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7. 将形如$a+b\sqrt{2}$（$a$，$b$均为有理数）的数定义为“好数”，判断下列说法是否正确：
（1）任意两个“好数”之积仍为“好数”.
（2）任意两个“好数”之商（除数不为 0）仍为“好数”.
（1）任意两个“好数”之积仍为“好数”.
（2）任意两个“好数”之商（除数不为 0）仍为“好数”.
答案
解：(1) 正确.设这两个“好数”为$a + b\sqrt {2}$，
$c + d\sqrt {2}(a$，b，c，d为有理数)，
则$(a + b\sqrt {2})(c + d\sqrt {2}) $
$= ac + ad\sqrt {2} + bc\sqrt {2} + bd·2$
$=(ac + 2bd)+(ad + bc)\sqrt {2}$，
其中ac + 2bd为有理数，ad + bc 为有理数，所以这两个“好数”
之积为“好数”.
(2) 正确.设这两个好数为$a + b\sqrt {2}$，$c + d\sqrt {2}(a$，b，c，d为有理数，cd≠0)，
则$\frac {a + b\sqrt {2}}{c + d\sqrt {2}}$
$=\frac {(a + b\sqrt {2})(c + d\sqrt {2})}{(c + d\sqrt {2})(c - d\sqrt {2})}$
$=\frac {(ac + 2bd)+(ad + bc)\sqrt {2}}{c^2-2d^2}$
$=\frac {ac + 2bd}{c^2-2d^2}+\frac {ad + bc}{c^2-2d^2}\sqrt {2}$，
其中$\frac {ac + 2bd}{c^2-2d^2}$，$\frac {ad + bc}{c^2-2d^2}$均为有理数，
所以这两个“好数”之商为“好数”.
$c + d\sqrt {2}(a$，b，c，d为有理数)，
则$(a + b\sqrt {2})(c + d\sqrt {2}) $
$= ac + ad\sqrt {2} + bc\sqrt {2} + bd·2$
$=(ac + 2bd)+(ad + bc)\sqrt {2}$，
其中ac + 2bd为有理数，ad + bc 为有理数，所以这两个“好数”
之积为“好数”.
(2) 正确.设这两个好数为$a + b\sqrt {2}$，$c + d\sqrt {2}(a$，b，c，d为有理数，cd≠0)，
则$\frac {a + b\sqrt {2}}{c + d\sqrt {2}}$
$=\frac {(a + b\sqrt {2})(c + d\sqrt {2})}{(c + d\sqrt {2})(c - d\sqrt {2})}$
$=\frac {(ac + 2bd)+(ad + bc)\sqrt {2}}{c^2-2d^2}$
$=\frac {ac + 2bd}{c^2-2d^2}+\frac {ad + bc}{c^2-2d^2}\sqrt {2}$，
其中$\frac {ac + 2bd}{c^2-2d^2}$，$\frac {ad + bc}{c^2-2d^2}$均为有理数，
所以这两个“好数”之商为“好数”.
