1. 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，点E，F在边BC上，DE//AB，AF//DC，且AE//DF.
(1)AD与BC有何数量关系？请说明理由；
(2)当四边形ABCD满足什么条件时，四边形AEFD是矩形，请说明理由；
(3)当四边形ABCD满足条件______________________时，四边形AEFD是正方形.(只写结论，不需证明)

（1）解：$AD = \frac{1}{3}BC$。
理由：$\because AD// BC$，$DE// AB$，$AF// DC$，$AE// DF$，
$\therefore$四边形$ABED$，四边形$AFCD$，四边形$AEFD$均为平行四边形，$\therefore AD = BE = EF = CF$，$\therefore AD = \frac{1}{3}BC$。
（2）解：当四边形$ABCD$满足条件$AB = CD$时，四边形$AEFD$是矩形。
理由：$\because AB = CD$，四边形$ABED$，四边形$AFCD$是平行四边形，$\therefore AB = DE$，$AF = CD$，$\therefore DE = AF$。
由（1）知四边形$AEFD$是平行四边形，
$\therefore$四边形$AEFD$是矩形。
（3）$\angle B = \angle C = 45^{\circ}$

2. 如图，分别以△ABC的三边为边在BC的同侧作等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF. 请回答下列问题：
(1)试说明四边形ADEF的形状，并说明理由；
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？
(3)当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？
(4)当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？
(5)当△ABC满足什么条件时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在？

解：（1）四边形$ADEF$是平行四边形。
理由：$\because \triangle BCE$和$\triangle ABD$均为等边三角形，
$\therefore BE = BC$，$BD = BA$，$\angle ABD = 60^{\circ}$，$\angle CBE = 60^{\circ}$。
又$\because \angle DBE = 60^{\circ}-\angle ABE$，$\angle ABC = 60^{\circ}-\angle ABE$，
$\therefore \angle DBE = \angle ABC$。
在$\triangle BDE$和$\triangle BAC$中，$\begin{cases}BE = BC,\\\angle DBE = \angle ABC,\\BD = BA,\end{cases}$
$\therefore \triangle BDE\cong \triangle BAC(SAS)$，$\therefore DE = AC$。
$\because$在等边$\triangle ACF$中，$AC = AF$，
$\therefore DE = AF$。
同理可得$DA = EF$。
$\therefore$四边形$ADEF$是平行四边形。
（2）当$\angle BAC = 150^{\circ}$时，四边形$ADEF$是矩形。
理由：$\because \angle DAF = 360^{\circ}-\angle DAB-\angle BAC-\angle CAF = 90^{\circ}$，
$\therefore \square ADEF$是矩形。
（3）当$AB = AC$时，四边形$ADEF$是菱形。
理由：$\because AB = AC$，$\therefore AD = AF$，$\therefore \square ADEF$是菱形。
（4）当$\angle BAC = 150^{\circ}$且$AB = AC$或$\angle ABC = \angle ACB = 15^{\circ}$时，四边形$ADEF$是正方形。
（5）当$\angle BAC = 60^{\circ}$时，以$A$，$D$，$E$，$F$为顶点的四边形不存在。

3. 如图，在△ABC中，F是BC的中点，E是线段AB延长线上的一个动点，连接EF，过点C作AB的平行线CD，与线段EF的延长线交于点D，连接CE，BD.
(1)求证：四边形BECD是平行四边形；
(2)若∠ABC = 120°，AB = BC = 4，则在点E的运动过程中：
①当BE的长为多少时，四边形BECD是矩形，并说明理由；
②当BE的长为多少时，四边形BECD是菱形，并说明理由.

（1）证明：$\because AB// CD$，
$\therefore \angle CDF = \angle FEB$，$\angle DCF = \angle EBF$。
$\because F$是$BC$的中点，$\therefore BF = CF$。
在$\triangle DCF$和$\triangle EBF$中，
$\begin{cases}\angle CDF = \angle BEF,\\\angle DCF = \angle EBF,\\FC = FB,\end{cases}$
$\therefore \triangle DCF\cong \triangle EBF(AAS)$，$\therefore DC = BE$。
又$\because DC// BE$，
$\therefore$四边形$BECD$是平行四边形。
（2）解：①$BE = 2$。
理由：当四边形$BECD$是矩形时，$\angle CEB = 90^{\circ}$。
$\because \angle ABC = 120^{\circ}$，$\therefore \angle CBE = 60^{\circ}$，
$\therefore \angle ECB = 30^{\circ}$，$\therefore BE = \frac{1}{2}BC = 2$。
②$BE = 4$。
理由：当四边形$BECD$是菱形时，$BE = EC$。
$\because \angle ABC = 120^{\circ}$，$\therefore \angle CBE = 60^{\circ}$，
$\therefore \triangle CBE$是等边三角形，$\therefore BE = BC = 4$。