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8.2 立方根
课前预习
1. 立方根
(1)定义：一般地，如果一个数 $ x $ 的等于 $ a $，即 $ x^{3}=a $，那么这个数 $ x $ 叫作 $ a $ 的立方根或三次方根；
(2)表示方法：数 $ a $ 的立方根，记为“$\sqrt[3]{a}$”，读作“三次根号 $ a $”，其中 $ a $ 是，$ 3 $ 是，不能省略。
2. 开立方
求一个数的的运算，叫作开立方，开立方与互为逆运算。
3. 立方根的性质
(1)正数的立方根是，负数的立方根是，$ 0 $ 的立方根是；
(2)$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$。
4. 平方根与立方根的区别
(1)正数的平方根有个，而正数的立方根只有个；
(2)平方根只有非负数才有，而立方根任何数都有；
(3)在用符号表示平方根时，根指数 $ 2 $ 可以省略不写，而用符号表示立方根时，根指数 $ 3 $ 不能省略；
(4)互为相反数的两个数的立方根互为。
课前预习
1. 立方根
(1)定义：一般地，如果一个数 $ x $ 的等于 $ a $，即 $ x^{3}=a $，那么这个数 $ x $ 叫作 $ a $ 的立方根或三次方根；
(2)表示方法：数 $ a $ 的立方根，记为“$\sqrt[3]{a}$”，读作“三次根号 $ a $”，其中 $ a $ 是，$ 3 $ 是，不能省略。
2. 开立方
求一个数的的运算，叫作开立方，开立方与互为逆运算。
3. 立方根的性质
(1)正数的立方根是，负数的立方根是，$ 0 $ 的立方根是；
(2)$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$。
4. 平方根与立方根的区别
(1)正数的平方根有个，而正数的立方根只有个；
(2)平方根只有非负数才有，而立方根任何数都有；
(3)在用符号表示平方根时，根指数 $ 2 $ 可以省略不写，而用符号表示立方根时，根指数 $ 3 $ 不能省略；
(4)互为相反数的两个数的立方根互为。
答案
1. (1)立方；(2)被开方数；根指数
2. 立方根；立方
3. (1)正数；负数；$0$
4. (1)两；一；(4)相反数
2. 立方根；立方
3. (1)正数；负数；$0$
4. (1)两；一；(4)相反数
【例1】求下列各数的立方根：
(1)$-1$； (2)$-343$； (3)$\frac{8}{125}$。
易错警示
求一个数的立方根要注意
(1)立方根的根指数不能省略；
(2)任何数都有立方根，并且只有一个，其中立方根是它本身的数有 $ 0,\pm 1 $；
(3)求一个带分数的立方根时，先将带分数化为假分数；
(4)熟记一些数的立方，如 $ 1∼ 10 $ 的立方，有助于求立方根。
(1)$-1$； (2)$-343$； (3)$\frac{8}{125}$。
易错警示
求一个数的立方根要注意
(1)立方根的根指数不能省略；
(2)任何数都有立方根，并且只有一个，其中立方根是它本身的数有 $ 0,\pm 1 $；
(3)求一个带分数的立方根时，先将带分数化为假分数；
(4)熟记一些数的立方，如 $ 1∼ 10 $ 的立方，有助于求立方根。
答案
(1) 因为 $(-1)^3 = -1$，所以 $-1$ 的立方根是 $-1$，即 $\sqrt[3]{-1} = -1$。
(2) 因为 $(-7)^3 = -343$，所以 $-343$ 的立方根是 $-7$，即 $\sqrt[3]{-343} = -7$。
(3) 因为 $(\frac{2}{5})^3 = \frac{8}{125}$，所以 $\frac{8}{125}$ 的立方根是 $\frac{2}{5}$，即 $\sqrt[3]{\frac{8}{125}} = \frac{2}{5}$。
(2) 因为 $(-7)^3 = -343$，所以 $-343$ 的立方根是 $-7$，即 $\sqrt[3]{-343} = -7$。
(3) 因为 $(\frac{2}{5})^3 = \frac{8}{125}$，所以 $\frac{8}{125}$ 的立方根是 $\frac{2}{5}$，即 $\sqrt[3]{\frac{8}{125}} = \frac{2}{5}$。
【变式1】下列说法中，正确的是()。
A.$ 9 $ 的立方根是 $ \pm 3 $
B.$ -7 $ 没有立方根
C.$ -\sqrt[3]{-8}=-2 $
D.一个数的立方根与被开方数同号
A.$ 9 $ 的立方根是 $ \pm 3 $
B.$ -7 $ 没有立方根
C.$ -\sqrt[3]{-8}=-2 $
D.一个数的立方根与被开方数同号
答案
D
解析
A选项中9的立方根为$\sqrt[3]{9}$，并不是$\pm3$，该选项错误；
B选项中任何实数都有立方根，所以$-7$的立方根为$\sqrt[3]{-7}$，该选项错误；
