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【变式3】若$\sqrt[3]{3x - 7}$和$\sqrt[3]{3y + 4}$互为相反数，求 $ x + y $ 的立方根。
答案
因为$\sqrt[3]{3x - 7}$和$\sqrt[3]{3y + 4}$互为相反数，所以$\sqrt[3]{3x - 7}=-\sqrt[3]{3y + 4}$。
两边同时立方，得$3x - 7 = - (3y + 4)$。
去括号，得$3x - 7 = -3y - 4$。
移项，得$3x + 3y = 7 - 4$。
合并同类项，得$3(x + y) = 3$。
两边同时除以 3，得$x + y = 1$。
所以$x + y$的立方根是$\sqrt[3]{1}=1$。
结论：1
两边同时立方，得$3x - 7 = - (3y + 4)$。
去括号，得$3x - 7 = -3y - 4$。
移项，得$3x + 3y = 7 - 4$。
合并同类项，得$3(x + y) = 3$。
两边同时除以 3，得$x + y = 1$。
所以$x + y$的立方根是$\sqrt[3]{1}=1$。
结论：1
1. $ 64 $ 的立方根是()。
A.$ -8 $
B.$ \pm 4 $
C.$ 4 $
D.$ -4 $
A.$ -8 $
B.$ \pm 4 $
C.$ 4 $
D.$ -4 $
答案
C
解析
根据立方根的定义，若 $ x^3 = a $，则 $ x $ 是 $ a $ 的立方根。
因为 $ 4^3 = 64 $，所以 $ 64 $ 的立方根是 $ 4 $。
2. $ -27 $ 的立方根与 $ 4 $ 的平方根的和是()。
A.$ -1 $
B.$ -5 $
C.$ -1 $ 或 $ -5 $
D.$ \pm 5 $ 或 $ \pm 1 $
A.$ -1 $
B.$ -5 $
C.$ -1 $ 或 $ -5 $
D.$ \pm 5 $ 或 $ \pm 1 $
答案
C
解析
首先，求$ -27$ 的立方根，因为$(-3)^3 = -27$，所以$ -27$ 的立方根为$ -3$。
其次，求$4$ 的平方根，因为$( \pm 2)^2 = 4$，所以$4$ 的平方根为$\pm 2$。
分两种情况计算和：
当$4$ 的平方根取$2$ 时，$-3 + 2 = -1$；
当$4$ 的平方根取$-2$ 时，$-3 + (-2) = -5$。
所以$ -27$ 的立方根与$4$ 的平方根的和是$ -1$ 或$ -5$。
其次，求$4$ 的平方根，因为$( \pm 2)^2 = 4$，所以$4$ 的平方根为$\pm 2$。
分两种情况计算和：
当$4$ 的平方根取$2$ 时，$-3 + 2 = -1$；
当$4$ 的平方根取$-2$ 时，$-3 + (-2) = -5$。
所以$ -27$ 的立方根与$4$ 的平方根的和是$ -1$ 或$ -5$。
3. 将一块体积为 $ 64 \mathrm{ cm}^3 $ 的正方体锯成 $ 8 $ 块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体木块的棱长为$\mathrm{cm}$。
答案
$2$
解析
原正方体体积为$64\mathrm{cm}^3$，将其锯成$8$块同样大小的小正方体，则每个小正方体体积为$64 ÷ 8 = 8 \mathrm{cm}^3$。
根据立方根定义，小正方体棱长为$\sqrt[3]{8} = 2\mathrm{cm}$。
根据立方根定义，小正方体棱长为$\sqrt[3]{8} = 2\mathrm{cm}$。
4. 已知 $ a $ 的平方等于 $ 4 $，$ b $ 的算术平方根等于 $ 4 $，$ c $ 的立方等于 $ -8 $，$ d $ 的立方根等于 $ 1 $。
(1)求 $ a,b,c,d $ 的值；
