变式训练 根式$\sqrt{45}$，$\sqrt{\dfrac{1}{27}}$，$\sqrt{12}$，$\sqrt{\dfrac{1}{50}}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{\dfrac{1}{10}}$中，与$\sqrt{48}$是同类二次根式的有()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

C

先将$\sqrt{48}$化简为$4\sqrt{3}$，然后将题目中所给的各个根式化简，再判断是否与$\sqrt{48}$是同类二次根式。
$\sqrt{45}=\sqrt{9×5}=3\sqrt{5}$；
$\sqrt{\frac{1}{27}}=\frac{1}{\sqrt{27}}=\frac{1}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{9}$；
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$；
$\sqrt{\frac{1}{50}}=\frac{1}{\sqrt{50}}=\frac{1}{5\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{10}$；
$\sqrt{3}$本身已是最简根式；
$\sqrt{\frac{1}{10}}=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$。
与$\sqrt{48}$是同类二次根式的有$\sqrt{12}$，$\sqrt{\frac{1}{27}}$，$\sqrt{3}$，共$3$个。

1. 下列运算正确的是()

A.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
B.$\sqrt{4^{2}-3^{2}}=1$
C.$(\sqrt{-a})^{2}=a$
D.$\sqrt{(-3)^{2}}=3$

D

选项A：$\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$不是同类二次根式，不能直接相加，即$\sqrt{2}+\sqrt{3}≠\sqrt{5}$，所以A错误。
选项B：先计算$4^{2}-3^{2}=16 - 9 = 7$，则$\sqrt{4^{2}-3^{2}}=\sqrt{7}≠1$，所以B错误。
选项C：要使$\sqrt{-a}$有意义，则$-a≥0$即$a≤0$，那么$(\sqrt{-a})^{2}=-a≠ a$，所以C错误。
选项D：$\sqrt{(-3)^{2}}=\sqrt{9}=3$，所以D正确。

2. 已知一等腰三角形的周长为$12\sqrt{5}$，其中一边长$2\sqrt{5}$，则这个等腰三角形的腰长为()

A.$2\sqrt{5}$
B.$5\sqrt{5}$
C.$2\sqrt{5}$或$5\sqrt{5}$
D.无法确定

B

题目中已知等腰三角形周长为 $12\sqrt{5}$，一边长为 $2\sqrt{5}$，需要区分该边为腰长或底边长两种情况。
情况一：若 $2\sqrt{5}$ 为腰长，则两腰长为 $2× 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$，此时底边长为：
$12\sqrt{5} - 4\sqrt{5} = 8\sqrt{5}$，
此时需要检验是否满足三角形两边之和大于第三边，即：
$2\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5} ＜ 8\sqrt{5}$，
不满足三角形三边关系，因此 $2\sqrt{5}$ 不能为腰长。
情况二：若 $2\sqrt{5}$ 为底边长，则两腰长相等，记为 $x$，根据周长可得：
$2x + 2\sqrt{5} = 12\sqrt{5}$，
解得：
$x = 5\sqrt{5}$，
此时检验是否满足三角形三边关系：
$5\sqrt{5} + 5\sqrt{5} = 10\sqrt{5} ＞ 2\sqrt{5}$，
$5\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 7\sqrt{5} ＞ 5\sqrt{5}$，
满足三角形三边关系，因此腰长为 $5\sqrt{5}$。

3. 若$a$，$b$均为有理数，且$\sqrt{8}+\sqrt{18}+2=a+b\sqrt{2}$，则$b^{a}=$.

25

首先，将等式左边的二次根式化简：
$\sqrt{8} = \sqrt{4 × 2} = 2\sqrt{2}$；
$\sqrt{18} = \sqrt{9 × 2} = 3\sqrt{2}$；
将化简后的二次根式代入原等式：
$\sqrt{8} + \sqrt{18} + 2 = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} + 2$；
合并同类项：
$2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$；
所以，等式变为：
$5\sqrt{2} + 2 = a + b\sqrt{2}$；
由于$a$和$b$都是有理数，通过比较等式两边的有理数部分和无理数部分，可以得到：
$a = 2, \quad b = 5$；
最后，求解$b^a$：
$b^a = 5^2 = 25$；

4. 最简二次根式$\sqrt[a+b]{3a}$与$\sqrt{2a+3}$可以合并，则$a - b$的值为.

4

因为最简二次根式$\sqrt[a+b]{3a}$与$\sqrt{2a+3}$可以合并，所以它们是同类二次根式。同类二次根式根指数相同且被开方数相同，故根指数$a + b = 2$，被开方数$3a = 2a + 3$。解$3a = 2a + 3$得$a = 3$，代入$a + b = 2$得$3 + b = 2$，解得$b = -1$。则$a - b = 3 - (-1) = 4$。

5. 已知$a$，$b$都是有理数，现定义新运算：$a*b=\sqrt{a}+3\sqrt{b}$，求$(2*3)+(27*32)$的值.

