登录
8. 如图，在四边形 $BCDE$ 中，$CD// BE$，$F$ 是 $DE$ 的中点，延长 $CF$ 交 $BE$ 的延长线于点 $A$，$E$ 恰好为 $AB$ 的中点. 求证：四边形 $BCDE$ 是平行四边形.
答案
8.
∵CD//BE，
∴∠D=∠AEF.
∵F 是 DE 的中点，
∴DF=EF. 在△CDF 和△AEF 中，$\{\begin{array}{l} ∠D=∠AEF,\\ DF=EF,\\ ∠CFD=∠AFE,\end{array} $
∴△CDF≌△AEF(ASA).
∴CD=AE.
∵E 是 AB 的中点，
∴AE=BE，
∴CD=BE.
∵CD//BE，
∴四边形 BCDE 是平行四边形
∵CD//BE，
∴∠D=∠AEF.
∵F 是 DE 的中点，
∴DF=EF. 在△CDF 和△AEF 中，$\{\begin{array}{l} ∠D=∠AEF,\\ DF=EF,\\ ∠CFD=∠AFE,\end{array} $
∴△CDF≌△AEF(ASA).
∴CD=AE.
∵E 是 AB 的中点，
∴AE=BE，
∴CD=BE.
∵CD//BE，
∴四边形 BCDE 是平行四边形
解析
【分析】
要证明四边形$BCDE$是平行四边形，已知$CD// BE$，根据平行四边形的判定定理，只需再证明$CD=BE$即可。首先利用平行线的性质得到内错角相等，结合F是DE中点、对顶角相等，可证明$△ CDF$与$△ AEF$全等，从而得到$CD=AE$；再根据E是AB中点得出$AE=BE$，进而推出$CD=BE$，最后结合$CD// BE$即可完成证明。
【解析】
证明：
$\because CD// BE$，
$\therefore ∠ D=∠ AEF$。
$\because F$是$DE$的中点，
$\therefore DF=EF$。
在$△ CDF$和$△ AEF$中，
$\{\begin{array}{l}∠ D=∠ AEF, \\DF=EF, \\∠ CFD=∠ AFE,\end{array} $
$\therefore △ CDF≌△ AEF$（ASA）。
$\therefore CD=AE$。
$\because E$是$AB$的中点，
$\therefore AE=BE$，
$\therefore CD=BE$。
又$\because CD// BE$，
$\therefore$四边形$BCDE$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
【答案】
四边形$BCDE$是平行四边形，证明如上。
【知识点】
1. 全等三角形的判定（ASA）
2. 平行四边形的判定
【点评】
本题主要考查平行四边形的判定与全等三角形的判定及性质，解题关键是通过全等三角形的性质得到线段相等，结合已知的平行线条件完成平行四边形的证明，需熟练掌握相关定理的应用。
【难度系数】
0.6
要证明四边形$BCDE$是平行四边形，已知$CD// BE$，根据平行四边形的判定定理，只需再证明$CD=BE$即可。首先利用平行线的性质得到内错角相等，结合F是DE中点、对顶角相等，可证明$△ CDF$与$△ AEF$全等，从而得到$CD=AE$；再根据E是AB中点得出$AE=BE$，进而推出$CD=BE$，最后结合$CD// BE$即可完成证明。
【解析】
证明：
$\because CD// BE$，
$\therefore ∠ D=∠ AEF$。
$\because F$是$DE$的中点，
$\therefore DF=EF$。
在$△ CDF$和$△ AEF$中，
$\{\begin{array}{l}∠ D=∠ AEF, \\DF=EF, \\∠ CFD=∠ AFE,\end{array} $
$\therefore △ CDF≌△ AEF$（ASA）。
$\therefore CD=AE$。
$\because E$是$AB$的中点，
$\therefore AE=BE$，
$\therefore CD=BE$。
又$\because CD// BE$，
$\therefore$四边形$BCDE$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
【答案】
四边形$BCDE$是平行四边形，证明如上。
【知识点】
1. 全等三角形的判定（ASA）
2. 平行四边形的判定
【点评】
本题主要考查平行四边形的判定与全等三角形的判定及性质，解题关键是通过全等三角形的性质得到线段相等，结合已知的平行线条件完成平行四边形的证明，需熟练掌握相关定理的应用。
【难度系数】
0.6
9. 如图，$AD$，$BF$ 相交于点 $O$，点 $E$，$C$ 在 $BF$ 上，$BE = FC$，$AC = DE$，$AB = DF$，
(1) 求证：$△ ABC≌△ DFE$.
