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1. (★)若方程 $mx + ny = 6$ 的两个解是 $\begin{cases}x = 1,\\y = 1\end{cases}$ 和 $\begin{cases}x = 2,\\y = -1,\end{cases}$ 则 $m$，$n$ 的值分别为【 】
A.$4$，$2$
B.$2$，$4$
C.$-4$，$-2$
D.$-2$，$-4$
A.$4$，$2$
B.$2$，$4$
C.$-4$，$-2$
D.$-2$，$-4$
答案
A
解析
将两组解分别代入方程 $mx + ny = 6$，
得：$\begin{cases}m · 1 + n · 1 = 6, \\m · 2 + n · (-1) = 6.\end{cases}$
化简得：$\begin{cases}m + n = 6, \quad (1) \\2m - n = 6. \quad (2)\end{cases}$
将方程(1)与方程(2)相加，得：$3m = 12 \implies m = 4$，
将 $m = 4$ 代入方程(1)，得：$4 + n = 6 \implies n = 2$。
所以，$m = 4,n= 2$。
得：$\begin{cases}m · 1 + n · 1 = 6, \\m · 2 + n · (-1) = 6.\end{cases}$
化简得：$\begin{cases}m + n = 6, \quad (1) \\2m - n = 6. \quad (2)\end{cases}$
将方程(1)与方程(2)相加，得：$3m = 12 \implies m = 4$，
将 $m = 4$ 代入方程(1)，得：$4 + n = 6 \implies n = 2$。
所以，$m = 4,n= 2$。
2. (★)甲、乙两人在解方程组 $\begin{cases}3x - 2y = 5,①\\4x + 5y = 6②\end{cases}$ 时，有如下讨论：
甲：我要消去 $x$，所以①×4 - ②×3；
乙：我要消去 $y$，所以①×5 + ②×2。
则下列判断正确的是【 】
A.甲、乙的方法都可行
B.甲、乙的方法都不可行
C.甲的方法可行，乙的方法不可行
D.甲的方法不可行，乙的方法可行
甲：我要消去 $x$，所以①×4 - ②×3；
乙：我要消去 $y$，所以①×5 + ②×2。
则下列判断正确的是【 】
A.甲、乙的方法都可行
B.甲、乙的方法都不可行
C.甲的方法可行，乙的方法不可行
D.甲的方法不可行，乙的方法可行
答案
A
解析
甲的方法：将①式乘以4，②式乘以3，得到：
$12x - 8y = 20$，
$12x + 15y = 18$。
两式相减可消去$x$，方法可行。
乙的方法：将①式乘以5，②式乘以2，得到：
$15x - 10y = 25$，
$8x + 10y = 12$。
两式相加可消去$y$，方法可行。
甲、乙的方法都可行。
3. (★)解方程组 $\begin{cases}4x - 5y = 2,\\3x + 5y = 9\end{cases}$ 适合用 ______ 消元法，解方程组 $\begin{cases}x = 4y,\\x + 5y = 9\end{cases}$ 适合用 ______ 消元法。
答案
加减；代入
4. (★)某校七(1)班举行“巧手慧心——收纳整理达人秀”比赛。若设一等奖 $2$ 个，二等奖 $6$ 个，则需要花 $46$ 元买奖品；若设一等奖 $3$ 个，二等奖 $5$ 个，则需要花 $49$ 元买奖品。问：每个一等奖和每个二等奖的奖品分别为多少钱？
答案
设每个一等奖奖品为$x$元，每个二等奖奖品为$y$元。
根据题意，得$\begin{cases}2x + 6y = 46 \\ 3x + 5y = 49\end{cases}$
由第一个方程得：$x = \frac{46 - 6y}{2} = 23 - 3y$
将$x = 23 - 3y$代入第二个方程：$3(23 - 3y) + 5y = 49$
$69 - 9y + 5y = 49$
$-4y = -20$
$y = 5$
将$y = 5$代入$x = 23 - 3y$，得$x = 23 - 3×5 = 8$
所以$\begin{cases}x = 8 \\ y = 5\end{cases}$
