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一、选择题
1. 下列方程组是二元一次方程组的是()。
A.$\begin{cases}x + y = 3, \\ z + x = 5\end{cases}$
B.$\begin{cases}x + y = 5, \\ \dfrac{1}{x} + y = 4\end{cases}$
C.$\begin{cases}x + y = 3, \\ xy = 2\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = y + 11, \\ -2x = y\end{cases}$
1. 下列方程组是二元一次方程组的是()。
A.$\begin{cases}x + y = 3, \\ z + x = 5\end{cases}$
B.$\begin{cases}x + y = 5, \\ \dfrac{1}{x} + y = 4\end{cases}$
C.$\begin{cases}x + y = 3, \\ xy = 2\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = y + 11, \\ -2x = y\end{cases}$
答案
D
解析
二元一次方程组需要满足以下条件：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，并且是整式方程。
A选项：含有三个未知数$x$，$y$，$z$，不满足二元一次方程组的定义。
B选项：方程$\frac{1}{x}+y = 4$中$\frac{1}{x}$不是一次项，不满足二元一次方程组的定义。
C选项：方程$xy = 2$中$xy$次数是$2$，不满足二元一次方程组的定义。
D选项：含有两个未知数$x$，$y$，并且含有未知数的项的次数都是$1$，是整式方程，满足二元一次方程组的定义。
A选项：含有三个未知数$x$，$y$，$z$，不满足二元一次方程组的定义。
B选项：方程$\frac{1}{x}+y = 4$中$\frac{1}{x}$不是一次项，不满足二元一次方程组的定义。
C选项：方程$xy = 2$中$xy$次数是$2$，不满足二元一次方程组的定义。
D选项：含有两个未知数$x$，$y$，并且含有未知数的项的次数都是$1$，是整式方程，满足二元一次方程组的定义。
2. 若$\begin{cases}x = 2, \\ y = 3\end{cases}$是方程$mx - 4y = 6$的一个解，则$m$的值是( )。
A.$-9$
B.$-3$
C.$3$
D.$9$
A.$-9$
B.$-3$
C.$3$
D.$9$
答案
D
解析
将$\begin{cases}x = 2, \\ y = 3\end{cases}$代入方程$mx - 4y = 6$中，得$2m - 4 × 3 = 6$，即$2m - 12 = 6$，移项可得$2m = 18$，解得$m = 9$。
3. 以下解方程组$\begin{cases}m - n = 2,① \\ 2m + n = -5②\end{cases}$的步骤正确的是( )。
A.代入法消去$m$，由①，得$m = 2 - n$
B.代入法消去$n$，由②，得$n = 2m - 5$
C.加减法消去$n$，①+②，得$3m = -3$
D.加减法消去$m$，①×2 - ②，得$-3n = -1$
A.代入法消去$m$，由①，得$m = 2 - n$
B.代入法消去$n$，由②，得$n = 2m - 5$
C.加减法消去$n$，①+②，得$3m = -3$
D.加减法消去$m$，①×2 - ②，得$-3n = -1$
答案
C
解析
A选项：由$m - n = 2$，得$m = 2 + n$，而非$m = 2 - n$，所以A选项错误；
B选项：由$2m + n = - 5$，得$n = - 2m - 5$，而非$n = 2m - 5$，所以B选项错误；
C选项：$① + ②$，即$(m - n)+(2m + n)=2+( - 5)$，得$3m=-3$，所以C选项正确；
D选项：$①×2 - ②$，即$2(m - n)-(2m + n)=2×2-( - 5)$，$2m-2n - 2m - n = 4 + 5$，得$-3n = 9$，而非$-3n = - 1$，所以D选项错误。
B选项：由$2m + n = - 5$，得$n = - 2m - 5$，而非$n = 2m - 5$，所以B选项错误；
C选项：$① + ②$，即$(m - n)+(2m + n)=2+( - 5)$，得$3m=-3$，所以C选项正确；