(2) 连接 $BD$，$FA$，求证：四边形 $ABDF$ 是平行四边形.
(1) 求证：$△ ABC≌△ DFE$.
(2) 连接 $BD$，$FA$，求证：四边形 $ABDF$ 是平行四边形.
答案
9. (1)
∵BE=FC，
∴BE+CE=FC+CE，即 BC=FE. 在△ABC 和△DFE 中，$\{\begin{array}{l} AB=DF,\\ AC=DE,\\ BC=FE.\end{array} $
∴△ABC≌△DFE(SSS)
(2) 如图，由(1)可知，△ABC≌△DFE，∴∠ABC=∠DFE.
∴AB//DF.
∵AB=DF，
∴四边形 ABDF 是平行四边形
解析
【分析】
(1) 要证明$△ ABC≌△ DFE$，已知$AC=DE$，$AB=DF$，还需一组对应边相等。根据$BE=FC$，利用等式性质在两边同时加$CE$可得到$BC=FE$，满足SSS全等判定条件，即可证明全等。
(2) 要证明四边形$ABDF$是平行四边形，可利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理。由(1)的全等结论可得$∠ ABC=∠ DFE$，进而推出$AB// DF$，结合已知$AB=DF$，即可完成证明。
【解析】
(1) 证明：
∵ $BE = FC$，
∴ $BE + CE = FC + CE$，即 $BC = FE$。
在$△ ABC$和$△ DFE$中，
$\{\begin{array}{l}AB = DF, \\AC = DE, \\BC = FE\end{array} $
∴ $△ ABC≌△ DFE$（SSS）。
(2) 证明：
由(1)知$△ ABC≌△ DFE$，
∴ $∠ ABC = ∠ DFE$，
∴ $AB // DF$（同位角相等，两直线平行）。
又
∵ $AB = DF$，
∴ 四边形$ABDF$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) 证明见上述解析。
【知识点】
三角形全等的判定（SSS）；平行四边形的判定
【点评】
本题主要考查三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定，熟练掌握相关定理是解题关键，通过等式性质转化线段长度是第一问的突破口，利用全等得到角相等进而证明平行是第二问的核心思路。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明$△ ABC≌△ DFE$，已知$AC=DE$，$AB=DF$，还需一组对应边相等。根据$BE=FC$，利用等式性质在两边同时加$CE$可得到$BC=FE$，满足SSS全等判定条件，即可证明全等。
(2) 要证明四边形$ABDF$是平行四边形，可利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理。由(1)的全等结论可得$∠ ABC=∠ DFE$，进而推出$AB// DF$，结合已知$AB=DF$，即可完成证明。
【解析】
(1) 证明：
∵ $BE = FC$，
∴ $BE + CE = FC + CE$，即 $BC = FE$。
在$△ ABC$和$△ DFE$中，
$\{\begin{array}{l}AB = DF, \\AC = DE, \\BC = FE\end{array} $
∴ $△ ABC≌△ DFE$（SSS）。
(2) 证明：
由(1)知$△ ABC≌△ DFE$，
∴ $∠ ABC = ∠ DFE$，
∴ $AB // DF$（同位角相等，两直线平行）。
又
∵ $AB = DF$，
∴ 四边形$ABDF$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) 证明见上述解析。
【知识点】
三角形全等的判定（SSS）；平行四边形的判定
【点评】
本题主要考查三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定，熟练掌握相关定理是解题关键，通过等式性质转化线段长度是第一问的突破口，利用全等得到角相等进而证明平行是第二问的核心思路。
【难度系数】
0.6
10. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$，$BE⊥ AC$，$DF⊥ AC$，垂足分别为 $E$，$F$，且 $AF = CE$，$∠ BAC=∠ DCA$. 求证：四边形 $ABCD$ 是平行四边形.
