1. 在 Rt△ABC 中,∠ABC= 90°,AB= 4,AC= 5,则 sin A 的值为( )
A.$\frac{4}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{4}{3}$
A.$\frac{4}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{4}{3}$
答案
B
解析
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，AC=5。
由勾股定理得：BC=$\sqrt{AC^2 - AB^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{25 - 16}=\sqrt{9}=3$。
sin A=$\frac{BC}{AC}=\frac{3}{5}$。
B
由勾股定理得：BC=$\sqrt{AC^2 - AB^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{25 - 16}=\sqrt{9}=3$。
sin A=$\frac{BC}{AC}=\frac{3}{5}$。
B
2. 如图,一辆小车沿倾斜角为 α 的斜坡向上行驶 13 m,已知 $\cos\alpha=\frac{12}{13}$,则小车上升的高度是( )
A.5 m
B.6 m
C.6.5 m
D.12 m
A.5 m
B.6 m
C.6.5 m
D.12 m
答案
A
解析
解：设小车上升的高度为$h$，水平移动的距离为$x$。
小车行驶的路程为斜边，长度为$13\ m$。
因为$\cos\alpha=\frac{x}{13}=\frac{12}{13}$，所以$x = 12\ m$。
由勾股定理得：$h=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=\sqrt{169 - 144}=\sqrt{25}=5\ m$。
A
小车行驶的路程为斜边，长度为$13\ m$。
因为$\cos\alpha=\frac{x}{13}=\frac{12}{13}$，所以$x = 12\ m$。
由勾股定理得：$h=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=\sqrt{169 - 144}=\sqrt{25}=5\ m$。
A
3. 如图,商用手扶梯 AB 的坡比为 $1:\sqrt{3}$,已知扶梯的长 AB 为 12 米,则小明乘坐扶梯从 B 处到 A 处上升的高度 AC 为( )
A.6 米
B.$6\sqrt{3}$米
C.12 米
D.$12\sqrt{3}$米
A.6 米
B.$6\sqrt{3}$米
C.12 米
D.$12\sqrt{3}$米
答案
A
解析
解：
∵商用手扶梯$AB$的坡比为$1:\sqrt{3}$，
$\therefore AC:BC = 1:\sqrt{3}$，设$AC = x$米，则$BC=\sqrt{3}x$米。
在$Rt\triangle ABC$中，$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
即$x^2+(\sqrt{3}x)^2 = 12^2$，
$x^2 + 3x^2=144$，
$4x^2 = 144$，
$x^2 = 36$，
解得$x = 6$（负值舍去）。
$\therefore AC=6$米。
答案：A
∵商用手扶梯$AB$的坡比为$1:\sqrt{3}$，
$\therefore AC:BC = 1:\sqrt{3}$，设$AC = x$米，则$BC=\sqrt{3}x$米。
在$Rt\triangle ABC$中，$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
即$x^2+(\sqrt{3}x)^2 = 12^2$，
$x^2 + 3x^2=144$，
$4x^2 = 144$，
$x^2 = 36$，
解得$x = 6$（负值舍去）。
$\therefore AC=6$米。
答案：A
4. 如图,△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点,则 cos∠ACB 等于( )
A.$\frac{4}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{\sqrt{10}}{10}$
A.$\frac{4}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{\sqrt{10}}{10}$
答案
D
解析
设正方形网格的边长为1，
由图可知，点A(0,0)，B(5,0)，C(1,3)，
则AC²=(1-0)²+(3-0)²=1+9=10，AC=$\sqrt{10}$，
BC²=(5-1)²+(0-3)²=16+9=25，BC=5，
AB²=(5-0)²+(0-0)²=25，AB=5，
在△ABC中，由余弦定理得：
cos∠ACB=$\frac{AC²+BC²-AB²}{2\cdot AC\cdot BC}$=$\frac{10+25-25}{2×\sqrt{10}×5}$=$\frac{10}{10\sqrt{10}}$=$\frac{1}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
D
由图可知，点A(0,0)，B(5,0)，C(1,3)，
则AC²=(1-0)²+(3-0)²=1+9=10，AC=$\sqrt{10}$，
BC²=(5-1)²+(0-3)²=16+9=25，BC=5，
AB²=(5-0)²+(0-0)²=25，AB=5，
在△ABC中，由余弦定理得：
cos∠ACB=$\frac{AC²+BC²-AB²}{2\cdot AC\cdot BC}$=$\frac{10+25-25}{2×\sqrt{10}×5}$=$\frac{10}{10\sqrt{10}}$=$\frac{1}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
D
5. 如图,为测量观光塔 AB 的高度,冬冬在坡比 i= 5:12 的斜坡 CD 的 D 点测得塔顶 A 的仰角为 52°,斜坡 CD 长为 26 米,C 到塔底 B 的水平距离为 9 米. 图中点 A,B,C,D 在同一平面内,则观光塔 AB 的高度约为( )(结果精确到 0.1 米,参考数据：sin 52°≈0.79,cos 52°≈0.62,tan 52°≈1.28)
A.10.5 米
B.16.1 米
C.20.7 米
D.32.2 米
A.10.5 米
B.16.1 米
C.20.7 米
D.32.2 米
答案
D
6. $2\sin 60^{\circ}-3\tan 30^{\circ}=$______.
答案
0
解析
$2\sin 60^{\circ}-3\tan 30^{\circ}$
$=2×\frac{\sqrt{3}}{2}-3×\frac{\sqrt{3}}{3}$
$=\sqrt{3}-\sqrt{3}$
$=0$
$=2×\frac{\sqrt{3}}{2}-3×\frac{\sqrt{3}}{3}$
$=\sqrt{3}-\sqrt{3}$
$=0$
7. 已知 $\tan(\alpha + 15^{\circ})= \sqrt{3}$,α＜75°,则 tanα 的值为______.
答案
1
解析
因为$\tan 60^{\circ}=\sqrt{3}$，且$\tan(\alpha + 15^{\circ}) = \sqrt{3}$，所以$\alpha + 15^{\circ}=60^{\circ}$，解得$\alpha=60^{\circ}-15^{\circ}=45^{\circ}$。则$\tan\alpha=\tan 45^{\circ}=1$。
1
1
8. 如图,海中有一个小岛 A,一艘轮船由西向东航行,在点 B 处测得小岛 A 位于它的东北方向,此时轮船与小岛相距 20 海里,继续航行至点 D 处,测得小岛 A 在它的北偏西 60°方向,此时轮船到小岛的距离 AD 为______海里.
答案
$20\sqrt{2}$
解析
过点A作AC⊥BD于点C。
在Rt△ABC中，∠ABC=45°，AB=20海里，
sin∠ABC=AC/AB，
AC=AB·sin45°=20×√2/2=10√2海里。
在Rt△ADC中，∠ADC=30°，AC=10√2海里，
sin∠ADC=AC/AD，
AD=AC/sin30°=10√2/(1/2)=20√2海里。
20√2
在Rt△ABC中，∠ABC=45°，AB=20海里，
sin∠ABC=AC/AB，
AC=AB·sin45°=20×√2/2=10√2海里。
在Rt△ADC中，∠ADC=30°，AC=10√2海里，
sin∠ADC=AC/AD，
AD=AC/sin30°=10√2/(1/2)=20√2海里。
20√2
