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1. 下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是(
A.$(x + y)(-x - y)$
B.$(-a - b)(a - b)$
C.$(2x + 3y)(3x - 2y)$
D.$(m - n)(n - m)$
B
)A.$(x + y)(-x - y)$
B.$(-a - b)(a - b)$
C.$(2x + 3y)(3x - 2y)$
D.$(m - n)(n - m)$
答案
1. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，其中有一项完全相同，另一项互为相反数（即符号相反，绝对值相等）。接下来我们逐个分析选项，判断哪个符合该特征。
【解析】
平方差公式的形式为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，关键是找到相同项和互为相反数的项：
选项A：$(x + y)(-x - y)=-(x+y)(x+y)=-(x+y)^2$，两项均互为相反数，不符合平方差公式结构；
选项B：$(-a - b)(a - b)=(-b -a)(-b +a)=(-b)^2 -a^2$，其中$-b$是相同项，$a$与$-a$是互为相反数的项，符合平方差公式结构；
选项C：$(2x + 3y)(3x - 2y)$，两项既不相同，也无互为相反数的项，不符合平方差公式结构；
选项D：$(m - n)(n - m)=-(m-n)(m-n)=-(m-n)^2$，两项均互为相反数，不符合平方差公式结构。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式结构特征
【点评】
本题主要考查对平方差公式结构的理解与识别，解题的关键是准确区分相同项和互为相反数的项，需注意符号的变形与处理，避免混淆完全平方形式与平方差形式。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，其中有一项完全相同，另一项互为相反数（即符号相反，绝对值相等）。接下来我们逐个分析选项，判断哪个符合该特征。
【解析】
平方差公式的形式为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，关键是找到相同项和互为相反数的项：
选项A：$(x + y)(-x - y)=-(x+y)(x+y)=-(x+y)^2$，两项均互为相反数，不符合平方差公式结构；
选项B：$(-a - b)(a - b)=(-b -a)(-b +a)=(-b)^2 -a^2$，其中$-b$是相同项，$a$与$-a$是互为相反数的项，符合平方差公式结构；
选项C：$(2x + 3y)(3x - 2y)$，两项既不相同，也无互为相反数的项，不符合平方差公式结构；
选项D：$(m - n)(n - m)=-(m-n)(m-n)=-(m-n)^2$，两项均互为相反数，不符合平方差公式结构。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式结构特征
【点评】
本题主要考查对平方差公式结构的理解与识别，解题的关键是准确区分相同项和互为相反数的项，需注意符号的变形与处理，避免混淆完全平方形式与平方差形式。
【难度系数】
0.8
2. 计算下列各式，其结果为$a^{2} - 1$的是(
A.$(a - 1)^{2}$
B.$(-a - 1)(a + 1)$
C.$(-a + 1)(-a + 1)$
D.$(-a + 1)(-a - 1)$
D
)A.$(a - 1)^{2}$
B.$(-a - 1)(a + 1)$
C.$(-a + 1)(-a + 1)$
D.$(-a + 1)(-a - 1)$
答案
2. D
解析
【分析】
要找出结果为$a^2 - 1$的选项，首先回忆平方差公式$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$和完全平方公式$(x\pm y)^2=x^2\pm2xy+y^2$。$a^2 - 1$是平方差的形式，即$a^2 - 1^2$，可对应平方差公式中$x=a$，$y=1$的情况，也可通过符号变形得到等价的乘法式子。接下来逐个分析选项，通过展开计算判断是否符合目标结果：
1. 选项A是完全平方形式，展开后会有一次项，不符合；
