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【例2】某车间有工人110名，生产一种由一个螺栓和两个螺母组成的配套产品，每人每天平均生产螺栓15个或者生产螺母20个。如果你是车间主任，应该分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使每天生产出来的螺栓和螺母刚好配套？
答案
设应分配 $x$ 人生产螺栓，则有 $110 - x$ 人生产螺母。
根据题意，每人每天平均生产螺栓 15 个，所以 $x$ 人每天生产螺栓 $15x$ 个；
每人每天平均生产螺母 20 个，所以 $110 - x$ 人每天生产螺母 $20(110 - x)$ 个。
由于一个螺栓需要两个螺母来配套，所以每天生产的螺母数量应该是螺栓数量的两倍，即：
$2 × 15x = 20(110 - x)$
展开并整理得：
$30x = 2200 - 20x$
$50x = 2200$
$x = 44$
所以，应分配 44 人生产螺栓，那么生产螺母的人数为：
$110 - x = 110 - 44 = 66$
答：应分配 44 人生产螺栓，66 人生产螺母，才能使每天生产出来的螺栓和螺母刚好配套。
根据题意，每人每天平均生产螺栓 15 个，所以 $x$ 人每天生产螺栓 $15x$ 个；
每人每天平均生产螺母 20 个，所以 $110 - x$ 人每天生产螺母 $20(110 - x)$ 个。
由于一个螺栓需要两个螺母来配套，所以每天生产的螺母数量应该是螺栓数量的两倍，即：
$2 × 15x = 20(110 - x)$
展开并整理得：
$30x = 2200 - 20x$
$50x = 2200$
$x = 44$
所以，应分配 44 人生产螺栓，那么生产螺母的人数为：
$110 - x = 110 - 44 = 66$
答：应分配 44 人生产螺栓，66 人生产螺母，才能使每天生产出来的螺栓和螺母刚好配套。
【变式2】一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成。如果$1m^{3}$木料可以制作50个桌面或者制作300条桌腿，某家具厂购买了$5m^{3}$的木料，请你设计一下，做桌面、桌腿各用多少木料能恰好配套？
答案
设用$x m^{3}$木料做桌面，则用$(5 - x)m^{3}$木料做桌腿。
根据题意，桌腿数量是桌面数量的4倍，可列方程：
$4×50x = 300(5 - x)$
解方程：
$200x = 1500 - 300x$
$200x + 300x = 1500$
$500x = 1500$
$x = 3$
则做桌腿用木料：$5 - 3 = 2(m^{3})$
检验：桌面数量$50×3 = 150$个，桌腿数量$300×2 = 600$条，$600÷150 = 4$，符合配套要求。
答：做桌面用$3m^{3}$木料，做桌腿用$2m^{3}$木料能恰好配套。
根据题意，桌腿数量是桌面数量的4倍，可列方程：
$4×50x = 300(5 - x)$
解方程：
$200x = 1500 - 300x$
$200x + 300x = 1500$
$500x = 1500$
$x = 3$
则做桌腿用木料：$5 - 3 = 2(m^{3})$
检验：桌面数量$50×3 = 150$个，桌腿数量$300×2 = 600$条，$600÷150 = 4$，符合配套要求。
答：做桌面用$3m^{3}$木料，做桌腿用$2m^{3}$木料能恰好配套。
【例3】某商场购进甲、乙两种服装后，都加价40%再标价出售，春节期间商场搞优惠活动，决定将甲、乙两种服装分别按标价的8折和9折出售。某顾客购买甲、乙两种服装各一件共付款182元，两种服装各一件标价之和为210元，这两种服装的进价和标价各是多少元/件？
答案
设甲服装的进价为$x$元/件，乙服装的进价为$y$元/件。
步骤1：根据标价关系列方程
甲、乙服装均加价40%标价，故甲标价为$1.4x$元，乙标价为$1.4y$元。
由“两种服装各一件标价之和为210元”，得：
$1.4x + 1.4y = 210$
化简得：$x + y = 150$ ①
步骤2：根据售价关系列方程
甲按标价8折出售，售价为$0.8×1.4x = 1.12x$元；
乙按标价9折出售，售价为$0.9×1.4y = 1.26y$元。
由“购买各一件共付款182元”，得：
$1.12x + 1.26y = 182$ ②
步骤3：解方程组
由①得：$x = 150 - y$，代入②：
$1.12(150 - y) + 1.26y = 182$
$168 - 1.12y + 1.26y = 182$
$0.14y = 14$
$y = 100$