答案
10.
∵AF=CE，
∴AF−EF=CE−EF.
∴AE=CF.
∵∠BAC=∠DCA，
∴AB//CD.
∵BE⊥AC，OF⊥AC，
∴∠AEB=∠CFD=90°. 在△ABE 与△CDF 中，$\{\begin{array}{l} ∠BAE=∠DCF,\\ AE=CF,\\ ∠AEB=∠CFD,\end{array} $
∴△ABE≌△CDF(ASA).
∴AB=CD.
∴四边形 ABCD 是平行四边形
∵AF=CE，
∴AF−EF=CE−EF.
∴AE=CF.
∵∠BAC=∠DCA，
∴AB//CD.
∵BE⊥AC，OF⊥AC，
∴∠AEB=∠CFD=90°. 在△ABE 与△CDF 中，$\{\begin{array}{l} ∠BAE=∠DCF,\\ AE=CF,\\ ∠AEB=∠CFD,\end{array} $
∴△ABE≌△CDF(ASA).
∴AB=CD.
∴四边形 ABCD 是平行四边形
解析
【分析】
要证明四边形ABCD是平行四边形，可考虑用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理。首先由$∠BAC=∠DCA$可推出$AB// CD$，接下来只需证明$AB=CD$即可。已知$AF=CE$，通过等式变形得到$AE=CF$，结合垂直条件得到的直角，利用ASA证明$△ABE≌△CDF$，从而得到$AB=CD$，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ $ AF = CE $，
∴ $ AF - EF = CE - EF $，
∴ $ AE = CF $。
∵ $ ∠BAC = ∠DCA $，
∴ $ AB // CD $（内错角相等，两直线平行）。
∵ $ BE⊥AC $，$ DF⊥AC $，
∴ $ ∠AEB = ∠CFD = 90° $。
在$ △ABE $和$ △CDF $中，
$\begin{cases}∠BAE = ∠DCF, \\AE = CF, \\∠AEB = ∠CFD,\end{cases}$
∴ $ △ABE ≌ △CDF $（ASA）。
∴ $ AB = CD $，
又
∵ $ AB // CD $，
∴ 四边形$ ABCD $是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
【答案】
四边形$ ABCD $是平行四边形，证明如上。
【知识点】
ASA证全等，平行线判定，平行四边形判定
【点评】
本题考查平行四边形判定与全等三角形的综合运用，关键是通过线段等量转化得到全等条件，利用全等性质得到对边相等，结合平行关系完成证明，需熟练掌握相关判定定理。
【难度系数】
0.6
要证明四边形ABCD是平行四边形，可考虑用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理。首先由$∠BAC=∠DCA$可推出$AB// CD$，接下来只需证明$AB=CD$即可。已知$AF=CE$，通过等式变形得到$AE=CF$，结合垂直条件得到的直角，利用ASA证明$△ABE≌△CDF$，从而得到$AB=CD$，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ $ AF = CE $，
∴ $ AF - EF = CE - EF $，
∴ $ AE = CF $。
∵ $ ∠BAC = ∠DCA $，
∴ $ AB // CD $（内错角相等，两直线平行）。
∵ $ BE⊥AC $，$ DF⊥AC $，
∴ $ ∠AEB = ∠CFD = 90° $。
在$ △ABE $和$ △CDF $中，
$\begin{cases}∠BAE = ∠DCF, \\AE = CF, \\∠AEB = ∠CFD,\end{cases}$
∴ $ △ABE ≌ △CDF $（ASA）。
∴ $ AB = CD $，
又
∵ $ AB // CD $，
∴ 四边形$ ABCD $是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
【答案】
四边形$ ABCD $是平行四边形，证明如上。
【知识点】
ASA证全等，平行线判定，平行四边形判定
【点评】
本题考查平行四边形判定与全等三角形的综合运用，关键是通过线段等量转化得到全等条件，利用全等性质得到对边相等，结合平行关系完成证明，需熟练掌握相关判定定理。
【难度系数】
0.6
11. 如图，$△ ABC$ 为等边三角形，点 $D$，$F$ 分别在 $BC$，$AB$ 上，且 $CD = BF$.
