3. 把下列各式分解因式：
(1) $4x^{3}y + 4x^{2}y^{2}+xy^{3}$；
(2) $4m^{2}-(m + n)^{2}$；
(3) $(x^{2}+y^{2})^{2}-4x^{2}y^{2}$；
(4) $(a - b)(a - 4b)+ab$。

(1) $xy(2x + y)^{2}$
(2) $(3m + n)(m - n)$
(3) $(x + y)^{2}(x - y)^{2}$
(4) $(a - 2b)^{2}$

(1) 对于 $4x^{3}y + 4x^{2}y^{2} + xy^{3}$：
首先提取公因式 $xy$，得到：
$4x^{3}y + 4x^{2}y^{2} + xy^{3} = xy(4x^{2} + 4xy + y^{2})$
观察括号内的部分，它是完全平方公式，即：
$4x^{2} + 4xy + y^{2} = (2x + y)^{2}$
所以，原式可以分解为：
$xy(2x + y)^{2}$
(2) 对于 $4m^{2} - (m + n)^{2}$：
直接应用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$，得到：
$4m^{2} - (m + n)^{2} = (2m + m + n)(2m - m - n) = (3m + n)(m - n)$
(3) 对于 $(x^{2} + y^{2})^{2} - 4x^{2}y^{2}$：
首先应用平方差公式，得到：
$(x^{2} + y^{2})^{2} - 4x^{2}y^{2} = (x^{2} + y^{2} + 2xy)(x^{2} + y^{2} - 2xy)$
观察括号内的部分，它们都是完全平方公式，即：
$x^{2} + y^{2} + 2xy = (x + y)^{2}$
$x^{2} + y^{2} - 2xy = (x - y)^{2}$
所以，原式可以分解为：
$(x + y)^{2}(x - y)^{2}$
(4) 对于 $(a - b)(a - 4b) + ab$：
首先展开并合并同类项，得到：
$(a - b)(a - 4b) + ab = a^{2} - 4ab - ab + 4b^{2} + ab = a^{2} - 4ab + 4b^{2}$
观察得到的部分，它是完全平方公式，即：
$a^{2} - 4ab + 4b^{2} = (a - 2b)^{2}$
所以，这就是原式的因式分解结果。

4. 如图，一个金属圆环的外径、内径分别为 $515\mathrm{mm}$，$485\mathrm{mm}$，利用因式分解法求这个金属圆环的面积(结果保留 $π$)。

解：圆环面积 $ S = π R^2 - π r^2 $，其中 $ R = \frac{515}{2}\ \mathrm{mm} $，$ r = \frac{485}{2}\ \mathrm{mm} $。
$\begin{aligned}S &= π (R^2 - r^2) \\&= π (R - r)(R + r) \\&= π ( \frac{515}{2} - \frac{485}{2} ) ( \frac{515}{2} + \frac{485}{2} ) \\&= π × \frac{30}{2} × \frac{1000}{2} \\&= π × 15 × 500 \\&= 7500π\ \mathrm{mm}^2\end{aligned}$
答：金属圆环的面积为 $ 7500π\ \mathrm{mm}^2 $。

5. 已知 $a - b=\frac{1}{2}$，$ab = 8$，求 $-2a^{2}b^{2}+ab^{3}+a^{3}b$ 的值。

2

$-2a^{2}b^{2}+ab^{3}+a^{3}b$
$=ab(a^{2}-2ab+b^{2})$
$=ab(a - b)^{2}$
当$a - b=\frac{1}{2}$，$ab = 8$时，
原式$=8×(\frac{1}{2})^{2}=8×\frac{1}{4}=2$

6. (1) 计算：
① $(x + 1)(x - 2)=$；
② $(x + 2)(x + 3)=$；
③ $(x - 3)(x - 5)=$。
(2) 观察第(1)小题中各个等式的特征，解决如下问题：
① 分解因式：$x^{2}-x - 2=$，$x^{2}+4x + 3=$；
② 已知多项式 $x^{2}+ax + 12$ 可以分解因式，请写出两个符合条件的整数 $a$ 的值。

(1) 计算：
① $(x + 1)(x - 2)=x^2-2x+x-2=x^2 - x - 2$；
② $(x + 2)(x + 3)=x^2+3x+2x + 6=x^2+5x + 6$；
③ $(x - 3)(x - 5)=x^2-5x-3x + 15=x^2-8x + 15$。
(2)
① $x^{2}-x - 2=(x - 2)(x + 1)$；$x^{2}+4x + 3=(x + 1)(x + 3)$；
② 对于$x^{2}+ax + 12$，把$12$分解因数：
当$12 = 1×12$时，$a=1 + 12=13$；
当$12 = 2×6$时，$a=2 + 6=8$；
当$12 = 3×4$时，$a=3 + 4=7$；
当$12=(-1)×(-12)$时，$a=-1-12=-13$；
当$12=(-2)×(-6)$时，$a=-2 - 6=-8$；
当$12=(-3)×(-4)$时，$a=-3-4=-7$。
取两个值如$a = 7$，$a = 13$。
综上，答案依次为：(1)①$x^2 - x - 2$；②$x^2+5x + 6$；③$x^2-8x + 15$；(2)①$(x - 2)(x + 1)$；$(x + 1)(x + 3)$；②$7$，$13$（答案不唯一）。