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18. (★★) 已知 $a$ 是 $\sqrt{10}$ 的整数部分，$b$ 是它的小数部分，求 $18a+(b+3)^2$ 的立方根.
答案
$4$
解析
因为$9＜10＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$。
$a$是$\sqrt{10}$的整数部分，所以$a = 3$；$b$是$\sqrt{10}$的小数部分，所以$b=\sqrt{10}-3$。
则$b + 3=\sqrt{10}-3 + 3=\sqrt{10}$，$(b + 3)^2=(\sqrt{10})^2 = 10$。
$18a+(b + 3)^2=18×3 + 10=54 + 10=64$。
因为$4^3 = 64$，所以$64$的立方根是$4$。
$a$是$\sqrt{10}$的整数部分，所以$a = 3$；$b$是$\sqrt{10}$的小数部分，所以$b=\sqrt{10}-3$。
则$b + 3=\sqrt{10}-3 + 3=\sqrt{10}$，$(b + 3)^2=(\sqrt{10})^2 = 10$。
$18a+(b + 3)^2=18×3 + 10=54 + 10=64$。
因为$4^3 = 64$，所以$64$的立方根是$4$。
19. (★★) 有一张面积为 $100\ \mathrm{cm}^2$ 的正方形贺卡，另有一个面积为 $120\ \mathrm{cm}^2$ 的长方形信封，长、宽之比为 $4:3$，能够将这张贺卡不折叠地放入此信封吗？请作出判断并说明理由.
答案
1. 正方形贺卡边长：由面积公式得，边长 $ a = \sqrt{100} = 10\ \mathrm{cm} $。
2. 设长方形信封长为 $ 4x $，宽为 $ 3x $，由面积公式 $ 4x · 3x = 120 $，即 $ 12x^2 = 120 $，解得 $ x^2 = 10 $，$ x = \sqrt{10} $。
3. 信封宽为 $ 3x = 3\sqrt{10} \approx 3 × 3.162 \approx 9.486\ \mathrm{cm} $。
4. 因为 $ 9.486\ \mathrm{cm} ＜ 10\ \mathrm{cm} $，即信封宽小于贺卡边长，故不能放入。
结论：不能将贺卡不折叠地放入信封。
2. 设长方形信封长为 $ 4x $，宽为 $ 3x $，由面积公式 $ 4x · 3x = 120 $，即 $ 12x^2 = 120 $，解得 $ x^2 = 10 $，$ x = \sqrt{10} $。
3. 信封宽为 $ 3x = 3\sqrt{10} \approx 3 × 3.162 \approx 9.486\ \mathrm{cm} $。
4. 因为 $ 9.486\ \mathrm{cm} ＜ 10\ \mathrm{cm} $，即信封宽小于贺卡边长，故不能放入。
结论：不能将贺卡不折叠地放入信封。
20. (★★) 已知 $x$ 是整数，当 $|x-\sqrt{30}|$ 取最小值时，$x$ 的值是 【 】
A.5
B.6
C.7
D.8
A.5
B.6
C.7
D.8
答案
A
解析
先明确$\sqrt{30}$的取值范围，因为$5^2 = 25＜30$，$6^2 = 36＞30$，所以$\sqrt{25}＜\sqrt{30}＜\sqrt{36}$，即$5＜\sqrt{30}＜6$。
分别计算当$x = 5$和$x = 6$时$\vert x - \sqrt{30}\vert$的值，当$x = 5$时，$\vert 5 - \sqrt{30}\vert=\sqrt{30}-5$；当$x = 6$时，$\vert 6 - \sqrt{30}\vert=6 - \sqrt{30}$。
比较$\sqrt{30}-5$与$6 - \sqrt{30}$的大小，$(\sqrt{30}-5)-(6 - \sqrt{30})=2\sqrt{30}-11$，又因为$(2\sqrt{30})^2 = 120$，$11^2 = 121$，且$120＜121$，所以$2\sqrt{30}-11＜0$，即$\sqrt{30}-5＜6 - \sqrt{30}$。