2. 选项B可提取负号转化为完全平方的相反数，展开后符号和项数都不符合；
3. 选项C是完全平方形式，展开后有一次项，不符合；
4. 选项D可看作$(-a)$与$1$的和乘差，符合平方差公式，展开后正好是$a^2 - 1$。
【解析】
分别对各选项展开计算：
A选项：$\boldsymbol{(a - 1)^2 = a^2 - 2a + 1}$，与$a^2 - 1$不符；
B选项：$\boldsymbol{(-a - 1)(a + 1) = -(a + 1)(a + 1) = -(a + 1)^2 = -a^2 - 2a - 1}$，与$a^2 - 1$不符；
C选项：$\boldsymbol{(-a + 1)(-a + 1) = (-a + 1)^2 = a^2 - 2a + 1}$，与$a^2 - 1$不符；
D选项：$\boldsymbol{(-a + 1)(-a - 1) = (-a)^2 - 1^2 = a^2 - 1}$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题主要考查整式乘法公式的应用，需要准确区分平方差公式和完全平方公式的结构特征，尤其注意式子中符号的变化，避免因符号处理错误导致结果出错，属于基础题型，重在公式的熟练运用。
【难度系数】
0.8
要找出结果为$a^2 - 1$的选项，首先回忆平方差公式$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$和完全平方公式$(x\pm y)^2=x^2\pm2xy+y^2$。$a^2 - 1$是平方差的形式，即$a^2 - 1^2$，可对应平方差公式中$x=a$，$y=1$的情况，也可通过符号变形得到等价的乘法式子。接下来逐个分析选项，通过展开计算判断是否符合目标结果：
1. 选项A是完全平方形式，展开后会有一次项，不符合；
2. 选项B可提取负号转化为完全平方的相反数，展开后符号和项数都不符合；
3. 选项C是完全平方形式，展开后有一次项，不符合；
4. 选项D可看作$(-a)$与$1$的和乘差，符合平方差公式，展开后正好是$a^2 - 1$。
【解析】
分别对各选项展开计算：
A选项：$\boldsymbol{(a - 1)^2 = a^2 - 2a + 1}$，与$a^2 - 1$不符；
B选项：$\boldsymbol{(-a - 1)(a + 1) = -(a + 1)(a + 1) = -(a + 1)^2 = -a^2 - 2a - 1}$，与$a^2 - 1$不符；
C选项：$\boldsymbol{(-a + 1)(-a + 1) = (-a + 1)^2 = a^2 - 2a + 1}$，与$a^2 - 1$不符；
D选项：$\boldsymbol{(-a + 1)(-a - 1) = (-a)^2 - 1^2 = a^2 - 1}$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题主要考查整式乘法公式的应用，需要准确区分平方差公式和完全平方公式的结构特征，尤其注意式子中符号的变化，避免因符号处理错误导致结果出错，属于基础题型，重在公式的熟练运用。
【难度系数】
0.8
3. 一个长方形的长为$2x - y$，宽为$2x + y$，则这个长方形的面积是(
A.$4x^{2} - y^{2}$
B.$4x^{2} + y^{2}$
C.$2x^{2} - y^{2}$
D.$2x^{2} + y^{2}$
A
)A.$4x^{2} - y^{2}$
B.$4x^{2} + y^{2}$
C.$2x^{2} - y^{2}$
D.$2x^{2} + y^{2}$
答案
3. A
解析
【分析】
首先，我们需要明确长方形的面积计算公式：面积=长×宽。题目中已给出长为$2x - y$，宽为$2x + y$，因此需计算这两个式子的乘积。观察式子形式可知，它们符合平方差公式$(a - b)(a + b)=a^2 - b^2$的结构，其中$a=2x$，$b=y$，利用该公式可快速计算出结果，再对比选项即可选出正确答案。
【解析】
根据长方形面积公式：$S = 长×宽$
将长$2x - y$，宽$2x + y$代入公式可得：
$S=(2x - y)(2x + y)$
利用平方差公式$(a - b)(a + b)=a^2 - b^2$（其中$a=2x$，$b=y$）展开计算：
$S=(2x)^2 - y^2=4x^2 - y^2$
因此这个长方形的面积对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
