第1课时 用代入法解简单的二元一次方程组
课前预习
1. 消元思想
二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就可以把二元一次方程组转化为方程，则可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数. 这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫作消元思想.
2. 代入消元法
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个的式子表示出来，再代入另一个，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解. 这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法.
课堂探究
探究点1 用含一个未知数的代数式表示另一个未知数

1. 一元一次
2. 未知数；方程

【例1】把下列方程改写成用含$x$的代数式表示$y$的形式.
（1）$4x + y = 7$；（2）$5x - y = -20$.

（1）
方程 $4x + y = 7$，
移项得$y = 7 - 4x$。
（2）
方程$5x - y = -20$，
移项得 $- y = - 20 - 5x$，
系数化为$1$，得$y = 5x + 20$。

【变式1】将方程$3x + y = 5$改写成用含$x$的式子表示$y$的形式，正确的是().

A.$y = -3x + 5$
B.$y = 5 + 3x$
C.$-y = 3x + 5$
D.$y - 5 = 3x$

A

将方程$3x + y = 5$进行移项，把$3x$移到等式右边，得到$y = 5 - 3x$，即$y = -3x + 5$。

【变式2】把下列方程改写成用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式.
（1）$x - 5y = 2025$；
（2）$\frac{4x - 2y}{4} = 2$.

（1）由$x - 5y = 2025$得：
$x = 2025 + 5y$，
$y=\frac{x-2025}{5}$。
（2）方程$\frac{4x - 2y}{4} = 2$两边同时乘以$4$得：
$4x - 2y = 8$，
用$x$表示$y$为：
$-2y=8-4x$，
$2y=4x-8$，
$y = 2x - 4$，
用$y$表示$x$为：
$4x=8 + 2y$，
$x = 0.5y + 2$。

【例2】用代入消元法解方程组：
（1）$\begin{cases}y = 2x,①\\3y + 2x = 8;②\end{cases}$
（2）$\begin{cases}3x - 1 = y + 5,\frac{y - 1}{3} = \frac{x}{2} - 1.\end{cases}$

（1）把①代入②，得$3×2x + 2x = 8$，$6x + 2x = 8$，$8x = 8$，$x = 1$。把$x = 1$代入①，得$y = 2×1 = 2$。所以方程组的解为$\begin{cases}x = 1\\y = 2\end{cases}$。
（2）由$3x - 1 = y + 5$得$y = 3x - 6$③。由$\frac{y - 1}{3} = \frac{x}{2} - 1$两边乘6得$2(y - 1) = 3x - 6$，$2y - 2 = 3x - 6$，$2y = 3x - 4$④。把③代入④，得$2(3x - 6) = 3x - 4$，$6x - 12 = 3x - 4$，$3x = 8$，$x = \frac{8}{3}$。把$x = \frac{8}{3}$代入③，得$y = 3×\frac{8}{3} - 6 = 8 - 6 = 2$。所以方程组的解为$\begin{cases}x = \frac{8}{3}\\y = 2\end{cases}$。