答：每个一等奖奖品8元，每个二等奖奖品5元。
根据题意，得$\begin{cases}2x + 6y = 46 \\ 3x + 5y = 49\end{cases}$
由第一个方程得：$x = \frac{46 - 6y}{2} = 23 - 3y$
将$x = 23 - 3y$代入第二个方程：$3(23 - 3y) + 5y = 49$
$69 - 9y + 5y = 49$
$-4y = -20$
$y = 5$
将$y = 5$代入$x = 23 - 3y$，得$x = 23 - 3×5 = 8$
所以$\begin{cases}x = 8 \\ y = 5\end{cases}$
答：每个一等奖奖品8元，每个二等奖奖品5元。
5. (★)已知二元一次方程组 $\begin{cases}x + 2y = 4,\\2x + y = 5,\end{cases}$ 则 $x - y$ 的值为 ______ 。
答案
$\begin{cases}x + 2y = 4,&(1)\\2x + y = 5.&(2)\end{cases}$
由$(2) - (1)$得：
$(2x + y) - (x + 2y)=5 - 4$，
$2x + y - x - 2y = 1$，
$x - y = 1$。
故答案为$1$。
由$(2) - (1)$得：
$(2x + y) - (x + 2y)=5 - 4$，
$2x + y - x - 2y = 1$，
$x - y = 1$。
故答案为$1$。
6. (★)利用加减消元法解方程组 $\begin{cases}2x + 5y = -10,①\\5x - 3y = 6②\end{cases}$ 时，下列做法正确的是【 】
A.要消去 $y$，可以将①×5 + ②×3
B.要消去 $x$，可以将①×3 + ②×(-5)
C.要消去 $y$，可以将①×3 + ②×5
D.要消去 $x$，可以将①×5 + ②×2
A.要消去 $y$，可以将①×5 + ②×3
B.要消去 $x$，可以将①×3 + ②×(-5)
C.要消去 $y$，可以将①×3 + ②×5
D.要消去 $x$，可以将①×5 + ②×2
答案
C
解析
要消去y，需使y的系数互为相反数或相等。①中y的系数为5，②中y的系数为-3，5和3的最小公倍数是15，所以①×3得6x+15y=-30，②×5得25x-15y=30，两式相加可消去y，即①×3 + ②×5，C正确；要消去x，①中x的系数为2，②中x的系数为5，最小公倍数是10，①×5得10x+25y=-50，②×2得10x-6y=12，两式相减可消去x，即①×5 - ②×2，选项B、D错误。
7. (★★)已知关于 $x$，$y$ 的二元一次方程组 $\begin{cases}2x + 3y = k,\\x + 2y = -1\end{cases}$ 的解互为相反数，则 $k$ 的值是 ______ 。
答案
$-1$
解析
解：因为方程组的解互为相反数，所以$x = -y$。
将$x = -y$代入方程$x + 2y = -1$，得：$-y + 2y = -1$，解得$y = -1$。
则$x = -y = 1$。
将$x = 1$，$y = -1$代入$2x + 3y = k$，得：$2×1 + 3×(-1) = k$，即$2 - 3 = k$，解得$k = -1$。
将$x = -y$代入方程$x + 2y = -1$，得：$-y + 2y = -1$，解得$y = -1$。
则$x = -y = 1$。
将$x = 1$，$y = -1$代入$2x + 3y = k$，得：$2×1 + 3×(-1) = k$，即$2 - 3 = k$，解得$k = -1$。
8. (★★)用加减法解下列方程组：
(1)$\begin{cases}7x - 3y = 5,\\-5x + 6y = -19;\end{cases}$
(2)$\begin{cases}5x + 14y = 24,\\19x - 21y = 17;\end{cases}$
(3)$\begin{cases}4x + 3y = 6,\\3x + 4y = 1;\end{cases}$
(4)$\begin{cases}3a + 4b - 16 = 0,\\5a - 6b - 33 = 0.\end{cases}$
(1)$\begin{cases}7x - 3y = 5,\\-5x + 6y = -19;\end{cases}$
