 90°$，
$\therefore ∠ ABG = ∠ CBE$，
在$△ CBE$和$△ ABG$中，
$\begin{cases} ∠ C = ∠ BAG = 90°, \\ BC = AB, \\ ∠ CBE = ∠ ABG, \end{cases}$
$\therefore △ CBE ≌ △ ABG (ASA)$，
$\therefore CE = AG$，$BE = BG$，
$\because BF$平分$∠ ABE$，
$\therefore ∠ ABF = ∠ EBF$，
$\because ∠ ABG = ∠ CBE$，
$\therefore ∠ ABG + ∠ ABF = ∠ CBE + ∠ EBF$，
即$∠ GBF = ∠ CBF$，
$\because AD // BC$，
$\therefore ∠ CBF = ∠ AFB$，
$\therefore ∠ AFB = ∠ GBF$，
$\therefore BG = GF = BE$，
$\therefore AF + CE = AF + AG = GF = BE$。

【对点训练】
1. 如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，A、C两顶点在直线l两侧，过点A、C分别作AE⊥直线l，CF⊥直线l，垂足分别为E、F. 求证：EF = AE - CF.

证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°．
∵AE⊥l，CF⊥l，
∴∠AEB=∠CFB=90°．
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBF=90°．
在Rt△ABE中，∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠BAE=∠CBF．
在△ABE和△BCF中，
$\{\begin{array}{l}∠AEB=∠CFB\\∠BAE=∠CBF\\AB=BC\end{array} $，
∴△ABE≌△BCF（AAS）．
∴AE=BF，BE=CF．
由图形可知：BF=EF+BE，
∴AE=EF+CF（等量代换）．
∴EF=AE-CF．