长方形面积公式、平方差公式
【点评】
本题属于基础代数运算题，主要考查长方形面积公式的应用以及平方差公式的灵活运用，解题关键是准确识别平方差公式的结构，避免计算时出现符号错误。
【难度系数】
0.9
首先，我们需要明确长方形的面积计算公式：面积=长×宽。题目中已给出长为$2x - y$，宽为$2x + y$，因此需计算这两个式子的乘积。观察式子形式可知，它们符合平方差公式$(a - b)(a + b)=a^2 - b^2$的结构，其中$a=2x$，$b=y$，利用该公式可快速计算出结果，再对比选项即可选出正确答案。
【解析】
根据长方形面积公式：$S = 长×宽$
将长$2x - y$，宽$2x + y$代入公式可得：
$S=(2x - y)(2x + y)$
利用平方差公式$(a - b)(a + b)=a^2 - b^2$（其中$a=2x$，$b=y$）展开计算：
$S=(2x)^2 - y^2=4x^2 - y^2$
因此这个长方形的面积对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
长方形面积公式、平方差公式
【点评】
本题属于基础代数运算题，主要考查长方形面积公式的应用以及平方差公式的灵活运用，解题关键是准确识别平方差公式的结构，避免计算时出现符号错误。
【难度系数】
0.9
4. 在运用乘法公式计算$(x + 2y - 1)(x - 2y + 1)$时，下列变形正确的是(
A.$[x - (2y + 1)]^{2}$
B.$x^{2} - (2y - 1)^{2}$
C.$(x - 2y)^{2} - 1$
D.$[x + (2y + 1)]^{2}$
B
)A.$[x - (2y + 1)]^{2}$
B.$x^{2} - (2y - 1)^{2}$
C.$(x - 2y)^{2} - 1$
D.$[x + (2y + 1)]^{2}$
答案
4. B
解析
【分析】
要解决这道题，关键是灵活运用平方差公式。首先观察式子$(x + 2y - 1)(x - 2y + 1)$的结构，寻找其中的相同项和互为相反数的项：相同项是$x$，互为相反数的项是$(2y - 1)$与$-(2y - 1)$。我们可以通过添括号将原式转化为平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的形式，即把原式变形为$[x+(2y-1)][x-(2y-1)]$，再对比选项就能找到正确答案。
【解析】
对原式进行变形：
$\begin{aligned}(x + 2y - 1)(x - 2y + 1)&=[x+(2y-1)][x-(2y-1)]\\&=x^2-(2y-1)^2\end{aligned}$
对比选项可知，选项B符合上述变形结果。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式应用、添括号法则
【点评】
本题主要考查平方差公式的灵活运用，核心是准确识别式子中的相同项与相反项，通过添括号将原式转化为平方差公式的标准形式，解题过程中需注意添括号时的符号变化，避免出错。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，关键是灵活运用平方差公式。首先观察式子$(x + 2y - 1)(x - 2y + 1)$的结构，寻找其中的相同项和互为相反数的项：相同项是$x$，互为相反数的项是$(2y - 1)$与$-(2y - 1)$。我们可以通过添括号将原式转化为平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的形式，即把原式变形为$[x+(2y-1)][x-(2y-1)]$，再对比选项就能找到正确答案。
【解析】
对原式进行变形：
$\begin{aligned}(x + 2y - 1)(x - 2y + 1)&=[x+(2y-1)][x-(2y-1)]\\&=x^2-(2y-1)^2\end{aligned}$
对比选项可知，选项B符合上述变形结果。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式应用、添括号法则
【点评】
本题主要考查平方差公式的灵活运用，核心是准确识别式子中的相同项与相反项，通过添括号将原式转化为平方差公式的标准形式，解题过程中需注意添括号时的符号变化，避免出错。
【难度系数】
0.8