C选项中$-\sqrt[3]{-8} = -(-2) = 2$，而不是$-2$，该选项错误；
D选项中正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，零的立方根为零，因此立方根与被开方数同号，该选项正确。
B选项中任何实数都有立方根，所以$-7$的立方根为$\sqrt[3]{-7}$，该选项错误；
C选项中$-\sqrt[3]{-8} = -(-2) = 2$，而不是$-2$，该选项错误；
D选项中正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，零的立方根为零，因此立方根与被开方数同号，该选项正确。
【变式2】(新定义)用“☆”表示一种新运算：对于任意正实数 $ a,b $，都有 $ a☆b=\sqrt[3]{b}-a $，例如，$ 4☆8=\sqrt[3]{8}-4=-2 $，那么 $ 15☆(-27)= $。
答案
$-18$（或具体框内填 -18 的形式，依题目要求）。
解析
根据新运算的定义，对于任意正实数 $a$ 和 $b$，有 $a☆b = \sqrt[3]{b} - a$。
在此题中，$a = 15$，$b = -27$，所以：
$15☆(-27) = \sqrt[3]{-27} - 15$，
因为 $\sqrt[3]{-27} = -3$，所以：
$15☆(-27) = -3 - 15 = -18$。
在此题中，$a = 15$，$b = -27$，所以：
$15☆(-27) = \sqrt[3]{-27} - 15$，
因为 $\sqrt[3]{-27} = -3$，所以：
$15☆(-27) = -3 - 15 = -18$。
【例2】观察下列式子：
①$\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{-8}=2+(-2)=0$；
②$\sqrt[3]{1}+\sqrt[3]{-1}=1+(-1)=0$；
③$\sqrt[3]{1000}+\sqrt[3]{-1000}=10+(-10)=0$；
④$\sqrt[3]{\frac{1}{27}}+\sqrt[3]{-\frac{1}{27}}=\frac{1}{3}+(-\frac{1}{3})=0$。
根据上述等式反映的规律，回答如下问题：
(1)根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：；
(2)由等式①②③④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数 $ a,b $，若，则$\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}=0$，反之也成立；
(3)根据(2)中的结论，解答问题：若$\sqrt[3]{6 - 2x}$与$\sqrt[3]{x + 1}$的值互为相反数，求 $ x $ 的值。
①$\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{-8}=2+(-2)=0$；
②$\sqrt[3]{1}+\sqrt[3]{-1}=1+(-1)=0$；
③$\sqrt[3]{1000}+\sqrt[3]{-1000}=10+(-10)=0$；
④$\sqrt[3]{\frac{1}{27}}+\sqrt[3]{-\frac{1}{27}}=\frac{1}{3}+(-\frac{1}{3})=0$。
根据上述等式反映的规律，回答如下问题：
(1)根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：；
(2)由等式①②③④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数 $ a,b $，若，则$\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}=0$，反之也成立；
(3)根据(2)中的结论，解答问题：若$\sqrt[3]{6 - 2x}$与$\sqrt[3]{x + 1}$的值互为相反数，求 $ x $ 的值。
答案
(1)$\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{-27}=3+(-3)=0$（答案不唯一）
(2)$a+b=0$
(3)因为$\sqrt[3]{6 - 2x}$与$\sqrt[3]{x + 1}$互为相反数，所以$\sqrt[3]{6 - 2x}+\sqrt[3]{x + 1}=0$。由(2)的结论可知$6 - 2x + x + 1=0$，解得$x=7$。
(2)$a+b=0$
(3)因为$\sqrt[3]{6 - 2x}$与$\sqrt[3]{x + 1}$互为相反数，所以$\sqrt[3]{6 - 2x}+\sqrt[3]{x + 1}=0$。由(2)的结论可知$6 - 2x + x + 1=0$，解得$x=7$。