将$y = 100$代入①：$x = 150 - 100 = 50$
步骤4：计算标价
甲标价：$1.4x = 1.4×50 = 70$元；
乙标价：$1.4y = 1.4×100 = 140$元。
结论：甲服装进价50元/件，标价70元/件；乙服装进价100元/件，标价140元/件。
步骤1：根据标价关系列方程
甲、乙服装均加价40%标价，故甲标价为$1.4x$元，乙标价为$1.4y$元。
由“两种服装各一件标价之和为210元”，得：
$1.4x + 1.4y = 210$
化简得：$x + y = 150$ ①
步骤2：根据售价关系列方程
甲按标价8折出售，售价为$0.8×1.4x = 1.12x$元；
乙按标价9折出售，售价为$0.9×1.4y = 1.26y$元。
由“购买各一件共付款182元”，得：
$1.12x + 1.26y = 182$ ②
步骤3：解方程组
由①得：$x = 150 - y$，代入②：
$1.12(150 - y) + 1.26y = 182$
$168 - 1.12y + 1.26y = 182$
$0.14y = 14$
$y = 100$
将$y = 100$代入①：$x = 150 - 100 = 50$
步骤4：计算标价
甲标价：$1.4x = 1.4×50 = 70$元；
乙标价：$1.4y = 1.4×100 = 140$元。
结论：甲服装进价50元/件，标价70元/件；乙服装进价100元/件，标价140元/件。
【变式3】随着中国传统节日“端午节”的临近，某商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打8折，乙品牌粽子打7.5折。已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元。
(1)打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？
(2)某敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，打折后购买这批粽子需要多少钱？
(1)打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？
(2)某敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，打折后购买这批粽子需要多少钱？
答案
(1)设打折前甲品牌粽子每盒$x$元，乙品牌粽子每盒$y$元。
根据题意，得$\begin{cases}6x + 3y = 660 \\ 50×0.8x + 40×0.75y = 5200\end{cases}$
化简第一个方程：$2x + y = 220$，即$y = 220 - 2x$
代入第二个方程：$40x + 30y = 5200$，将$y = 220 - 2x$代入得：
$40x + 30(220 - 2x) = 5200$
$40x + 6600 - 60x = 5200$
$-20x = -1400$
$x = 70$
将$x = 70$代入$y = 220 - 2x$，得$y = 220 - 140 = 80$
答：打折前甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元。
(2)打折后甲品牌粽子每盒$0.8×70 = 56$元，乙品牌粽子每盒$0.75×80 = 60$元。
总费用：$80×56 + 100×60 = 4480 + 6000 = 10480$元
答：打折后购买这批粽子需要10480元。
根据题意，得$\begin{cases}6x + 3y = 660 \\ 50×0.8x + 40×0.75y = 5200\end{cases}$
化简第一个方程：$2x + y = 220$，即$y = 220 - 2x$
代入第二个方程：$40x + 30y = 5200$，将$y = 220 - 2x$代入得：
$40x + 30(220 - 2x) = 5200$
$40x + 6600 - 60x = 5200$
$-20x = -1400$
$x = 70$
将$x = 70$代入$y = 220 - 2x$，得$y = 220 - 140 = 80$
答：打折前甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元。
(2)打折后甲品牌粽子每盒$0.8×70 = 56$元，乙品牌粽子每盒$0.75×80 = 60$元。
总费用：$80×56 + 100×60 = 4480 + 6000 = 10480$元
答：打折后购买这批粽子需要10480元。