5. 已知$x$，$y$满足方程组$\begin{cases}x + 2y = -1,\\x - 2y = 5,\end{cases}$则$x^{2} - 4y^{2}$的值为( )
A.$-5$
B.$4$
C.$5$
D.$25$
A.$-5$
B.$4$
C.$5$
D.$25$
答案
5. A
解析
【分析】
首先观察所求代数式$x^2 - 4y^2$的结构，可利用平方差公式将其因式分解为$(x+2y)(x-2y)$。再看已知方程组，正好给出了$x+2y$和$x-2y$的值，不需要单独求解$x$和$y$，直接采用整体代入的方法就能快速计算出结果，这种方法比解方程组再代入更简便高效。
【解析】
1. 对代数式进行因式分解：
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，可得$x^2 - 4y^2=x^2-(2y)^2=(x+2y)(x-2y)$。
2. 代入已知方程组的值：
已知$\begin{cases}x + 2y = -1\\x - 2y = 5\end{cases}$，将$x+2y=-1$，$x-2y=5$代入上式：
$(x+2y)(x-2y)=(-1)×5=-5$。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式、整体代入法
【点评】
本题主要考查平方差公式的应用及整体代入的数学思想，解题关键是观察到所求代数式与已知方程组的联系，通过因式分解将代数式转化为含已知式子的形式，避免了解方程组的繁琐步骤，提升了解题效率。
【难度系数】
0.8
首先观察所求代数式$x^2 - 4y^2$的结构，可利用平方差公式将其因式分解为$(x+2y)(x-2y)$。再看已知方程组，正好给出了$x+2y$和$x-2y$的值，不需要单独求解$x$和$y$，直接采用整体代入的方法就能快速计算出结果，这种方法比解方程组再代入更简便高效。
【解析】
1. 对代数式进行因式分解：
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，可得$x^2 - 4y^2=x^2-(2y)^2=(x+2y)(x-2y)$。
2. 代入已知方程组的值：
已知$\begin{cases}x + 2y = -1\\x - 2y = 5\end{cases}$，将$x+2y=-1$，$x-2y=5$代入上式：
$(x+2y)(x-2y)=(-1)×5=-5$。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式、整体代入法
【点评】
本题主要考查平方差公式的应用及整体代入的数学思想，解题关键是观察到所求代数式与已知方程组的联系，通过因式分解将代数式转化为含已知式子的形式，避免了解方程组的繁琐步骤，提升了解题效率。
【难度系数】
0.8
6. 计算：
$(1)(b + 12)( )= b^{2} - 144$。
(2)()$)(-\frac{1}{3}x + 0.5y) = \frac{1}{9}x^{2} - \frac{1}{4}y^{2}$。
$(3)(a + 2)(a^{2} + 4)(a^{4} + 16)(a - 2) =$。
$(1)(b + 12)( )= b^{2} - 144$。
(2)()$)(-\frac{1}{3}x + 0.5y) = \frac{1}{9}x^{2} - \frac{1}{4}y^{2}$。
$(3)(a + 2)(a^{2} + 4)(a^{4} + 16)(a - 2) =$。
答案
6. (1) $ b - 12 $ (2) $ -\frac{1}{3}x - 0.5y $ (3) $ a^{8} - 256 $
解析
【分析】
本题主要考查平方差公式的灵活运用，解题思路如下：
1. 对于第(1)题，观察右边的式子$b^2 - 144$，可变形为平方差形式$b^2 - 12^2$，根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，已知一个因式是$(b+12)$，则另一个因式为$(b-12)$。
2. 第(2)题，先将右边的$\frac{1}{9}x^2 - \frac{1}{4}y^2$转化为$(-\frac{1}{3}x)^2 - (0.5y)^2$，根据平方差公式的结构，已知其中一个因式是$(-\frac{1}{3}x + 0.5y)$，要得到右边的结果，另一个因式需满足与已知因式构成“相同项和相反项”的形式，即$(-\frac{1}{3}x - 0.5y)$。