(1) 求证：$△ ACD≌△ CBF$.
(2) 以 $AD$ 为边作等边三角形 $ADE$，点 $D$ 在线段 $BC$ 上的何处时，四边形 $CDEF$ 是平行四边形？
(1) 求证：$△ ACD≌△ CBF$.
(2) 以 $AD$ 为边作等边三角形 $ADE$，点 $D$ 在线段 $BC$ 上的何处时，四边形 $CDEF$ 是平行四边形？
答案
11. (1)
∵△ABC 为等边三角形，
∴∠B=∠ACD=60°，AC=BC. 在△ACD 和△CBF 中，$\{\begin{array}{l} AC=BC,\\ ∠ACD=∠B,\\ CD=BF,\end{array} $
∴△ACD≌△CBF(SAS) (2) 点 D 在线段 BC 上任意位置(但点 D，C 不重合)，四边形 CDEF 是平行四边形.
∵△ACD≌△CBF，
∴∠BCF=∠CAD，AD=CF.
∵△ADE 为等边三角形，
∴AD=DE，∠ADE=60°.
∴DE=CF.
∵∠ACD=∠ADE=60°，∠ADB=∠ADE+∠BDE，∠ADB=∠ACD+∠DAC，
∴60°+∠DAC=60°+∠BDE.
∴∠DAC=∠BDE.
∵∠BCF=∠DAC，
∴∠BDE=∠BCF，
∴DE//CF.
∵DE=CF，
∴四边形 CDEF 是平行四边形
∵△ABC 为等边三角形，
∴∠B=∠ACD=60°，AC=BC. 在△ACD 和△CBF 中，$\{\begin{array}{l} AC=BC,\\ ∠ACD=∠B,\\ CD=BF,\end{array} $
∴△ACD≌△CBF(SAS) (2) 点 D 在线段 BC 上任意位置(但点 D，C 不重合)，四边形 CDEF 是平行四边形.
∵△ACD≌△CBF，
∴∠BCF=∠CAD，AD=CF.
∵△ADE 为等边三角形，
∴AD=DE，∠ADE=60°.
∴DE=CF.
∵∠ACD=∠ADE=60°，∠ADB=∠ADE+∠BDE，∠ADB=∠ACD+∠DAC，
∴60°+∠DAC=60°+∠BDE.
∴∠DAC=∠BDE.
∵∠BCF=∠DAC，
∴∠BDE=∠BCF，
∴DE//CF.
