1. 列分式方程解决问题的步骤为：审、找、设、列、解、验、答. 特别注意：检验这一步既要检验，又要检验.

1. 是否是分式方程的解，是否符合实际意义

【分析】
要明确分式方程解决实际问题的检验要求，需从两方面思考：一是分式方程本身的特性，去分母转化为整式方程时可能产生增根，所以要检验解是否为原分式方程的有效解；二是实际问题的约束，解必须符合现实情境的逻辑，比如数量不能为负、不能是不合理的数值等，因此这两步检验都必不可少。
【解析】
在列分式方程解决问题的检验环节：
1. 需先检验所得的解是否是分式方程的解，因为分式方程去分母时，若乘以了使分母为0的整式，会产生增根，增根不是原分式方程的有效解，所以要验证解不会让原方程分母为0；
2. 还要检验所得的解是否符合实际意义，实际问题中的量有现实限制，如人数、物品数量等需满足实际情境的合理性，不能出现负数、不合理的小数等情况。
【答案】
是否是分式方程的解，是否符合实际意义
【知识点】
分式方程检验，实际解合理性
【点评】
本题聚焦分式方程解实际问题的检验要点，这两步检验是确保解答正确的关键，既规避了分式方程增根的问题，又保证了解与实际情境匹配，需牢牢掌握。
【难度系数】
0.9

2. 某加油站储油 $ m $ t，预计可以用 $ a $ 天，要使供油时间延长 2 天，每天就要比原来减少供油 $ n $ t，则 $ n $ 为()

A.$ \frac{m}{a + 2} - \frac{m}{a} $
B.$ \frac{m}{a} - \frac{m}{a + 2} $
C.$ \frac{m}{a} - \frac{m}{a - 2} $
D.$ \frac{m}{a - 2} - \frac{m}{a} $

2. B

【分析】
要解决这道题，我们需要先理清两个关键数量：原来每天的供油量和供油时间延长后每天的供油量。首先根据“总油量÷天数=每天供油量”算出原来每天的供油量；再算出延长2天后每天的供油量；最后用原来每天的供油量减去延长后每天的供油量，得到的就是每天需要减少的供油量$n$，以此确定正确选项。
【解析】
1. 计算原来每天的供油量：
已知储油$m$吨，预计可用$a$天，根据“每天供油量=总储油量÷使用天数”，可得原来每天供油量为$\frac{m}{a}$吨。
2. 计算供油时间延长2天后每天的供油量：
供油时间延长2天后，使用天数变为$a+2$天，同理可得此时每天供油量为$\frac{m}{a+2}$吨。
3. 计算每天减少的供油量$n$：
因为每天要比原来减少供油$n$吨，即原来每天的供油量减去延长后每天的供油量等于$n$，所以：
$n = \frac{m}{a} - \frac{m}{a+2}$
【答案】
B
【知识点】
分式的实际应用、列代数式
【点评】
本题考查分式在实际问题中的应用，核心是理清总油量、使用天数与每天供油量之间的数量关系，解题时需注意运算顺序，避免将原来和延长后的供油量相减的顺序搞反，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8

3. 某出版社向一所中学赠送 1080 本科普书，现用 A，B 两种不同的包装箱进行包装，单独使用 B 型包装箱比单独使用 A 型包装箱可少用 6 个；每个 B 型包装箱比每个 A 型包装箱可多装 15 本科普书. 设每个 A 型包装箱可装 $ x $ 本书，根据题意，可列方程()

A.$ \frac{1080}{x} = \frac{1080}{x - 15} + 6 $
B.$ \frac{1080}{x} = \frac{1080}{x - 15} - 6 $
C.$ \frac{1080}{x + 15} = \frac{1080}{x} - 6 $
D.$ \frac{1080}{x + 15} = \frac{1080}{x} + 6 $

3. C

【分析】
首先要明确题目核心等量关系：单独使用B型包装箱的数量 = 单独使用A型包装箱的数量 - 6。
已知设每个A型包装箱可装$x$本书，由“每个B型包装箱比每个A型包装箱多装15本”可知，每个B型包装箱可装$(x+15)$本书。
接着分别计算两种包装箱的使用数量：总书数除以单个包装箱装书量，即单独用A型包装箱的数量为$\frac{1080}{x}$个，单独用B型包装箱的数量为$\frac{1080}{x+15}$个。
最后结合“B型比A型少用6个”的关系，即可列出对应方程。
【解析】
设每个A型包装箱可装$x$本书，则每个B型包装箱可装$(x+15)$本书。
1. 计算单独使用A型包装箱的数量：$\frac{1080}{x}$个；
2. 计算单独使用B型包装箱的数量：$\frac{1080}{x+15}$个；
3. 根据“单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个”的等量关系，列方程：
$\frac{1080}{x+15} = \frac{1080}{x} - 6$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的应用、列方程解应用题
【点评】
本题考查实际问题中分式方程的列写，解题关键是准确提取题干中的等量关系，正确表示两种包装箱的使用数量，注意区分“谁比谁少”的数量逻辑，避免等量关系颠倒。
【难度系数】
0.7

4. 某轮船在静水中的最大航速为 30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行 120 km 所用的时间与以最大航速逆流航行 60 km 所用的时间相同. 设江水的流速为 $ x $ km/h，根据题意，可列分式方程.