3. 第(3)题，多个因式相乘时，可利用乘法交换律和结合律，先将能构成平方差的因式$(a+2)$与$(a-2)$结合计算，得到$a^2 - 4$，再依次与$(a^2+4)$、$(a^4+16)$利用平方差公式逐步计算，最终得到结果。
【解析】
(1) 因为$b^2 - 144 = b^2 - 12^2$，根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，可得：
$(b + 12)(b - 12)=b^2 - 12^2 = b^2 - 144$，故括号内填$b - 12$。
(2) 因为$\frac{1}{9}x^2 - \frac{1}{4}y^2 = (-\frac{1}{3}x)^2 - (0.5y)^2$，根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，其中$a=-\frac{1}{3}x$，$b=0.5y$，则：
$(-\frac{1}{3}x - 0.5y)(-\frac{1}{3}x + 0.5y)=(-\frac{1}{3}x)^2 - (0.5y)^2=\frac{1}{9}x^2 - \frac{1}{4}y^2$，故括号内填$-\frac{1}{3}x - 0.5y$。
(3) 利用乘法交换律和结合律，逐步运用平方差公式：
$\begin{aligned}&(a + 2)(a^2 + 4)(a^4 + 16)(a - 2)\\=&[(a + 2)(a - 2)](a^2 + 4)(a^4 + 16)\\=&(a^2 - 4)(a^2 + 4)(a^4 + 16)\\=&[(a^2 - 4)(a^2 + 4)](a^4 + 16)\\=&(a^4 - 16)(a^4 + 16)\\=&a^8 - 16^2\\=&a^8 - 256\end{aligned}$
【答案】
(1) $ b - 12 $；(2) $ -\frac{1}{3}x - 0.5y $；(3) $ a^{8} - 256 $
【知识点】
平方差公式、整式乘法、乘法运算律
【点评】
本题重点考查平方差公式的正向与逆向应用，以及整式乘法中运算律的灵活运用。解题关键是准确识别平方差公式的结构特征（两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差），通过合理结合因式简化计算过程，有助于巩固整式乘法的核心知识点。
【难度系数】
0.8
本题主要考查平方差公式的灵活运用，解题思路如下：
1. 对于第(1)题，观察右边的式子$b^2 - 144$，可变形为平方差形式$b^2 - 12^2$，根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，已知一个因式是$(b+12)$，则另一个因式为$(b-12)$。
2. 第(2)题，先将右边的$\frac{1}{9}x^2 - \frac{1}{4}y^2$转化为$(-\frac{1}{3}x)^2 - (0.5y)^2$，根据平方差公式的结构，已知其中一个因式是$(-\frac{1}{3}x + 0.5y)$，要得到右边的结果，另一个因式需满足与已知因式构成“相同项和相反项”的形式，即$(-\frac{1}{3}x - 0.5y)$。
3. 第(3)题，多个因式相乘时，可利用乘法交换律和结合律，先将能构成平方差的因式$(a+2)$与$(a-2)$结合计算，得到$a^2 - 4$，再依次与$(a^2+4)$、$(a^4+16)$利用平方差公式逐步计算，最终得到结果。
【解析】
(1) 因为$b^2 - 144 = b^2 - 12^2$，根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，可得：
$(b + 12)(b - 12)=b^2 - 12^2 = b^2 - 144$，故括号内填$b - 12$。
(2) 因为$\frac{1}{9}x^2 - \frac{1}{4}y^2 = (-\frac{1}{3}x)^2 - (0.5y)^2$，根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，其中$a=-\frac{1}{3}x$，$b=0.5y$，则：
$(-\frac{1}{3}x - 0.5y)(-\frac{1}{3}x + 0.5y)=(-\frac{1}{3}x)^2 - (0.5y)^2=\frac{1}{9}x^2 - \frac{1}{4}y^2$，故括号内填$-\frac{1}{3}x - 0.5y$。