(2)求$\sqrt{\frac{b}{d}}+c - a$的值。
(1)求 $ a,b,c,d $ 的值；
(2)求$\sqrt{\frac{b}{d}}+c - a$的值。
答案
(1)
因为$a$的平方等于$4$，根据平方根的定义，若$x^2 = m$，则$x=\pm\sqrt{m}$，所以$a = \pm\sqrt{4}=\pm 2$；
因为$b$的算术平方根等于$4$，根据算术平方根的定义，若$\sqrt{x}=n$（$n≥0$），则$x = n^2$，所以$b = 4^2 = 16$；
因为$c$的立方等于$-8$，根据立方根的定义，若$x^3 = n$，则$x=\sqrt[3]{n}$，所以$c=\sqrt[3]{-8}=- 2$；
因为$d$的立方根等于$1$，根据立方根的定义，所以$d = 1^3 = 1$。
(2)
当$a = 2$时：
$\sqrt{\frac{b}{d}}+c - a=\sqrt{\frac{16}{1}}+(-2)-2$
$=\sqrt{16}-2 - 2$
$=4-2 - 2$
$=0$
当$a = - 2$时：
$\sqrt{\frac{b}{d}}+c - a=\sqrt{\frac{16}{1}}+(-2)-(-2)$
$=\sqrt{16}-2 + 2$
$=4-2 + 2$
$=4$
综上，(1)$a=\pm2$，$b = 16$，$c=-2$，$d = 1$；(2)值为$0$或$4$。
因为$a$的平方等于$4$，根据平方根的定义，若$x^2 = m$，则$x=\pm\sqrt{m}$，所以$a = \pm\sqrt{4}=\pm 2$；
因为$b$的算术平方根等于$4$，根据算术平方根的定义，若$\sqrt{x}=n$（$n≥0$），则$x = n^2$，所以$b = 4^2 = 16$；
因为$c$的立方等于$-8$，根据立方根的定义，若$x^3 = n$，则$x=\sqrt[3]{n}$，所以$c=\sqrt[3]{-8}=- 2$；
因为$d$的立方根等于$1$，根据立方根的定义，所以$d = 1^3 = 1$。
(2)
当$a = 2$时：
$\sqrt{\frac{b}{d}}+c - a=\sqrt{\frac{16}{1}}+(-2)-2$
$=\sqrt{16}-2 - 2$
$=4-2 - 2$
$=0$
当$a = - 2$时：
$\sqrt{\frac{b}{d}}+c - a=\sqrt{\frac{16}{1}}+(-2)-(-2)$
$=\sqrt{16}-2 + 2$
$=4-2 + 2$
$=4$
综上，(1)$a=\pm2$，$b = 16$，$c=-2$，$d = 1$；(2)值为$0$或$4$。
1. $ -8 $ 的立方根是()。
A.$ -2 $
B.$ 2 $
C.$ \pm 2 $
D.不存在
A.$ -2 $
B.$ 2 $
C.$ \pm 2 $
D.不存在
答案
A
解析
根据立方根的定义，若 $ x^3 = a$，则 $ x$ 是 $ a$ 的立方根。
因为 $(-2)^3 = -8$，所以 $-8$ 的立方根是 $-2$。
2. 已知$\sqrt[3]{1 - a}=-2$，则 $ a $ 的值为()。
A.$ 9 $
B.$ \pm 9 $
C.$ \pm 3 $
D.$ 3 $
A.$ 9 $
B.$ \pm 9 $
C.$ \pm 3 $
D.$ 3 $
答案
A
解析
根据立方根的定义，若$\sqrt[3]{1 - a} = -2$，则$1 - a = (-2)^3$。
计算得$1 - a = -8$，解得$a = 1 + 8 = 9$。
计算得$1 - a = -8$，解得$a = 1 + 8 = 9$。
3. 估计 $ 68 $ 的立方根的大小在()。
A.$ 2 $ 与 $ 3 $ 之间
B.$ 3 $ 与 $ 4 $ 之间
C.$ 4 $ 与 $ 5 $ 之间