根据新运算定义$a*b = \sqrt{a} + 3\sqrt{b}$，
则$(2*3) = \sqrt{2} + 3\sqrt{3}$（此步原（题目）中$a=2,b=3$代入），
$(27*32)=\sqrt{27}+3\sqrt{32}$，
化简$\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$，$\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，
所以$(27*32)=3\sqrt{3}+12\sqrt{2}$，
则$(2*3)+(27*32)=(\sqrt{2}+3\sqrt{3})+(3\sqrt{3}+12\sqrt{2})$
$=\sqrt{2}+3\sqrt{3}+3\sqrt{3}+12\sqrt{2}$
$=13\sqrt{2}+6\sqrt{3}$
综上，$(2*3)+(27*32)$的值为$13\sqrt{2}+6\sqrt{3}$。

6. 计算：
(1)$2\sqrt{12}+3\sqrt{1\dfrac{1}{3}}-\sqrt{5\dfrac{1}{3}}-\dfrac{2}{3}\sqrt{48}$；
(2)$(2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{6})(2\sqrt{3}-3\sqrt{2}-\sqrt{6})$；
(3)$(2\sqrt{6}+\sqrt{3})(2\sqrt{6}-\sqrt{3})-(3\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2}$.

(1)
$2\sqrt{12}=2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$；
$3\sqrt{1\dfrac{1}{3}}=3\sqrt{\dfrac{4}{3}}=3×\dfrac{2}{\sqrt{3}} = 3×\dfrac{2\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$；
$\sqrt{5\dfrac{1}{3}}=\sqrt{\dfrac{16}{3}}=\dfrac{4}{\sqrt{3}}=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$；
$\dfrac{2}{3}\sqrt{48}=\dfrac{2}{3}×4\sqrt{3}=\dfrac{8\sqrt{3}}{3}$；
则$2\sqrt{12}+3\sqrt{1\dfrac{1}{3}}-\sqrt{5\dfrac{1}{3}}-\dfrac{2}{3}\sqrt{48}=4\sqrt{3}+2\sqrt{3}-\dfrac{4\sqrt{3}}{3}-\dfrac{8\sqrt{3}}{3}$
$=(4 + 2)\sqrt{3}-(\dfrac{4\sqrt{3}}{3}+\dfrac{8\sqrt{3}}{3})$
$=6\sqrt{3}-4\sqrt{3}$
$ = 2\sqrt{3}$；
(2)
$(2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{6})(2\sqrt{3}-3\sqrt{2}-\sqrt{6})$
$=[(2\sqrt{3}-\sqrt{6}) + 3\sqrt{2}][(2\sqrt{3}-\sqrt{6})-3\sqrt{2}]$
$=(2\sqrt{3}-\sqrt{6})^{2}-(3\sqrt{2})^{2}$
$=(12-4\sqrt{18}+6)-18$
$=(18 - 12\sqrt{2})-18$
$=-12\sqrt{2}$；
(3)
$(2\sqrt{6}+\sqrt{3})(2\sqrt{6}-\sqrt{3})-(3\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2}$
$=(2\sqrt{6})^{2}-(\sqrt{3})^{2}-(27 - 6\sqrt{6}+2)$
$=24 - 3-(29 - 6\sqrt{6})$
$=21 - 29 + 6\sqrt{6}$
$=6\sqrt{6}-8$；

7. 已知$m = 1+\sqrt{2}$，$n = 1-\sqrt{2}$，求代数式$\sqrt{m^{2}+n^{2}-3mn}$的值.

3

解：
∵ $ m = 1+\sqrt{2} $，$ n = 1-\sqrt{2} $，
∴ $ m + n = (1+\sqrt{2}) + (1-\sqrt{2}) = 2 $，
$ mn = (1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2}) = 1^2 - (\sqrt{2})^2 = 1 - 2 = -1 $。
$ m^2 + n^2 - 3mn = (m + n)^2 - 5mn $
$ = 2^2 - 5×(-1) = 4 + 5 = 9 $。
∴ $ \sqrt{m^2 + n^2 - 3mn} = \sqrt{9} = 3 $。

二次根式混合运算的常用公式有：
$ \sqrt{a^2} = |a|; (\sqrt{a})^2 = a(a ≥ 0); \sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}(a, b ≥ 0); \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}(a ≥ 0, b ＞ 0); (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2; (a + b)(a - b) = a^2 - b^2. $
思考 二次根式混合运算遵循怎样的运算顺序？对运算结果有什么要求？

二次根式混合运算遵循先乘方、开方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内的顺序；运算结果要化为最简二次根式，分母中不含根号。

二次根式混合运算遵循先乘方、开方，再乘除，最后加减的顺序，有括号先算括号内的；运算结果要求化为最简二次根式，且分母中不含根号。