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4. 如图，以$△ ABC$的顶点$A$为圆心，以$BC$长为半径作弧，再以顶点$C$为圆心，以$AB$长为半径作弧，两弧交于点$D$，连接$AD$，$CD$，若$∠ B = 65^{\circ}$，则$∠ ADC$的大小为
65
度。答案
4. 65
5. 如图，$AB// CD$，$AB = CD$，点$E$，$F$在$BC$上，且$BE = CF$。
(1)求证：$△ ABE≌△ DCF$；
(2)试证明：以点$A$，$F$，$D$，$E$为顶点的四边形是平行四边形。
(1)求证：$△ ABE≌△ DCF$；
(2)试证明：以点$A$，$F$，$D$，$E$为顶点的四边形是平行四边形。
答案
5. 证明:(1)
∵AB$//$CD,
∴∠B=∠C.
∵AB=CD,BE=CF,
∴△ABE≌△DCF.
(2)连接AF,DE.
∵△ABE≌△CDF,
∴FE=DF,∠AEB=∠DFC.
∵∠AEF=∠DFE,
∴AE$//$DF,
∴四边形AFDE是平行四边形,即以点A,F,D,E为顶点的四边形是平行四边形.
∵AB$//$CD,
∴∠B=∠C.
∵AB=CD,BE=CF,
∴△ABE≌△DCF.
(2)连接AF,DE.
∵△ABE≌△CDF,
∴FE=DF,∠AEB=∠DFC.
∵∠AEF=∠DFE,
∴AE$//$DF,
∴四边形AFDE是平行四边形,即以点A,F,D,E为顶点的四边形是平行四边形.
6. 如图，已知$AB$，$CD$相交于$O$点，$AC// DB$，$AO = BO$，$E$，$F$分别是$OC$，$OD$的中点。
求证：四边形$AEBF$是平行四边形。
求证：四边形$AEBF$是平行四边形。
答案
6. 证明:△AOC≌△BOD,得OC=OD,OA=OB.
∵OE=OF,可得四边形AEBF是平行四边形.
∵OE=OF,可得四边形AEBF是平行四边形.
1. 如图，在$△ ABC$中，分别以$AB$，$AC$，$BC$为边在$BC$的同侧作等边$△ ABD$，等边$△ ACE$，等边$△ BCF$。试说明四边形$DAEF$是平行四边形。
答案
1. 解:
∵△ABD和△FBC都是等边三角形,
∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°,
∴∠DBF=∠ABC.
又
∵BD=BA,BF=BC,
∴△ABC≌DBF,
∴AC=DF=AE.
同理可证△ABC≌EFC,
∴AB=EF=AD,
∴四边形DAEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).
∵△ABD和△FBC都是等边三角形,
∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°,
∴∠DBF=∠ABC.
又
∵BD=BA,BF=BC,
∴△ABC≌DBF,
∴AC=DF=AE.
同理可证△ABC≌EFC,
∴AB=EF=AD,
∴四边形DAEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).
2. 如图，已知$△ ABC$是等边三角形，$D$，$E$分别在边$BC$，$AC$上，且$CD = CE$，连接$DE$并延长至点$F$，使$EF = AE$，连接$AF$，$BE$和$CF$。
(1)请在图中找出一对全等三角形，用符号“$≌$”表示，并加以证明；
(2)判断四边形$ABDF$是怎样的四边形，并说明理由。
(1)请在图中找出一对全等三角形，用符号“$≌$”表示，并加以证明；
(2)判断四边形$ABDF$是怎样的四边形，并说明理由。
答案
2. 解:(1)△ABE≌△ACF.(答案不唯一)
证明:
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠ACB=∠BAC=60°.
∵CD=CE,
∴△EDC是等边三角形,
∴∠AEF=∠CED=60°.
∵EF=AE,
∴△AEF是等边三角形,
∴AE=AF,∠EAF=60°,
∴△ABE≌△ACF.
(2)四边形ABDF是平行四边形.
理由:由(1)知△ABC,△EDC,△AEF都是等边三角形,
∴∠CDE=∠ABC=∠EFA=60°,
∴AB$//$DF,BD$//$AF,
∴四边形ABDF是平行四边形.
证明:
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠ACB=∠BAC=60°.
∵CD=CE,
∴△EDC是等边三角形,
∴∠AEF=∠CED=60°.
∵EF=AE,
∴△AEF是等边三角形,
∴AE=AF,∠EAF=60°,
∴△ABE≌△ACF.
(2)四边形ABDF是平行四边形.
理由:由(1)知△ABC,△EDC,△AEF都是等边三角形,
∴∠CDE=∠ABC=∠EFA=60°,
∴AB$//$DF,BD$//$AF,
∴四边形ABDF是平行四边形.
