例 如图，在$△ ABC$中，$D$，$E$，$F$分别为$BC$，$AC$，$AB$边的中点，求证$AD$，$EF$互相平分.
分析：已知条件中涉及三角形三条边的中点，可考虑三角形的中位线，得出辅助线的作法，进而证明两组对边分别平行或者一组对边平行且相等，证出以$AD$，$EF$为对角线的四边形是平行四边形，从而得出$AD$，$EF$互相平分.
证明：如图，连接$DE$，$DF$. $\because D$，$E$，$F$分别为$BC$，$AC$，$AB$边的中点，
$\therefore DE$，$DF$，$EF$都为$△ ABC$的中位线.
$\therefore DE// AB$，$DF// AC$，即$DE// AF$，$DF// AE$.
$\therefore$四边形$DEAF$为平行四边形. $\therefore AD$，$EF$互相平分.

证明：如图，连接$DE$，$DF$.
$\because D$，$E$，$F$分别为$BC$，$AC$，$AB$边的中点，
$\therefore DE$，$DF$是$△ ABC$的中位线，
$\therefore DE// AB$，$DF// AC$，即$DE// AF$，$DF// AE$.
$\therefore$四边形$DEAF$是平行四边形.
$\therefore AD$，$EF$互相平分.

1. 如图，在$△ ABC$中，$D$，$E$分别是$AB$，$BC$的中点，点$F$在$DE$的延长线上，添加一个条件使四边形$ADFC$为平行四边形，则这个条件是().

A.$∠ B=∠ F$
B.$∠ B=∠ BCF$
C.$AC = CF$
D.$AD = CF$

B

1. 已知D，E分别是AB，BC的中点，所以DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，可得$DE// AC$，即$DF// AC$。
2. 对各选项分析：
选项A：$∠B=∠F$，无法推出$AD// CF$，不能判定四边形$ADFC$为平行四边形；
选项B：$∠B=∠BCF$，根据内错角相等，两直线平行，可得$AB// CF$，即$AD// CF$。结合$DF// AC$，两组对边分别平行，可判定四边形$ADFC$为平行四边形；
选项C：$AC = CF$，仅一组对边相等，无法判定平行或另一组对边关系，不能判定四边形$ADFC$为平行四边形；
选项D：$AD = CF$，仅一组对边相等，无法判定平行，不能判定四边形$ADFC$为平行四边形。

2. 下列叙述不正确的是().

A.一个三角形必有三条中位线
B.一个三角形必有三条中线
C.三角形的一条中线分成的两个三角形的面积相等
D.三角形的一条中位线分成的两部分面积相等

D

逐一分析选项：
A. 三角形中位线是连接两边中点的线段，一个三角形有三条边，故必有三条中位线，A正确；
B. 三角形中线是顶点到对边中点的线段，一个三角形有三个顶点，故必有三条中线，B正确；
C. 中线分成的两个三角形等底同高，根据三角形面积公式，面积相等，C正确；
D. 三角形中位线平行于第三边且长度为第三边的一半，中位线分成的小三角形与原三角形相似，相似比为1:2，面积比为1:4，因此小三角形面积是原三角形的$\frac{1}{4}$，剩余梯形面积是原三角形的$\frac{3}{4}$，两部分面积不相等，D错误。