例 1 编两个二元一次方程组,使它们的解都是$\begin{cases}x = 2,\\y = 3.\end{cases}$

答题卡答：
第一个方程组：
由已知解$\begin{cases}x = 2,\\y = 3.\end{cases}$
可以根据二元一次方程的定义来构造方程。
首先，可以构造第一个方程 $x + y = 5$，因为 $2 + 3 = 5$。
接着，构造第二个方程 $x - y = -1$，因为 $2 - 3 = -1$。
所以，第一个方程组为：
$\begin{cases}x + y = 5, \\x - y = -1.\end{cases}$
第二个方程组：
同样地，我们可以构造另一组方程。
首先，构造第一个方程 $2x + y = 7$，因为 $2×2 + 3 = 7$。
然后，构造第二个方程 $x + 2y = 8$，因为 $2 + 2×3 = 8$。
所以，第二个方程组为：
$\begin{cases}2x + y = 7, \\x + 2y =8.\end{cases}$

【分析】
要构造解为$\begin{cases}x = 2,\\y = 3\end{cases}$的二元一次方程组，首先要明确二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程。我们可以将$x=2$，$y=3$代入到不同的含$x$、$y$的一次整式中，让等式成立，从而构造出二元一次方程，再将两个不同的这样的方程组合，就得到满足条件的二元一次方程组。
【解析】
第一个方程组：
已知解为$\begin{cases}x = 2,\\y = 3\end{cases}$，根据二元一次方程的定义构造方程：
1. 计算$x+y$的值：$2+3=5$，由此得到方程$x+y=5$；
2. 计算$x-y$的值：$2-3=-1$，由此得到方程$x-y=-1$；
将这两个方程组合，得到第一个方程组：$\begin{cases}x + y = 5, \\x - y = -1.\end{cases}$
第二个方程组：
同样利用已知解构造新的方程：
1. 计算$2x+y$的值：$2×2+3=7$，由此得到方程$2x+y=7$；
2. 计算$x+2y$的值：$2+2×3=8$，由此得到方程$x+2y=8$；
将这两个方程组合，得到第二个方程组：$\begin{cases}2x + y = 7, \\x + 2y =8.\end{cases}$
【答案】
第一个方程组：$\begin{cases}x + y = 5, \\x - y = -1.\end{cases}$；第二个方程组：$\begin{cases}2x + y = 7, \\x + 2y =8.\end{cases}$（答案不唯一，符合要求即可）
【知识点】
二元一次方程构造、二元一次方程组的解
【点评】
构造满足特定解的二元一次方程组，核心是利用方程组的解的定义，将解代入含未知数的一次整式中得到等式，只要构造的方程符合二元一次方程的定义，任意组合两个不同的此类方程，就能得到满足条件的方程组，答案具有多样性。
【难度系数】
0.9

例 2 已知方程$mx + ny = 5$的两个解是$\begin{cases}x = 1,\\y = 1\end{cases}$和$\begin{cases}x = 2,\\y = 3,\end{cases}$求$m,n$的值.

将$\begin{cases}x = 1,y = 1\end{cases}$代入方程$mx + ny = 5$，得$m + n = 5$。
将$\begin{cases}x = 2,y = 3\end{cases}$代入方程$mx + ny = 5$，得$2m + 3n = 5$。
由$m + n = 5$可得$m = 5 - n$，将其代入$2m + 3n = 5$中，得到$2(5 - n)+3n = 5$。
展开式子得$10 - 2n + 3n = 5$，即$10 + n = 5$，解得$n = - 5$。
把$n = - 5$代入$m = 5 - n$，得$m = 5-(-5)=10$。
综上，$m = 10$，$n = - 5$。

