登录
6. 已知直角三角形的两条直角边长分别为$2\sqrt{3}+1$、$2\sqrt{3}-1$，求斜边的长.
答案
7. (1)把边长分别为$1+\sqrt{2}$、$1+2\sqrt{2}$、$1+3\sqrt{2}$、$1+4\sqrt{2}$的正方形面积记作$S_{1}$、$S_{2}$、$S_{3}$、$S_{4}$，计算①$S_{2}-S_{1}$，②$S_{3}-S_{2}$，③$S_{4}-S_{3}$;
(2)把边长为$1+n\sqrt{2}$的正方形面积记作$S_{n}$（$n$是正整数），你能猜想出$S_{n + 1}-S_{n}$等于多少吗？为什么？
(2)把边长为$1+n\sqrt{2}$的正方形面积记作$S_{n}$（$n$是正整数），你能猜想出$S_{n + 1}-S_{n}$等于多少吗？为什么？
答案
例1 已知$x\sqrt{\frac{3}{x}} + 9\sqrt{\frac{x}{3}} - \sqrt{12x} = 8(x ＞ 0)$，求$x$的值.
答案
解 $x\sqrt{\frac{3}{x}} + 9\sqrt{\frac{x}{3}} - \sqrt{12x} = \sqrt{3x} + 3\sqrt{3x} - 2\sqrt{3x} = 8$，
即$\sqrt{3x} = 4$，
$\therefore x = \frac{16}{3}$.
即$\sqrt{3x} = 4$，
$\therefore x = \frac{16}{3}$.
例2 计算：
(1)$3\sqrt{20} \times \frac{1}{6}\sqrt{5} \div 3\sqrt{3}$； (2)$(2\sqrt{3} - 3\sqrt{12} + 2\sqrt{18}) \div 3\sqrt{\frac{1}{2}}$；
(3)$(2 - \sqrt{5})^2(2 + \sqrt{5})^2$.
(1)$3\sqrt{20} \times \frac{1}{6}\sqrt{5} \div 3\sqrt{3}$； (2)$(2\sqrt{3} - 3\sqrt{12} + 2\sqrt{18}) \div 3\sqrt{\frac{1}{2}}$；
(3)$(2 - \sqrt{5})^2(2 + \sqrt{5})^2$.
答案
解 (1) $3\sqrt{20} \times \frac{1}{6}\sqrt{5} \div 3\sqrt{3}$
$= 3 \times \frac{1}{6} \times \sqrt{20 \times 5} \div 3\sqrt{3}$
$= \frac{5}{3\sqrt{3}}$
$= \frac{5\sqrt{3}}{9}$；
(2) $(2\sqrt{3} - 3\sqrt{12} + 2\sqrt{18}) \div 3\sqrt{\frac{1}{2}}$
$= (2\sqrt{3} - 3\sqrt{12} + 2\sqrt{18}) \times \frac{\sqrt{2}}{3}$
$= 2\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{2}}{3} - 3\sqrt{12} \times \frac{\sqrt{2}}{3} + 2\sqrt{18} \times \frac{\sqrt{2}}{3}$
$= \frac{2}{3}\sqrt{6} - \sqrt{24} + \frac{2}{3}\sqrt{36}$
$= - \frac{4}{3}\sqrt{6} + 4$；
(3) $(2 - \sqrt{5})^2(2 + \sqrt{5})^2$
$= [(2 - \sqrt{5})(2 + \sqrt{5})]^2$
$= [2^2 - (\sqrt{5})^2]^2$
$= (-1)^2$
$= 1$.
$= 3 \times \frac{1}{6} \times \sqrt{20 \times 5} \div 3\sqrt{3}$
$= \frac{5}{3\sqrt{3}}$
$= \frac{5\sqrt{3}}{9}$；
(2) $(2\sqrt{3} - 3\sqrt{12} + 2\sqrt{18}) \div 3\sqrt{\frac{1}{2}}$
$= (2\sqrt{3} - 3\sqrt{12} + 2\sqrt{18}) \times \frac{\sqrt{2}}{3}$
$= 2\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{2}}{3} - 3\sqrt{12} \times \frac{\sqrt{2}}{3} + 2\sqrt{18} \times \frac{\sqrt{2}}{3}$
$= \frac{2}{3}\sqrt{6} - \sqrt{24} + \frac{2}{3}\sqrt{36}$
$= - \frac{4}{3}\sqrt{6} + 4$；
(3) $(2 - \sqrt{5})^2(2 + \sqrt{5})^2$
$= [(2 - \sqrt{5})(2 + \sqrt{5})]^2$
$= [2^2 - (\sqrt{5})^2]^2$
$= (-1)^2$
$= 1$.