D选项：$①×2 - ②$，即$2(m - n)-(2m + n)=2×2-( - 5)$，$2m-2n - 2m - n = 4 + 5$，得$-3n = 9$，而非$-3n = - 1$，所以D选项错误。
4. 已知$x$，$y$满足方程组$\begin{cases}2x + 3y = 3, \\ 3x + 2y = 7,\end{cases}$则$x + y$的值为( )。
A.$-1$
B.$1$
C.$2$
D.$3$
A.$-1$
B.$1$
C.$2$
D.$3$
答案
C
解析
已知方程组$\begin{cases}2x + 3y = 3 \quad (1) \\ 3x + 2y = 7 \quad (2) \end{cases}$
将方程$(1)$与方程$(2)$相加，得：
$2x + 3y + 3x + 2y = 3 + 7$
$5x + 5y = 10$
两边同时除以$5$，得：
$x + y = 2$
将方程$(1)$与方程$(2)$相加，得：
$2x + 3y + 3x + 2y = 3 + 7$
$5x + 5y = 10$
两边同时除以$5$，得：
$x + y = 2$
5. 某学校新增一些洗手杀菌装置，需要$2m$和$1m$两种长度的水管，现将一根长$7m$的水管截成这两种长度(两种都有)的几根水管，如果没有剩余，那么截法的种类有()。
A.$1$种
B.$2$种
C.$3$种
D.$4$种
A.$1$种
B.$2$种
C.$3$种
D.$4$种
答案
C
解析
设截成$2m$的水管$x$根，截成$1m$的水管$y$根，根据题意得：
$2x + y = 7$
因为两种水管都有，故$x ≥ 1, y ≥ 1$，且$x,y$为正整数。
将方程变形为：$y = 7 - 2x$
根据$y ≥ 1$，得：$7 - 2x ≥ 1$，即$x ≤ 3$
所以$x$的可能取值为$1,2,3$
当$x=1$时，$y=7-2×1=5$
当$x=2$时，$y=7-2×2=3$
当$x=3$时，$y=7-2×3=1$
因此，共有3种截法。
$2x + y = 7$
因为两种水管都有，故$x ≥ 1, y ≥ 1$，且$x,y$为正整数。
将方程变形为：$y = 7 - 2x$
根据$y ≥ 1$，得：$7 - 2x ≥ 1$，即$x ≤ 3$
所以$x$的可能取值为$1,2,3$
当$x=1$时，$y=7-2×1=5$
当$x=2$时，$y=7-2×2=3$
当$x=3$时，$y=7-2×3=1$
因此，共有3种截法。
6. (2024甘孜)我国古代数学名著《九章算术》记载了一道题，大意是：几个人合买一件物品，每人出$8$元，剩余$3$元；每人出$7$元，还差$4$元。设有$x$人，该物品价值$y$元，根据题意，可列出的方程组是()。
A.$\begin{cases}8x = y + 3, \\ 7x = y - 4\end{cases}$
B.$\begin{cases}8x = y + 3, \\ 7x = y + 4\end{cases}$
C.$\begin{cases}8x = y - 3, \\ 7x = y - 4\end{cases}$
D.$\begin{cases}8x = y - 3, \\ 7x = y + 4\end{cases}$
A.$\begin{cases}8x = y + 3, \\ 7x = y - 4\end{cases}$
B.$\begin{cases}8x = y + 3, \\ 7x = y + 4\end{cases}$
C.$\begin{cases}8x = y - 3, \\ 7x = y - 4\end{cases}$
D.$\begin{cases}8x = y - 3, \\ 7x = y + 4\end{cases}$
答案
A
解析
根据题意，每人出8元，剩余3元，可得$8x = y + 3$；每人出7元，还差4元，可得$7x = y - 4$，所以方程组为$\begin{cases}8x = y + 3 \\ 7x = y - 4\end{cases}$。
二、填空题
7. 若方程$(a + 3)x^{|a| - 2} + 3y = 1$是关于$x$，$y$的二元一次方程，则$a$的值为。
7. 若方程$(a + 3)x^{|a| - 2} + 3y = 1$是关于$x$，$y$的二元一次方程，则$a$的值为。
答案
要使方程$(a + 3)x^{|a| - 2} + 3y = 1$是关于$x$，$y$的二元一次方程，需满足以下条件：
1. 未知数$x$的次数为$1$，即$|a| - 2 = 1$，解得$|a| = 3$，$a = \pm 3$。
2. 未知数$x$的系数不为$0$，即$a + 3 ≠ 0$，解得$a ≠ -3$。