(3) 利用乘法交换律和结合律，逐步运用平方差公式：
$\begin{aligned}&(a + 2)(a^2 + 4)(a^4 + 16)(a - 2)\\=&[(a + 2)(a - 2)](a^2 + 4)(a^4 + 16)\\=&(a^2 - 4)(a^2 + 4)(a^4 + 16)\\=&[(a^2 - 4)(a^2 + 4)](a^4 + 16)\\=&(a^4 - 16)(a^4 + 16)\\=&a^8 - 16^2\\=&a^8 - 256\end{aligned}$
【答案】
(1) $ b - 12 $；(2) $ -\frac{1}{3}x - 0.5y $；(3) $ a^{8} - 256 $
【知识点】
平方差公式、整式乘法、乘法运算律
【点评】
本题重点考查平方差公式的正向与逆向应用，以及整式乘法中运算律的灵活运用。解题关键是准确识别平方差公式的结构特征（两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差），通过合理结合因式简化计算过程，有助于巩固整式乘法的核心知识点。
【难度系数】
0.8
7. 按照下图所示的程序计算，如果开始输入的$m$值为$\sqrt{5}$，则最后输出的结果是
15
。答案
7. 15
解析
【分析】
首先理解程序的运算逻辑：输入$m$后，先利用平方差公式计算$(m+1)(m-1)=m^2-1$，然后判断结果是否大于12，若不大于12，则将该结果作为新的$m$值再次代入计算，直到结果大于12时输出。我们需要分步骤计算，先代入初始的$m=\sqrt{5}$，判断结果是否符合输出条件，不符合则继续计算。
【解析】
1. 当输入$m=\sqrt{5}$时，根据平方差公式计算：
$(m+1)(m-1)=m^2-1=(\sqrt{5})^2-1=5-1=4$，
因为$4＜12$，不满足输出条件，所以将$m=4$再次代入计算；
2. 当$m=4$时，计算：
$(m+1)(m-1)=m^2-1=4^2-1=16-1=15$，
因为$15＞12$，满足输出条件，所以输出结果为15。
【答案】
15
【知识点】
平方差公式，实数运算，程序框图理解
【点评】
本题考查平方差公式的应用与程序循环运算的理解，需要注意当第一次计算结果不满足输出条件时，要将结果作为新的输入值再次计算，避免遗漏循环步骤，准确判断是否满足输出条件是解题关键。
【难度系数】
0.7
首先理解程序的运算逻辑：输入$m$后，先利用平方差公式计算$(m+1)(m-1)=m^2-1$，然后判断结果是否大于12，若不大于12，则将该结果作为新的$m$值再次代入计算，直到结果大于12时输出。我们需要分步骤计算，先代入初始的$m=\sqrt{5}$，判断结果是否符合输出条件，不符合则继续计算。
【解析】
1. 当输入$m=\sqrt{5}$时，根据平方差公式计算：
$(m+1)(m-1)=m^2-1=(\sqrt{5})^2-1=5-1=4$，
因为$4＜12$，不满足输出条件，所以将$m=4$再次代入计算；
2. 当$m=4$时，计算：
$(m+1)(m-1)=m^2-1=4^2-1=16-1=15$，
因为$15＞12$，满足输出条件，所以输出结果为15。
【答案】
15
【知识点】
平方差公式，实数运算，程序框图理解
【点评】
本题考查平方差公式的应用与程序循环运算的理解，需要注意当第一次计算结果不满足输出条件时，要将结果作为新的输入值再次计算，避免遗漏循环步骤，准确判断是否满足输出条件是解题关键。
【难度系数】
0.7
8. 如果$(a + b + 1)(a + b - 1) = 3$，那么$a + b$的值为
$\pm 2$
。答案
8. $ \pm 2 $
解析
【分析】
这道题中，$a+b$是重复出现的整体，我们可以用换元法简化计算。首先观察原式结构符合平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，所以先设$x=a+b$，将原式转化为关于$x$的方程，再利用平方差公式展开求解，最后开平方时要注意正数的平方根有正负两个，不能漏解。
【解析】
设$ x = a + b $，则原式可转化为：
$(x + 1)(x - 1) = 3$
根据平方差公式展开左边得：
$ x^2 - 1 = 3 $
移项计算得：
$ x^2 = 3 + 1 = 4 $
对等式两边开平方：
$ x = \pm\sqrt{4} = \pm2 $
因为$ x = a + b $，所以$ a + b = \pm2 $。
【答案】
$\pm2$
【知识点】
