登录
10. (★★)勾股定理神秘且美妙，它的证法多样。将两个全等的直角三角形如图摆放，其中 $ ∠ BAD = 90^{\circ} $。求证：$ a^{2} + b^{2} = c^{2} $。
]
]答案
证明：设两个全等直角三角形的直角边分别为 $a$、$b$，斜边为 $c$，其中 $BC=DE=a$，$AC=AE=b$，$AB=AD=c$，且 $∠ C=∠ E=90°$，$∠ BAD=90°$。
1. 计算梯形 $BCDE$ 的面积：
梯形 $BCDE$ 的上底 $BC=a$，下底 $DE=b$，高 $CE=AC+AE=a+b$，
面积 $S_{梯形BCDE}=\frac{1}{2}(上底+下底)×高=\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{(a+b)^2}{2}$。
2. 分解梯形面积为各部分面积之和：
梯形 $BCDE$ 由 $△ ABC$、$△ AED$ 和 $△ ABD$ 组成。
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}ab$，
$S_{△ AED}=\frac{1}{2}AE· DE=\frac{1}{2}ab$，
$∠ BAD=90°$，$AB=AD=c$，故 $S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB· AD=\frac{1}{2}c^2$。
因此，$S_{梯形BCDE}=S_{△ ABC}+S_{△ AED}+S_{△ ABD}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2=ab+\frac{1}{2}c^2$。
3. 建立等式并化简：
由梯形面积相等得 $\frac{(a+b)^2}{2}=ab+\frac{1}{2}c^2$，
两边同乘 2：$(a+b)^2=2ab+c^2$，
展开左边：$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$，
化简得：$a^2+b^2=c^2$。
综上，$a^2 + b^2 = c^2$ 得证。
1. 计算梯形 $BCDE$ 的面积：
梯形 $BCDE$ 的上底 $BC=a$，下底 $DE=b$，高 $CE=AC+AE=a+b$，
面积 $S_{梯形BCDE}=\frac{1}{2}(上底+下底)×高=\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{(a+b)^2}{2}$。
2. 分解梯形面积为各部分面积之和：
梯形 $BCDE$ 由 $△ ABC$、$△ AED$ 和 $△ ABD$ 组成。
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}ab$，
$S_{△ AED}=\frac{1}{2}AE· DE=\frac{1}{2}ab$，
$∠ BAD=90°$，$AB=AD=c$，故 $S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB· AD=\frac{1}{2}c^2$。
因此，$S_{梯形BCDE}=S_{△ ABC}+S_{△ AED}+S_{△ ABD}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2=ab+\frac{1}{2}c^2$。
3. 建立等式并化简：
由梯形面积相等得 $\frac{(a+b)^2}{2}=ab+\frac{1}{2}c^2$，
两边同乘 2：$(a+b)^2=2ab+c^2$，
展开左边：$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$，
化简得：$a^2+b^2=c^2$。
综上，$a^2 + b^2 = c^2$ 得证。
11. (★)若一个直角三角形的两直角边长分别为 $ m $，$ n $，且满足 $ (m - 4)^{2} + |n - 3| = 0 $，则该直角三角形的第三边长为【 】
A.5
B.4
C.3
D.$ \sqrt{7} $
A.5
B.4
C.3
D.$ \sqrt{7} $
答案
A
解析
由题意得$(m - 4)^{2} + |n - 3| = 0$，
根据平方和绝对值的非负性可知$m - 4 = 0$且$n - 3 = 0$，
解得$m = 4$，$n = 3$。
当$m$，$n$为直角边时，根据勾股定理，第三边长为$\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$。
（题目问的是直角三角形第三边，求的是斜边长度，本题只有一种情况）