综上，$a = 3$。
3
1. 未知数$x$的次数为$1$，即$|a| - 2 = 1$，解得$|a| = 3$，$a = \pm 3$。
2. 未知数$x$的系数不为$0$，即$a + 3 ≠ 0$，解得$a ≠ -3$。
综上，$a = 3$。
3
8. 若$\sqrt{2x - y}$与$\vert x + 2y - 5\vert$互为相反数，则$(x - y)^{2027} =$。
答案
$-1$（（若选项为数字形式则填对应数字答案的符号，本题直接给出数字答案） 。
解析
因为 $\sqrt{2x - y}$ 与 $|x + 2y - 5|$ 互为相反数，根据非负数性质得：
$\sqrt{2x - y} + |x + 2y - 5| = 0$，
由于 $\sqrt{2x - y} ≥ 0$ 和 $|x + 2y - 5| ≥ 0$，所以：
$\sqrt{2x - y} = 0$，
$|x + 2y - 5| = 0$，
从 $\sqrt{2x - y} = 0$ 可得：
$2x - y = 0$，
从 $|x + 2y - 5| = 0$ 可得：
$x + 2y - 5 = 0$，
联立上述两个方程：
$\begin{cases}2x - y = 0, \\x + 2y - 5 = 0.\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}x = 1, \\y = 2.\end{cases}$
代入 $(x - y)^{2027}$ 得：
$(1 - 2)^{2027} = (-1)^{2027} = -1$。
$\sqrt{2x - y} + |x + 2y - 5| = 0$，
由于 $\sqrt{2x - y} ≥ 0$ 和 $|x + 2y - 5| ≥ 0$，所以：
$\sqrt{2x - y} = 0$，
$|x + 2y - 5| = 0$，
从 $\sqrt{2x - y} = 0$ 可得：
$2x - y = 0$，
从 $|x + 2y - 5| = 0$ 可得：
$x + 2y - 5 = 0$，
联立上述两个方程：
$\begin{cases}2x - y = 0, \\x + 2y - 5 = 0.\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}x = 1, \\y = 2.\end{cases}$
代入 $(x - y)^{2027}$ 得：
$(1 - 2)^{2027} = (-1)^{2027} = -1$。
9. (新定义)对$x$，$y$定义一种新运算▲，规定：$x▲y = ax + by$(其中$a$，$b$均为非零常数)，例如，$1▲0 = a$。已知$1▲1 = 5$，$(-1)▲1 = -1$，则$a - 2b =$。
答案
$-1$（（题中为横线，没有选项，答案填写$-1$即可。）
解析
根据题意，新运算的定义，有：
$x▲y = ax + by$，
由已知条件：
$1▲1 = a + b = 5$，
$(-1)▲1 = -a + b = -1$，
得到方程组：
$\begin{cases}a + b = 5, \\-a + b = -1.\end{cases}$
将两个方程相加，得到：
$2b = 4 \implies b = 2$，
将 $b = 2$ 代入第一个方程，得到：
$a + 2 = 5 \implies a = 3$，
所以，$a - 2b = 3 - 2 × 2 = -1$。
$x▲y = ax + by$，
由已知条件：
$1▲1 = a + b = 5$，
$(-1)▲1 = -a + b = -1$，
得到方程组：
$\begin{cases}a + b = 5, \\-a + b = -1.\end{cases}$
将两个方程相加，得到：
$2b = 4 \implies b = 2$，
将 $b = 2$ 代入第一个方程，得到：
$a + 2 = 5 \implies a = 3$，
所以，$a - 2b = 3 - 2 × 2 = -1$。
10. 解方程组$\begin{cases}ax + by = 2, \\ cx - 7y = 8\end{cases}$时，一学生把$c$看错得到的解为$\begin{cases}x = -2, \\ y = 2,\end{cases}$而正确的解是$\begin{cases}x = 3, \\ y = -2,\end{cases}$那么$a + b + c =$ ______ 。
答案
7
解析
