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3. 如图，在电路中，并联着2个自动控制的常用开关，只要其中有1个开关闭合，灯泡L就能正常工作.假定在某段时间内每个开关闭合的概率都是$\frac{1}{2}$，求在这段时间内灯泡L正常工作的概率.
答案
解：线路有4种等可能状态：$(S_{1}$闭，$S_{2}$闭)、$(S_{1}$闭，$S_{2}$开)、
$(S_{1}$开，$S_{2}$闭)、$(S_{1}$开，$S_{2}$开)
前3种状态都能使线路正常工作
∴P(线路正常工作$)=\frac 34$
$(S_{1}$开，$S_{2}$闭)、$(S_{1}$开，$S_{2}$开)
前3种状态都能使线路正常工作
∴P(线路正常工作$)=\frac 34$
解析
【解析】
先列出电路中开关的所有等可能状态，共4种：$(S_{1}$闭，$S_{2}$闭)、$(S_{1}$闭，$S_{2}$开)、$(S_{1}$开，$S_{2}$闭)、$(S_{1}$开，$S_{2}$开)，这4种状态是等可能出现的。
其中前3种状态下，至少有一个开关闭合，满足灯泡L正常工作的条件。
根据等可能事件的概率计算公式，可得灯泡L正常工作的概率为$\frac{3}{4}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{3}{4}}$
【知识点】
等可能事件概率计算、列举法求概率
【点评】
本题可通过列举法明确所有等可能事件，结合等可能事件概率公式求解，也可利用对立事件的概率计算简化过程，关键是准确识别符合灯泡正常工作的事件情况。
先列出电路中开关的所有等可能状态，共4种：$(S_{1}$闭，$S_{2}$闭)、$(S_{1}$闭，$S_{2}$开)、$(S_{1}$开，$S_{2}$闭)、$(S_{1}$开，$S_{2}$开)，这4种状态是等可能出现的。
其中前3种状态下，至少有一个开关闭合，满足灯泡L正常工作的条件。
根据等可能事件的概率计算公式，可得灯泡L正常工作的概率为$\frac{3}{4}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{3}{4}}$
【知识点】
等可能事件概率计算、列举法求概率
【点评】
本题可通过列举法明确所有等可能事件，结合等可能事件概率公式求解，也可利用对立事件的概率计算简化过程，关键是准确识别符合灯泡正常工作的事件情况。
4. 甲、乙两超市都举办“凡购物满100元可摸奖1次”的有奖酬宾活动.举办方在一个盒子里装有除颜色外都相同的2个红球和2个白球，摸奖者1次从中摸出2个球，根据摸到的球的颜色决定获得礼金券的金额(如下表).
| 甲超市 | | | |
| --- | --- | --- | --- |
| 球的颜色 | 两红 | 一红一白 | 两白 |
| 礼金券金额/元 | 10 | 5 | 10 |
| 乙超市 | | | |
| 球的颜色 | 两红 | 一红一白 | 两白 |
| 礼金券金额/元 | 5 | 10 | 5 |
(1) 摸奖1次，摸到2个红球、2个白球或1个红球和1个白球的概率分别是多少？
(2) 当参与摸奖的人数很多时，平均来说，摸奖1次，摸奖者在甲、乙两超市获得礼金券的金额分别是多少？
(3) 如果只考虑获得礼金券的平均金额，你会选择去哪家超市购物？
| 甲超市 | | | |
| --- | --- | --- | --- |
| 球的颜色 | 两红 | 一红一白 | 两白 |
| 礼金券金额/元 | 10 | 5 | 10 |
| 乙超市 | | | |
| 球的颜色 | 两红 | 一红一白 | 两白 |
| 礼金券金额/元 | 5 | 10 | 5 |
(1) 摸奖1次，摸到2个红球、2个白球或1个红球和1个白球的概率分别是多少？
(2) 当参与摸奖的人数很多时，平均来说，摸奖1次，摸奖者在甲、乙两超市获得礼金券的金额分别是多少？
(3) 如果只考虑获得礼金券的平均金额，你会选择去哪家超市购物？
答案
解：(1)一共有6种等可能的结果，两红有1种，一红一白有4种，两白有1种
∴P(摸到2个红球$)=\frac 16$，P(摸到2个白球$)=\frac 16$，
P(摸到1个红秋和1个白球$)=\frac 46=\frac 23$
(2)甲超市：$10×\frac 16+5×\frac 23+10×\frac 16=\frac {20}{3}($元)
乙超市：$5×\frac 16+10×\frac 23+5×\frac 16=\frac {25}{3}($元)