根据平方和绝对值的非负性可知$m - 4 = 0$且$n - 3 = 0$，
解得$m = 4$，$n = 3$。
当$m$，$n$为直角边时，根据勾股定理，第三边长为$\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$。
（题目问的是直角三角形第三边，求的是斜边长度，本题只有一种情况）
12. (★)如图，直线 $ AO ⊥ OB $，垂足为 $ O $，线段 $ AO = 6 $，$ BO = 8 $，以点 $ A $ 为圆心，$ AB $ 的长为半径画弧，交直线 $ AO $ 于点 $ C $，则 $ OC $ 的长为【 】
A.6
B.5
C.4
D.3
A.6
B.5
C.4
D.3
答案
C
解析
因为 $ AO ⊥ OB $，所以 $ ∠AOB = 90° $。
在直角三角形 $ AOB $ 中，$ AO = 6 $，$ BO = 8 $。
根据勾股定理，$ AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 $。
以点 $ A $ 为圆心，$ AB $ 为半径画弧，交直线 $ AO $ 于点 $ C $，所以 $ AC = AB = 10 $。
因为 $ AO = 6 $，所以 $ OC = AC - AO = 10 - 6 = 4 $。
在直角三角形 $ AOB $ 中，$ AO = 6 $，$ BO = 8 $。
根据勾股定理，$ AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 $。
以点 $ A $ 为圆心，$ AB $ 为半径画弧，交直线 $ AO $ 于点 $ C $，所以 $ AC = AB = 10 $。
因为 $ AO = 6 $，所以 $ OC = AC - AO = 10 - 6 = 4 $。
13. (★)在平面直角坐标系中有两点 $ A(0, 5) $ 和 $ P(3, 0) $，则线段 $ AP $ 的长为。
答案
$\sqrt{34}$
解析
已知点A(0,5)和点P(3,0)，根据平面直角坐标系中两点间距离公式，线段AP的长为$\sqrt{(3-0)^2 + (0-5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$。
14. (★★)如图，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，分别以 $ BC $，$ AC $，$ AB $ 为边向外侧作正方形，面积分别记为 $ S_{1} $，$ S_{2} $，$ S_{3} $。若 $ S_{2} - S_{1} + S_{3} = 24 $，则图中阴影部分的面积为。
]
]
答案
6
解析
在Rt△ABC中，∠C=90°，则AC²+BC²=AB²。由题意，S₁=BC²，S₂=AC²，S₃=AB²，故S₂+S₁=S₃。已知S₂ - S₁ + S₃=24，代入S₃=S₁+S₂，得S₂ - S₁ + S₁ + S₂=2S₂=24，解得S₂=12，即AC²=12。阴影部分为以AC为直角边的等腰直角三角形（正方形对角线分割形成），其面积为S₂/2=12/2=6。
15. (★★)如图，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，$ AC = 8 $，$ BC = 6 $，$ D $ 为 $ AC $ 上一点，$ BD $ 是 $ ∠ ABC $ 的平分线，求线段 $ AD $ 的长。
]
]答案
过点D作DE⊥AB于E。
∵BD平分∠ABC，∠C=90°，∴DE=DC。
在Rt△BDC和Rt△BDE中，$\{\begin{array}{l} BD=BD\\ DC=DE\end{array} $，∴Rt△BDC≌Rt△BDE（HL），∴BE=BC=6。
在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$，∴AE=AB-BE=10-6=4。
设AD=x，则DC=8-x，DE=8-x。
在Rt△ADE中，AD²=AE²+DE²，即$x^2=4^2+(8-x)^2$。
解得x=5。
AD=5。
∵BD平分∠ABC，∠C=90°，∴DE=DC。
在Rt△BDC和Rt△BDE中，$\{\begin{array}{l} BD=BD\\ DC=DE\end{array} $，∴Rt△BDC≌Rt△BDE（HL），∴BE=BC=6。
在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$，∴AE=AB-BE=10-6=4。
设AD=x，则DC=8-x，DE=8-x。
在Rt△ADE中，AD²=AE²+DE²，即$x^2=4^2+(8-x)^2$。
解得x=5。
AD=5。