平方差公式、换元法、平方根运算
【点评】
本题借助换元思想将复杂式子转化为简单的一元二次方程，核心考查平方差公式的应用，解题时需注意正数的平方根有两个，避免遗漏负根。
【难度系数】
0.8
这道题中，$a+b$是重复出现的整体，我们可以用换元法简化计算。首先观察原式结构符合平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，所以先设$x=a+b$，将原式转化为关于$x$的方程，再利用平方差公式展开求解，最后开平方时要注意正数的平方根有正负两个，不能漏解。
【解析】
设$ x = a + b $，则原式可转化为：
$(x + 1)(x - 1) = 3$
根据平方差公式展开左边得：
$ x^2 - 1 = 3 $
移项计算得：
$ x^2 = 3 + 1 = 4 $
对等式两边开平方：
$ x = \pm\sqrt{4} = \pm2 $
因为$ x = a + b $，所以$ a + b = \pm2 $。
【答案】
$\pm2$
【知识点】
平方差公式、换元法、平方根运算
【点评】
本题借助换元思想将复杂式子转化为简单的一元二次方程，核心考查平方差公式的应用，解题时需注意正数的平方根有两个，避免遗漏负根。
【难度系数】
0.8
9. 计算。
(1)$(\frac{1}{2}m - \frac{1}{3})(\frac{1}{2}m + \frac{1}{3})$。
(2)$(-2y^{2} - 3x)(3x - 2y^{2})$。
(1)$(\frac{1}{2}m - \frac{1}{3})(\frac{1}{2}m + \frac{1}{3})$。
(2)$(-2y^{2} - 3x)(3x - 2y^{2})$。
答案
9. 解：(1) 原式 $ = \frac{1}{4}m^{2} - \frac{1}{9} $。
(2) 原式 $ = (-2y^{2})^{2} - (3x)^{2} = 4y^{4} - 9x^{2} $。
(2) 原式 $ = (-2y^{2})^{2} - (3x)^{2} = 4y^{4} - 9x^{2} $。
解析
【分析】
这两道题都可利用平方差公式简便计算，平方差公式为$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，解题核心是准确识别两个二项式中的相同项与互为相反数的项：
1. 第(1)题$(\frac{1}{2}m - \frac{1}{3})(\frac{1}{2}m + \frac{1}{3})$中，相同项是$\frac{1}{2}m$，互为相反数的项是$-\frac{1}{3}$和$\frac{1}{3}$，可直接套用公式。
2. 第(2)题$(-2y^{2} - 3x)(3x - 2y^{2})$，先调整项的顺序为$(-2y^{2} - 3x)(-2y^{2} + 3x)$，此时相同项是$-2y^2$，互为相反数的项是$-3x$和$3x$，再套用公式计算。
【解析】
(1) 依据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，设$a=\frac{1}{2}m$，$b=\frac{1}{3}$，则：
原式$=(\frac{1}{2}m)^2 - (\frac{1}{3})^2$
$=\frac{1}{4}m^2 - \frac{1}{9}$
(2) 先将原式变形为$(-2y^{2} - 3x)(-2y^{2} + 3x)$，依据平方差公式，设$a=-2y^2$，$b=3x$，则：
原式$=(-2y^2)^2 - (3x)^2$
$=4y^4 - 9x^2$
【答案】
(1) $\frac{1}{4}m^{2} - \frac{1}{9}$；(2) $4y^{4} - 9x^{2}$
【知识点】
平方差公式，整式乘法
【点评】
本题重点考查平方差公式的应用，解题时需精准识别相同项与相反项，第(2)题需灵活调整项的位置，注意符号运算，熟练掌握平方差公式是解题关键。
【难度系数】
0.8
这两道题都可利用平方差公式简便计算，平方差公式为$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，解题核心是准确识别两个二项式中的相同项与互为相反数的项：
1. 第(1)题$(\frac{1}{2}m - \frac{1}{3})(\frac{1}{2}m + \frac{1}{3})$中，相同项是$\frac{1}{2}m$，互为相反数的项是$-\frac{1}{3}$和$\frac{1}{3}$，可直接套用公式。