∵DE=CF，
∴四边形 CDEF 是平行四边形
解析
【分析】
(1) 要证明$△ACD≌△CBF$，已知$△ABC$是等边三角形，可得出$AC=BC$，$∠ACD=∠B=60°$，结合题目给出的$CD=BF$，满足全等三角形判定定理中的SAS条件，据此可证全等。
(2) 要使四边形$CDEF$是平行四边形，根据平行四边形的判定定理，需证明一组对边平行且相等。由(1)的全等可得$AD=CF$，$∠BCF=∠CAD$；又$△ADE$是等边三角形，故$AD=DE$，$∠ADE=60°$，从而$DE=CF$。接下来通过角的等量代换，证明$∠BDE=∠BCF$，得到$DE// CF$，进而得出四边形$CDEF$是平行四边形，推导后可知点$D$在线段$BC$上除$C$外的任意位置时，该结论均成立。
【解析】
(1) 证明：
∵$△ABC$为等边三角形，
∴$∠B=∠ACD=60°$，$AC=BC$。
在$△ACD$和$△CBF$中，
$\{\begin{array}{l} AC=BC,\\ ∠ACD=∠B,\\ CD=BF,\end{array} $
∴$△ACD≌△CBF(SAS)$。
(2) 解：点$D$在线段$BC$上任意位置（但点$D$，$C$不重合）时，四边形$CDEF$是平行四边形。
理由如下：
∵$△ACD≌△CBF$，
∴$∠BCF=∠CAD$，$AD=CF$。
∵$△ADE$为等边三角形，
∴$AD=DE$，$∠ADE=60°$。
∴$DE=CF$。
∵$∠ACD=∠ADE=60°$，$∠ADB=∠ADE+∠BDE$，$∠ADB=∠ACD+∠DAC$，
∴$60°+∠DAC=60°+∠BDE$，
∴$∠DAC=∠BDE$。
∵$∠BCF=∠DAC$，
∴$∠BDE=∠BCF$，
∴$DE// CF$。
又
∵$DE=CF$，
∴四边形$CDEF$是平行四边形。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) 点$D$在线段$BC$上任意位置（但点$D$，$C$不重合）时，四边形$CDEF$是平行四边形。
【知识点】
等边三角形性质，SAS证全等，平行四边形判定
【点评】
本题综合考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定，需要灵活运用各图形的性质和判定定理，通过角与边的等量代换完成推理，对逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明$△ACD≌△CBF$，已知$△ABC$是等边三角形，可得出$AC=BC$，$∠ACD=∠B=60°$，结合题目给出的$CD=BF$，满足全等三角形判定定理中的SAS条件，据此可证全等。
(2) 要使四边形$CDEF$是平行四边形，根据平行四边形的判定定理，需证明一组对边平行且相等。由(1)的全等可得$AD=CF$，$∠BCF=∠CAD$；又$△ADE$是等边三角形，故$AD=DE$，$∠ADE=60°$，从而$DE=CF$。接下来通过角的等量代换，证明$∠BDE=∠BCF$，得到$DE// CF$，进而得出四边形$CDEF$是平行四边形，推导后可知点$D$在线段$BC$上除$C$外的任意位置时，该结论均成立。
【解析】
(1) 证明：
∵$△ABC$为等边三角形，
∴$∠B=∠ACD=60°$，$AC=BC$。
在$△ACD$和$△CBF$中，
$\{\begin{array}{l} AC=BC,\\ ∠ACD=∠B,\\ CD=BF,\end{array} $
∴$△ACD≌△CBF(SAS)$。
(2) 解：点$D$在线段$BC$上任意位置（但点$D$，$C$不重合）时，四边形$CDEF$是平行四边形。
理由如下：
∵$△ACD≌△CBF$，
∴$∠BCF=∠CAD$，$AD=CF$。
∵$△ADE$为等边三角形，
∴$AD=DE$，$∠ADE=60°$。
∴$DE=CF$。
∵$∠ACD=∠ADE=60°$，$∠ADB=∠ADE+∠BDE$，$∠ADB=∠ACD+∠DAC$，
∴$60°+∠DAC=60°+∠BDE$，
∴$∠DAC=∠BDE$。
∵$∠BCF=∠DAC$，
∴$∠BDE=∠BCF$，
∴$DE// CF$。
又
∵$DE=CF$，
∴四边形$CDEF$是平行四边形。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) 点$D$在线段$BC$上任意位置（但点$D$，$C$不重合）时，四边形$CDEF$是平行四边形。
【知识点】
等边三角形性质，SAS证全等，平行四边形判定
【点评】
本题综合考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定，需要灵活运用各图形的性质和判定定理，通过角与边的等量代换完成推理，对逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
