9. 【数学应用】图①为防爆照明灯，小宇为了研究其灯头横截面的面积，找来了一块直径和照明灯外围一样的圆形纸片，打开探照灯，纸片上映出 $4$ 个直径为 $d$ 的小圆(如图②)，测量得圆形纸片的直径 $D = 3.6\ \mathrm{cm}$，$d = 1.5\ \mathrm{cm}$。利用因式分解计算出灯头的横截面面积(阴影部分)为 $\mathrm{cm}^{2}$。(结果保留 $π$)

9. $ 0.99 π $

10. $4^{32}-1$ 可以被 $10∼20$ 内的两个数整除，则这两个数分别为和。

10. 15 17

11. 把下列多项式因式分解：
(1) $(x - 8)(x + 2)+6x$；
(2) $16x^{4}-81$。

11. 解:(1) $ (x-8)(x+2)+6 x=x^{2}+2 x-8 x-16+6 x=(x+4)(x-4) $。
(2) $ 16 x^{4}-81=(4 x^{2}+9)(4 x^{2}-9)=(4 x^{2}+9) ·(2 x+3)(2 x-3) $。

12. 【数学应用】将一条长 $100\ \mathrm{cm}$ 的彩带剪成两段，恰好可以用来镶嵌两幅大小不同的画(不计算接头处，画都为正方形)。已知两幅画的面积相差 $50\ \mathrm{cm}^{2}$，应将这条彩带剪成多长的两段？

12. 解:设两幅画的边长分别为 $ x \mathrm{~cm}, y \mathrm{~cm}(x＞y) $,由题意得 $ \{\begin{array}{l}4 x+4 y=100, \mathrm{ (1) } \\ x^{2}-y^{2}=50, \mathrm{ (2) }\end{array} $
由①得 $ 4(x+y)=100 $,即 $ x+y=25 $。③
由②得 $ (x+y)(x-y)=50 $,
把③代入②,得 $ x-y=2 $。④
联立③④,解得 $ x=13.5, y=11.5 $,则 $ 4 x=54,4 y=46 $。
所以应将这条彩带剪成长分别为 $ 54 \mathrm{~cm} $,
46 cm的两段。

13. 【综合与实践】如图①，边长为 $a$ 的大正方形中有一个边长为 $b$ 的小正方形。图②是由图①中阴影部分拼成的一个长方形。

(1) 用图①、图②可以验证因式分解中的哪个公式？
(2) 若图①中阴影部分的面积是 $20$，$a - b = 4$，求 $a + b$ 的值。
(3) 试利用(1)所用到的公式计算：$(1-\frac{1}{2^{2}})×(1-\frac{1}{3^{2}})×(1-\frac{1}{4^{2}})×···×(1-\frac{1}{1024^{2}})$。

13. 解:(1) $ a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b) $。
(2)依题意可得 $ a^{2}-b^{2}=20 $,
$ \therefore a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)=20 $。
$ \because a-b=4, \therefore a+b=5 $。
(3)原式 $ =(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3}) ×(1-\frac{1}{4})(1+\frac{1}{4}) × ··· ×(1-\frac{1}{1024})(1+\frac{1}{1024})= \frac{1}{2} × \frac{3}{2} × \frac{2}{3} × \frac{4}{3} × \frac{3}{4} × \frac{5}{4} × ··· × \frac{1023}{1024} × \frac{1025}{1024}=\frac{1}{2} × \frac{1025}{1024}=\frac{1025}{2048} $。