2. 第(2)题$(-2y^{2} - 3x)(3x - 2y^{2})$，先调整项的顺序为$(-2y^{2} - 3x)(-2y^{2} + 3x)$，此时相同项是$-2y^2$，互为相反数的项是$-3x$和$3x$，再套用公式计算。
【解析】
(1) 依据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，设$a=\frac{1}{2}m$，$b=\frac{1}{3}$，则：
原式$=(\frac{1}{2}m)^2 - (\frac{1}{3})^2$
$=\frac{1}{4}m^2 - \frac{1}{9}$
(2) 先将原式变形为$(-2y^{2} - 3x)(-2y^{2} + 3x)$，依据平方差公式，设$a=-2y^2$，$b=3x$，则：
原式$=(-2y^2)^2 - (3x)^2$
$=4y^4 - 9x^2$
【答案】
(1) $\frac{1}{4}m^{2} - \frac{1}{9}$；(2) $4y^{4} - 9x^{2}$
【知识点】
平方差公式，整式乘法
【点评】
本题重点考查平方差公式的应用，解题时需精准识别相同项与相反项，第(2)题需灵活调整项的位置，注意符号运算，熟练掌握平方差公式是解题关键。
【难度系数】
0.8
10. 运用平方差公式计算。
(1)$31×29$。
(2)$2026^{2} - 2027×2025$。
(1)$31×29$。
(2)$2026^{2} - 2027×2025$。
答案
10. 解：(1) 原式 $ = (30 + 1) × (30 - 1) = 30^{2} - 1^{2} = 899 $。
(2) 原式 $ = 2026^{2} - (2026 + 1) × (2026 - 1) = 1 $。
(2) 原式 $ = 2026^{2} - (2026 + 1) × (2026 - 1) = 1 $。
解析
【分析】
对于这两道题，核心思路是构造平方差公式$(a+b)(a-b)=a²-b²$的形式来简化计算：
1. 第(1)小题：观察到31和29分别与30相差1，可将其转化为$(30+1)$和$(30-1)$，刚好匹配平方差公式的结构，代入公式就能快速计算。
2. 第(2)小题：发现2027和2025分别是2026加1、2026减1，把$2027×2025$转化为$(2026+1)(2026-1)$，利用平方差公式展开后，与前面的$2026²$相减即可消去高次项，得到结果。
【解析】
(1) $31×29$
$=(30 + 1)×(30 - 1)$
$=30² - 1²$
$=900 - 1$
$=899$
(2) $2026² - 2027×2025$
$=2026² - (2026 + 1)×(2026 - 1)$
$=2026² - (2026² - 1²)$
$=2026² - 2026² + 1$
$=1$
【答案】
(1) $\boxed{899}$；(2) $\boxed{1}$
【知识点】
平方差公式的应用
【点评】
本题重点考查平方差公式的灵活运用，解题关键是通过拆分数字构造出平方差公式的结构，以此简化运算，避免繁琐的直接计算，提升计算的效率与准确性。
【难度系数】
0.8
对于这两道题，核心思路是构造平方差公式$(a+b)(a-b)=a²-b²$的形式来简化计算：
1. 第(1)小题：观察到31和29分别与30相差1，可将其转化为$(30+1)$和$(30-1)$，刚好匹配平方差公式的结构，代入公式就能快速计算。
2. 第(2)小题：发现2027和2025分别是2026加1、2026减1，把$2027×2025$转化为$(2026+1)(2026-1)$，利用平方差公式展开后，与前面的$2026²$相减即可消去高次项，得到结果。
【解析】
(1) $31×29$
$=(30 + 1)×(30 - 1)$
$=30² - 1²$
$=900 - 1$
$=899$
(2) $2026² - 2027×2025$
$=2026² - (2026 + 1)×(2026 - 1)$
$=2026² - (2026² - 1²)$
$=2026² - 2026² + 1$
$=1$
【答案】
(1) $\boxed{899}$；(2) $\boxed{1}$
【知识点】
平方差公式的应用
【点评】
本题重点考查平方差公式的灵活运用，解题关键是通过拆分数字构造出平方差公式的结构，以此简化运算，避免繁琐的直接计算，提升计算的效率与准确性。
【难度系数】
0.8