【分析】
首先要明确二元一次方程解的定义：能使二元一次方程左右两边相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。所以我们可以把题目给出的两组解分别代入原方程，得到一个关于m、n的二元一次方程组，再通过代入消元法解这个方程组，就能求出m和n的值。具体步骤是先代入得到两个方程，再用代入消元法求解。
【解析】
将$\begin{cases}x = 1\\y = 1\end{cases}$代入方程$mx + ny = 5$，得：
$m + n = 5$ ①
将$\begin{cases}x = 2\\y = 3\end{cases}$代入方程$mx + ny = 5$，得：
$2m + 3n = 5$ ②
由①可得：$m = 5 - n$ ③
将③代入②，得：
$2(5 - n) + 3n = 5$
展开括号：$10 - 2n + 3n = 5$
合并同类项：$10 + n = 5$
解得：$n = -5$
将$n = -5$代入③，得：
$m = 5 - (-5) = 10$
【答案】
$m = 10$，$n = -5$
【知识点】
二元一次方程的解，解二元一次方程组
【点评】
本题主要考查二元一次方程解的定义以及代入消元法解二元一次方程组，解题的关键是利用方程解的定义构建关于m、n的方程组，这是求解此类问题的基础方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8

例 3 已知关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}2x + y = k,\\x + 2y = - 1\end{cases}$的解互为相反数,求$k$的值.

$k = 1$

因为方程组的解互为相反数，所以$x + y = 0$，即$y = -x$。
将$y = -x$代入方程组$\begin{cases}2x + y = k \\ x + 2y = -1\end{cases}$：
对于第二个方程$x + 2y = -1$，代入$y = -x$得：$x + 2(-x) = -1$，即$x - 2x = -1$，$-x = -1$，解得$x = 1$。
因为$y = -x$，所以$y = -1$。
将$x = 1$，$y = -1$代入第一个方程$2x + y = k$，得$2×1 + (-1) = k$，即$k = 1$。

1. 选择题:
(1) 方程组$\begin{cases}x + y = 5,\\x - y = 1\end{cases}$的解是( ).
A. $\begin{cases}x = 2,\\y = 3\end{cases}$
B. $\begin{cases}x = 3,\\y = 2\end{cases}$
C. $\begin{cases}x = 1,\\y = 4\end{cases}$
D. $\begin{cases}x = 4,\\y = 1\end{cases}$
(2) 关于$x,y$的方程组$\begin{cases}2x - y = m,\\x + my = n\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 2,\\y = 1,\end{cases}$则$|m - n|$的值为( ).
A. 1
B. 3
C. 5
D. 2

(1)B (2)D

(1) 将方程组$\begin{cases}x + y = 5 \\ x - y = 1\end{cases}$中两式相加，得$2x=6$，解得$x=3$，代入$x + y = 5$，得$y=2$，所以解为$\begin{cases}x=3 \\ y=2\end{cases}$。
(2) 将$\begin{cases}x=2 \\ y=1\end{cases}$代入$\begin{cases}2x - y = m \\ x + my = n\end{cases}$，得$m=2×2 - 1=3$，$n=2 + 3×1=5$，则$|m - n|=|3 - 5|=2$。

2. 填空题:
(1) 已知$\begin{cases}x = 3,\\y = 1\end{cases}$是方程$3x - ay = 8$的解,则$a$的值为 ______ ；
(2) 在方程$3x + 2y = 4$中,用含$x$的代数式表示$y$,则$y =$；
(3) 写出一个解为$\begin{cases}x = 1,\\y = 2\end{cases}$的二元一次方程组: ______ .

(1) $1$
(2) $2 - \frac{3}{2}x$
(3) $\begin{cases} x + y = 3, \\ x - y = -1 \end{cases}$（答案不唯一）

(1) 将 $\begin{cases} x = 3, \\ y = 1 \end{cases}$ 代入方程 $3x - ay = 8$，得 $3 × 3 - a × 1 = 8$，即 $9 - a = 8$，解得 $a = 1$。
(2) 由方程 $3x + 2y = 4$，移项得 $2y = 4 - 3x$，两边同除以 $2$，得 $y = \frac{4 - 3x}{2}$，即 $y = 2 - \frac{3}{2}x$。
(3) 根据解 $\begin{cases} x = 1, \\ y = 2 \end{cases}$，可构造方程 $x + y = 3$ 和 $x - y = -1$（答案不唯一），组成方程组 $\begin{cases} x + y = 3, \\ x - y = -1 \end{cases}$。