D.$ 5 $ 与 $ 6 $ 之间
A.$ 2 $ 与 $ 3 $ 之间
B.$ 3 $ 与 $ 4 $ 之间
C.$ 4 $ 与 $ 5 $ 之间
D.$ 5 $ 与 $ 6 $ 之间
答案
C
解析
首先，找出两个相邻的整数，它们的立方分别小于和大于$68$，
因为$4^3 = 64$，$5^3 = 125$，
可以看到，$64 ＜ 68 ＜ 125$，
所以，可以推断出$ 4 ＜ \sqrt[3]{68} ＜ 5$。
因为$4^3 = 64$，$5^3 = 125$，
可以看到，$64 ＜ 68 ＜ 125$，
所以，可以推断出$ 4 ＜ \sqrt[3]{68} ＜ 5$。
4. 计算$\sqrt[3]{27}= $。
答案
3
解析
根据立方根的定义，若$x^3 = a$，则$x$叫做$a$的立方根。
因为$3^3 = 27$，所以$\sqrt[3]{27}=3$。
因为$3^3 = 27$，所以$\sqrt[3]{27}=3$。
5. 如果$\sqrt{16}$的算术平方根是 $ m $，$ -64 $ 的立方根是 $ n $，那么 $ m - n = $。
答案
6
解析
首先，求$\sqrt{16}$的值，由于$\sqrt{16} = 4$。
接着，求4的算术平方根，即$m = \sqrt{4} = 2$。
然后，求$-64$的立方根，即$n = \sqrt[3]{-64} = -4$。
最后，计算$m - n = 2 - (-4) = 2 + 4 = 6$。
接着，求4的算术平方根，即$m = \sqrt{4} = 2$。
然后，求$-64$的立方根，即$n = \sqrt[3]{-64} = -4$。
最后，计算$m - n = 2 - (-4) = 2 + 4 = 6$。
6. 我们知道魔方可以看作是一个正方体。如图，有一个体积为 $ 64 \mathrm{ cm}^3 $ 的魔方，则该魔方的棱长为$\mathrm{cm}$。
答案
4
解析
设魔方的棱长为 $ x $ cm，根据正方体的体积公式，有 $ x^3 = 64 $。为了求出棱长 $ x $，需要计算 $ 64 $ 的立方根，即 $ x = \sqrt[3]{64} $。因为 $ 64 = 4 × 4 × 4 $，所以 $ \sqrt[3]{64} = 4 $。因此，魔方的棱长为 $ 4 $ cm。
7. 求下列各数的立方根：
(1)$-0.729$； (2)$-3\frac{3}{8}$。
(1)$-0.729$； (2)$-3\frac{3}{8}$。
答案
(1)设$-0.729$的立方根为$x$，则$x^{3} = - 0.729$。
因为$( - 0.9)^{3}=-0.729$，所以$x = - 0.9$，即$\sqrt[3]{-0.729}=-0.9$。
(2)先将$-3\frac{3}{8}$化为假分数：$-3\frac{3}{8}=-\frac{27}{8}$。
设$-\frac{27}{8}$的立方根为$y$，则$y^{3}=-\frac{27}{8}$。
因为$(-\frac{3}{2})^{3}=-\frac{27}{8}$，所以$y = -\frac{3}{2}$，即$\sqrt[3]{-3\frac{3}{8}}=-\frac{3}{2}$。
因为$( - 0.9)^{3}=-0.729$，所以$x = - 0.9$，即$\sqrt[3]{-0.729}=-0.9$。
(2)先将$-3\frac{3}{8}$化为假分数：$-3\frac{3}{8}=-\frac{27}{8}$。
设$-\frac{27}{8}$的立方根为$y$，则$y^{3}=-\frac{27}{8}$。
因为$(-\frac{3}{2})^{3}=-\frac{27}{8}$，所以$y = -\frac{3}{2}$，即$\sqrt[3]{-3\frac{3}{8}}=-\frac{3}{2}$。