(2)$\begin{cases}5x + 14y = 24,\\19x - 21y = 17;\end{cases}$
(3)$\begin{cases}4x + 3y = 6,\\3x + 4y = 1;\end{cases}$
(4)$\begin{cases}3a + 4b - 16 = 0,\\5a - 6b - 33 = 0.\end{cases}$
答案
(1)$\begin{cases}7x - 3y = 5,①\\-5x + 6y = -19,②\end{cases}$
①×2，得$14x - 6y = 10,③$
②+③，得$9x = -9$，解得$x = -1$
将$x = -1$代入①，得$-7 - 3y = 5$，解得$y = -4$
$\therefore\begin{cases}x = -1\\y = -4\end{cases}$
(2)$\begin{cases}5x + 14y = 24,①\\19x - 21y = 17,②\end{cases}$
①×3，得$15x + 42y = 72,③$
②×2，得$38x - 42y = 34,④$
③+④，得$53x = 106$，解得$x = 2$
将$x = 2$代入①，得$10 + 14y = 24$，解得$y = 1$
$\therefore\begin{cases}x = 2\\y = 1\end{cases}$
(3)$\begin{cases}4x + 3y = 6,①\\3x + 4y = 1,②\end{cases}$
①×4，得$16x + 12y = 24,③$
②×3，得$9x + 12y = 3,④$
③-④，得$7x = 21$，解得$x = 3$
将$x = 3$代入①，得$12 + 3y = 6$，解得$y = -2$
$\therefore\begin{cases}x = 3\\y = -2\end{cases}$
(4)$\begin{cases}3a + 4b = 16,①\\5a - 6b = 33,②\end{cases}$
①×3，得$9a + 12b = 48,③$
②×2，得$10a - 12b = 66,④$
③+④，得$19a = 114$，解得$a = 6$
将$a = 6$代入①，得$18 + 4b = 16$，解得$b = -\frac{1}{2}$
$\therefore\begin{cases}a = 6\\b = -\frac{1}{2}\end{cases}$
①×2，得$14x - 6y = 10,③$
②+③，得$9x = -9$，解得$x = -1$
将$x = -1$代入①，得$-7 - 3y = 5$，解得$y = -4$
$\therefore\begin{cases}x = -1\\y = -4\end{cases}$
(2)$\begin{cases}5x + 14y = 24,①\\19x - 21y = 17,②\end{cases}$
①×3，得$15x + 42y = 72,③$
②×2，得$38x - 42y = 34,④$
③+④，得$53x = 106$，解得$x = 2$
将$x = 2$代入①，得$10 + 14y = 24$，解得$y = 1$
$\therefore\begin{cases}x = 2\\y = 1\end{cases}$
(3)$\begin{cases}4x + 3y = 6,①\\3x + 4y = 1,②\end{cases}$
①×4，得$16x + 12y = 24,③$
②×3，得$9x + 12y = 3,④$
③-④，得$7x = 21$，解得$x = 3$
将$x = 3$代入①，得$12 + 3y = 6$，解得$y = -2$
$\therefore\begin{cases}x = 3\\y = -2\end{cases}$
(4)$\begin{cases}3a + 4b = 16,①\\5a - 6b = 33,②\end{cases}$
①×3，得$9a + 12b = 48,③$
②×2，得$10a - 12b = 66,④$
③+④，得$19a = 114$，解得$a = 6$
将$a = 6$代入①，得$18 + 4b = 16$，解得$b = -\frac{1}{2}$
$\therefore\begin{cases}a = 6\\b = -\frac{1}{2}\end{cases}$