4. $\frac{120}{30 + x} = \frac{60}{30 - x}$

【分析】
首先明确顺流与逆流速度的计算方法：顺流速度=静水中的航速+水流速度，逆流速度=静水中的航速-水流速度。题目中顺流航行120km和逆流航行60km的时间相同，根据“时间=路程÷速度”，分别表示出这两段路程的航行时间，再利用时间相等的条件，即可列出对应的分式方程。
【解析】
设江水的流速为$x$km/h，已知轮船在静水中的最大航速为30km/h，则：
顺流航行的速度为$(30+x)$km/h，顺流航行120km所用时间为$\frac{120}{30+x}$小时；
逆流航行的速度为$(30-x)$km/h，逆流航行60km所用时间为$\frac{60}{30-x}$小时；
根据“顺流航行120km所用时间与逆流航行60km所用时间相同”，可列分式方程：
$\frac{120}{30 + x} = \frac{60}{30 - x}$
【答案】
$\frac{120}{30 + x} = \frac{60}{30 - x}$
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 顺逆流速度计算
3. 行程问题公式
【点评】
本题考查分式方程在行程问题中的应用，关键在于掌握顺流、逆流速度的推导，以及利用路程、速度、时间三者的等量关系建立方程。题目属于基础题型，侧重对基本公式和等量关系的理解与运用。
【难度系数】
0.8

5. 实验室的一个容器内盛有 150 g 食盐水，其中含盐 10 g. 现要通过实验操作将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的 3 倍. 小明根据这一问题中的数量关系列出方程 $ 3×\frac{10}{150} = \frac{10}{150 - x} $，其中未知数 $ x $ 表示的意义是()

A.增加的水量
B.蒸发掉的水量
C.加入的食盐量
D.减少的食盐量

5. B

【分析】
首先明确原来的含盐百分比为$\frac{10}{150}$，题目要求将含盐百分比提高到原来的3倍，即目标含盐百分比为$3×\frac{10}{150}$。观察方程右边，分子仍为10，说明食盐的质量没有改变；分母是$150 - x$，表示溶液的质量减少了$x$。由于在盐的质量不变时，提高含盐百分比的方法是蒸发水分，因此可判断未知数$x$表示蒸发掉的水量。
【解析】
原来的含盐百分比为$\frac{10}{150}$，目标含盐百分比为原来的3倍，即$3×\frac{10}{150}$。
方程右边$\frac{10}{150 - x}$中，分子10表示食盐质量未发生变化，分母$150 - x$表示溶液质量减少了$x$。
根据含盐率公式：$\mathrm{含盐率}=\frac{\mathrm{盐的质量}}{\mathrm{溶液的质量}}$，在盐量不变时，要提高含盐率，需减少溶液质量（即蒸发水分），因此$x$表示蒸发掉的水量，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
含盐率计算、分式方程的实际意义
【点评】
本题考查含盐率的实际应用及分式方程中未知数的意义，解题关键是抓住“盐的质量是否变化”这一核心，结合含盐率公式分析溶液质量的变化，区分蒸发水分与添加食盐两种提高含盐率的不同方式，提升对实际问题中数量关系的理解能力。
【难度系数】
0.7

6. 数学之美无处不在. 绷得一样紧的几根弦，如果长度之比能够表示成整数之比，它们发出的声音就比较和谐. 例如，三根弦长度之比是 $ 15:12:10 $，用同样的力弹拨，它们将分别发出乐声 do，mi，so. 研究 15，12，10 这三个数的倒数发现：$ \frac{1}{12} - \frac{1}{15} = \frac{1}{10} - \frac{1}{12} $，我们称这样的三个数为一组调和数. 现有一组调和数 $ x $，8，5($ x ＞ 8 $)，根据题意可知 $ x $ 的值是()

A.5
B.10
C.15
D.20

6. D

【分析】
首先需要明确调和数的定义：根据题目示例，若三个数为调和数，则中间数的倒数减去第一个数的倒数等于第三个数的倒数减去中间数的倒数。已知调和数$x$，8，5（$x＞8$），因此可将$x$、8、5对应到定义中的三个数，列出对应的等式，再通过解分式方程求出$x$的值，最后验证是否满足$x＞8$的条件。
【解析】
根据调和数的定义，对于$x$，8，5（$x＞8$），可得：
$\frac{1}{8} - \frac{1}{x} = \frac{1}{5} - \frac{1}{8}$
1. 计算等式右边：
$\frac{1}{5} - \frac{1}{8} = \frac{8 - 5}{40} = \frac{3}{40}$
2. 等式转化为：
$\frac{1}{8} - \frac{1}{x} = \frac{3}{40}$
3. 移项求解$\frac{1}{x}$：
$\frac{1}{x} = \frac{1}{8} - \frac{3}{40} = \frac{5}{40} - \frac{3}{40} = \frac{2}{40} = \frac{1}{20}$
4. 解得：
$x = 20$，且$20＞8$，符合题目条件。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的应用，新定义运算
【点评】
本题以“调和数”为新背景，考查了分式方程的求解，核心是准确理解新定义的内涵，将文字描述转化为数学等式，再通过常规的分式方程解法求出结果，同时要注意题目中对$x$的取值限制，确保答案符合要求。
【难度系数】
0.6