将$\begin{cases}x=-2\\y=2\end{cases}$和$\begin{cases}x=3\\y=-2\end{cases}$分别代入$ax + by = 2$，得$\begin{cases}-2a + 2b = 2\\3a - 2b = 2\end{cases}$，两式相加得$a = 4$，代入$-2×4 + 2b = 2$得$b = 5$。将$\begin{cases}x=3\\y=-2\end{cases}$代入$cx - 7y = 8$，得$3c + 14 = 8$，解得$c = -2$。则$a + b + c = 4 + 5 - 2 = 7$。
三、解答题
11. 解下列方程组：
(1)$\begin{cases}2(x + 1) = y + 1,① \\ 5(y - 1) = 3(x + 7);②\end{cases}$
(2)$\begin{cases}\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} = 13,① \\ \dfrac{x}{3} - \dfrac{y}{4} = 3.②\end{cases}$
11. 解下列方程组：
(1)$\begin{cases}2(x + 1) = y + 1,① \\ 5(y - 1) = 3(x + 7);②\end{cases}$
(2)$\begin{cases}\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} = 13,① \\ \dfrac{x}{3} - \dfrac{y}{4} = 3.②\end{cases}$
答案
(1)
由①式 $2(x + 1) = y + 1$ 可得：
$2x + 2 = y + 1$
$2x - y = -1$ ③
由②式 $5(y - 1) = 3(x + 7)$ 可得：
$5y - 5 = 3x + 21$
$5y - 3x = 26$ ④
将③$× 5$后与④相加，得：
$10x - 5y + 5y - 3x = -5 + 26$
$7x = 21$
$x = 3$
将 $x = 3$ 代入③式，得：
$2×3 - y = -1$
$y = 7$
所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 3, \\ y = 7. \end{cases}$
(2)
由①式 $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 13$，两边同时乘以$6$得：
$3x + 2y = 78$ ⑤
由②式 $\frac{x}{3} - \frac{y}{4} = 3$，两边同时乘以$12$得：
$4x - 3y = 36$ ⑥
将⑤$× 3$ + ⑥$× 2$，得：
$9x + 6y + 8x - 6y = 234 + 72$
$17x = 306$
$x = 18$
将 $x = 18$ 代入⑤式，得：
$3×18 + 2y = 78$
$2y = 24$
$y = 12$
所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 18, \\ y = 12. \end{cases}$
由①式 $2(x + 1) = y + 1$ 可得：
$2x + 2 = y + 1$
$2x - y = -1$ ③
由②式 $5(y - 1) = 3(x + 7)$ 可得：
$5y - 5 = 3x + 21$
$5y - 3x = 26$ ④
将③$× 5$后与④相加，得：
$10x - 5y + 5y - 3x = -5 + 26$
$7x = 21$
$x = 3$
将 $x = 3$ 代入③式，得：
$2×3 - y = -1$
$y = 7$
所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 3, \\ y = 7. \end{cases}$
(2)
由①式 $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 13$，两边同时乘以$6$得：
$3x + 2y = 78$ ⑤
由②式 $\frac{x}{3} - \frac{y}{4} = 3$，两边同时乘以$12$得：
$4x - 3y = 36$ ⑥
将⑤$× 3$ + ⑥$× 2$，得：
$9x + 6y + 8x - 6y = 234 + 72$
$17x = 306$
$x = 18$
将 $x = 18$ 代入⑤式，得：
$3×18 + 2y = 78$
$2y = 24$
$y = 12$
所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 18, \\ y = 12. \end{cases}$