∴摸奖者在甲、乙两超市获得礼金券的金额分别是$\frac {20}{3}$元，$\frac {25}{3}$元
(3)会去乙超市购物
∴P(摸到2个红球$)=\frac 16$，P(摸到2个白球$)=\frac 16$，
P(摸到1个红秋和1个白球$)=\frac 46=\frac 23$
(2)甲超市：$10×\frac 16+5×\frac 23+10×\frac 16=\frac {20}{3}($元)
乙超市：$5×\frac 16+10×\frac 23+5×\frac 16=\frac {25}{3}($元)
∴摸奖者在甲、乙两超市获得礼金券的金额分别是$\frac {20}{3}$元，$\frac {25}{3}$元
(3)会去乙超市购物
解析
【解析】
(1) 把2个红球记为红₁、红₂，2个白球记为白₁、白₂，从4个球中摸出2个球的所有等可能结果为：（红₁，红₂）、（红₁，白₁）、（红₁，白₂）、（红₂，白₁）、（红₂，白₂）、（白₁，白₂），共6种。
其中摸到2个红球的结果有1种，摸到2个白球的结果有1种，摸到1个红球和1个白球的结果有4种。
根据古典概型概率公式$P(A)=\frac{事件A包含的结果数}{总结果数}$，可得：
$P(摸到2个红球)=\frac{1}{6}$，$P(摸到2个白球)=\frac{1}{6}$，$P(摸到1个红球和1个白球)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
(2) 根据加权平均数（数学期望）公式计算平均获得礼金券金额：
甲超市：$10×\frac{1}{6}+5×\frac{2}{3}+10×\frac{1}{6}=\frac{20}{3}$（元）
乙超市：$5×\frac{1}{6}+10×\frac{2}{3}+5×\frac{1}{6}=\frac{25}{3}$（元）
(3) 比较平均金额：$\frac{20}{3}＜\frac{25}{3}$，因此选择去乙超市购物。
【答案】
(1) 摸到2个红球的概率为$\frac{1}{6}$，摸到2个白球的概率为$\frac{1}{6}$，摸到1个红球和1个白球的概率为$\frac{2}{3}$；
(2) 甲超市平均获得礼金券$\frac{20}{3}$元，乙超市平均获得礼金券$\frac{25}{3}$元；
(3) 选择去乙超市购物。
【知识点】
1. 古典概型概率计算
2. 数学期望求解
3. 实际决策分析
【点评】
本题结合实际场景考查概率与数学期望的应用，需先掌握古典概型的概率计算方法，再通过加权平均数求解平均收益，最终依据数据做出合理决策，体现了统计知识在生活中的实用价值。
(1) 把2个红球记为红₁、红₂，2个白球记为白₁、白₂，从4个球中摸出2个球的所有等可能结果为：（红₁，红₂）、（红₁，白₁）、（红₁，白₂）、（红₂，白₁）、（红₂，白₂）、（白₁，白₂），共6种。
其中摸到2个红球的结果有1种，摸到2个白球的结果有1种，摸到1个红球和1个白球的结果有4种。
根据古典概型概率公式$P(A)=\frac{事件A包含的结果数}{总结果数}$，可得：
$P(摸到2个红球)=\frac{1}{6}$，$P(摸到2个白球)=\frac{1}{6}$，$P(摸到1个红球和1个白球)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
(2) 根据加权平均数（数学期望）公式计算平均获得礼金券金额：
甲超市：$10×\frac{1}{6}+5×\frac{2}{3}+10×\frac{1}{6}=\frac{20}{3}$（元）
乙超市：$5×\frac{1}{6}+10×\frac{2}{3}+5×\frac{1}{6}=\frac{25}{3}$（元）
(3) 比较平均金额：$\frac{20}{3}＜\frac{25}{3}$，因此选择去乙超市购物。
【答案】
(1) 摸到2个红球的概率为$\frac{1}{6}$，摸到2个白球的概率为$\frac{1}{6}$，摸到1个红球和1个白球的概率为$\frac{2}{3}$；
(2) 甲超市平均获得礼金券$\frac{20}{3}$元，乙超市平均获得礼金券$\frac{25}{3}$元；
(3) 选择去乙超市购物。
【知识点】
1. 古典概型概率计算
2. 数学期望求解
3. 实际决策分析
【点评】
本题结合实际场景考查概率与数学期望的应用，需先掌握古典概型的概率计算方法，再通过加权平均数求解平均收益，最终依据数据做出合理决策，体现了统计知识在生活中的实用价值。