所以当$\vert x - \sqrt{30}\vert$取最小值时，$x$的值是$5$。
分别计算当$x = 5$和$x = 6$时$\vert x - \sqrt{30}\vert$的值，当$x = 5$时，$\vert 5 - \sqrt{30}\vert=\sqrt{30}-5$；当$x = 6$时，$\vert 6 - \sqrt{30}\vert=6 - \sqrt{30}$。
比较$\sqrt{30}-5$与$6 - \sqrt{30}$的大小，$(\sqrt{30}-5)-(6 - \sqrt{30})=2\sqrt{30}-11$，又因为$(2\sqrt{30})^2 = 120$，$11^2 = 121$，且$120＜121$，所以$2\sqrt{30}-11＜0$，即$\sqrt{30}-5＜6 - \sqrt{30}$。
所以当$\vert x - \sqrt{30}\vert$取最小值时，$x$的值是$5$。
21. (★★★) 先阅读理解，再回答问题：
因为 $\sqrt{1^2+1}=\sqrt{2}$，且 $1＜\sqrt{2}＜2$，所以 $\sqrt{1^2+1}$ 的整数部分为 1；
因为 $\sqrt{2^2+2}=\sqrt{6}$，且 $2＜\sqrt{6}＜3$，所以 $\sqrt{2^2+2}$ 的整数部分为 2；
因为 $\sqrt{3^2+3}=\sqrt{12}$，且 $3＜\sqrt{12}＜4$，所以 $\sqrt{3^2+3}$ 的整数部分为 3.
以此类推，我们会发现 $\sqrt{n^2+n}$($n$ 为正整数)的整数部分为 ，请说明理由.
因为 $\sqrt{1^2+1}=\sqrt{2}$，且 $1＜\sqrt{2}＜2$，所以 $\sqrt{1^2+1}$ 的整数部分为 1；
因为 $\sqrt{2^2+2}=\sqrt{6}$，且 $2＜\sqrt{6}＜3$，所以 $\sqrt{2^2+2}$ 的整数部分为 2；
因为 $\sqrt{3^2+3}=\sqrt{12}$，且 $3＜\sqrt{12}＜4$，所以 $\sqrt{3^2+3}$ 的整数部分为 3.
以此类推，我们会发现 $\sqrt{n^2+n}$($n$ 为正整数)的整数部分为 ，请说明理由.
答案
先确定 $n^2 + n$ 的范围关系：
对于任意正整数 $n$，有：
$n^2＜ n^2 + n$
$n^2 + n = n(n + 1)＜ (n + 1)^2=n^2 + 2n+1$（因为 $2n + 1＞ n$ 对于正整数 $n$ 恒成立）。
对不等式两边开平方：
因为 $n^2＜ n^2 + n＜ (n + 1)^2$，且 $n＞0$，$n + 1＞0$，根据算术平方根的性质，若 $a＜ b$ 且 $a≥0$，$b≥0$，则 $\sqrt{a}＜ \sqrt{b}$，可得：
$\sqrt{n^2}＜ \sqrt{n^2 + n}＜ \sqrt{(n + 1)^2}$
即$n＜ \sqrt{n^2 + n}＜ n + 1$。
根据上述不等式确定整数部分：
由于 $n＜ \sqrt{n^2 + n}＜ n + 1$，且 $n$ 为正整数，所以 $\sqrt{n^2 + n}$ 的整数部分为 $n$。
综上，答案为 $n$。
对于任意正整数 $n$，有：
$n^2＜ n^2 + n$
$n^2 + n = n(n + 1)＜ (n + 1)^2=n^2 + 2n+1$（因为 $2n + 1＞ n$ 对于正整数 $n$ 恒成立）。
对不等式两边开平方：
因为 $n^2＜ n^2 + n＜ (n + 1)^2$，且 $n＞0$，$n + 1＞0$，根据算术平方根的性质，若 $a＜ b$ 且 $a≥0$，$b≥0$，则 $\sqrt{a}＜ \sqrt{b}$，可得：
$\sqrt{n^2}＜ \sqrt{n^2 + n}＜ \sqrt{(n + 1)^2}$
即$n＜ \sqrt{n^2 + n}＜ n + 1$。
根据上述不等式确定整数部分：
由于 $n＜ \sqrt{n^2 + n}＜ n + 1$，且 $n$ 为正整数，所以 $\sqrt{n^2 + n}$ 的整数部分为 $n$。
综上，答案为 $n$。
