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1. 计算$\dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{12}}÷\sqrt{\dfrac{54}{12}}×\sqrt{\dfrac{3}{6}}$的结果是(
A.$\dfrac{\sqrt{3}}{12}$
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{6}$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$
B
)A.$\dfrac{\sqrt{3}}{12}$
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{6}$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$
答案
1. B
2. 计算$\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{6}}÷\sqrt{\dfrac{3}{4}}×\sqrt{\dfrac{4}{3}}$的结果为
$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
。答案
2. $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
3. 若长方形的面积为$S = 120\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$，一边长为$3\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$，则另一边长为
$4\sqrt{30}$
cm。答案
3. $4\sqrt{30}$
1. 计算：
(1)$\sqrt{16}×\sqrt{\dfrac{3}{4}}÷\sqrt{3}$；
(2)$\sqrt{3\dfrac{1}{2}}×(-\dfrac{1}{6}\sqrt{1\dfrac{4}{7}})÷(\dfrac{1}{4}\sqrt{5\dfrac{1}{2}})$；
(3)$\dfrac{\sqrt{27}×\sqrt{12}}{\sqrt{3}}$；
(4)$\sqrt{30}×\dfrac{2}{3}\sqrt{2\dfrac{2}{3}}÷2\sqrt{2\dfrac{1}{2}}$。
(1)$\sqrt{16}×\sqrt{\dfrac{3}{4}}÷\sqrt{3}$；
(2)$\sqrt{3\dfrac{1}{2}}×(-\dfrac{1}{6}\sqrt{1\dfrac{4}{7}})÷(\dfrac{1}{4}\sqrt{5\dfrac{1}{2}})$；
(3)$\dfrac{\sqrt{27}×\sqrt{12}}{\sqrt{3}}$；
(4)$\sqrt{30}×\dfrac{2}{3}\sqrt{2\dfrac{2}{3}}÷2\sqrt{2\dfrac{1}{2}}$。
答案
1. (1)解:原式=$\sqrt{16×\frac{3}{4}×\frac{1}{3}} = 2$
(2)解:原式=$-\frac{1}{6}×\sqrt{\frac{7}{2}×\frac{11}{7}}÷\frac{1}{4}\sqrt{\frac{11}{2}}$
$=-\frac{1}{6}×\sqrt{\frac{11}{2}}÷\frac{1}{4}\sqrt{\frac{11}{2}}$
$=-\frac{1}{6}×4×\sqrt{\frac{11}{2}×\frac{2}{11}} = -\frac{2}{3}$
(3)解:原式=$\sqrt{9}×\sqrt{12} = 3×2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$
(4)解:原式=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{30×\frac{8}{3}×\frac{2}{5}}$
$=\frac{1}{3}×\sqrt{4×8} = \frac{1}{3}×4\sqrt{2} = \frac{4\sqrt{2}}{3}$
(2)解:原式=$-\frac{1}{6}×\sqrt{\frac{7}{2}×\frac{11}{7}}÷\frac{1}{4}\sqrt{\frac{11}{2}}$
$=-\frac{1}{6}×\sqrt{\frac{11}{2}}÷\frac{1}{4}\sqrt{\frac{11}{2}}$
$=-\frac{1}{6}×4×\sqrt{\frac{11}{2}×\frac{2}{11}} = -\frac{2}{3}$
(3)解:原式=$\sqrt{9}×\sqrt{12} = 3×2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$
(4)解:原式=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{30×\frac{8}{3}×\frac{2}{5}}$
$=\frac{1}{3}×\sqrt{4×8} = \frac{1}{3}×4\sqrt{2} = \frac{4\sqrt{2}}{3}$
2. 先化简，再求值：$(\dfrac{1}{x - y}+\dfrac{1}{x + y})÷\dfrac{xy}{x^2 - y^2}$，其中$x = \sqrt{3}-2$，$y = \sqrt{2}$。
答案
2. 解:原式=$\frac{x - y + x + y}{(x + y)(x - y)}·\frac{(x + y)(x - y)}{xy}$
$=\frac{2x}{xy} = \frac{2}{y}$
当$y = \sqrt{2}$时,原式=$\frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$
$=\frac{2x}{xy} = \frac{2}{y}$
当$y = \sqrt{2}$时,原式=$\frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$
阅读下面的材料，然后回答问题。
在二次根式化简时，我们有时会碰上如$\dfrac{5}{\sqrt{3}}$，$\sqrt{\dfrac{2}{3}}$，$\dfrac{2}{\sqrt{3}+1}$这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
$\dfrac{5}{\sqrt{3}}=\dfrac{5×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\dfrac{5}{3}\sqrt{3}$；
$\sqrt{\dfrac{2}{3}}=\sqrt{\dfrac{2×3}{3×3}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$；
$\dfrac{2}{\sqrt{3}+1}=\dfrac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\dfrac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2}=\sqrt{3}-1$。
以上这种化简的步骤叫作分母有理化。
$\dfrac{2}{\sqrt{3}+1}$还可以用以下方法化简：
$\dfrac{2}{\sqrt{3}+1}=\dfrac{3 - 1}{\sqrt{3}+1}=\dfrac{(\sqrt{3})^2 - 1^2}{\sqrt{3}+1}=\dfrac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1$。
根据以上材料，请用不同的方法化简：$\dfrac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$。
在二次根式化简时，我们有时会碰上如$\dfrac{5}{\sqrt{3}}$，$\sqrt{\dfrac{2}{3}}$，$\dfrac{2}{\sqrt{3}+1}$这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
$\dfrac{5}{\sqrt{3}}=\dfrac{5×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\dfrac{5}{3}\sqrt{3}$；
$\sqrt{\dfrac{2}{3}}=\sqrt{\dfrac{2×3}{3×3}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$；
$\dfrac{2}{\sqrt{3}+1}=\dfrac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\dfrac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2}=\sqrt{3}-1$。
以上这种化简的步骤叫作分母有理化。
$\dfrac{2}{\sqrt{3}+1}$还可以用以下方法化简：
$\dfrac{2}{\sqrt{3}+1}=\dfrac{3 - 1}{\sqrt{3}+1}=\dfrac{(\sqrt{3})^2 - 1^2}{\sqrt{3}+1}=\dfrac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1$。
根据以上材料，请用不同的方法化简：$\dfrac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$。
答案
解:方法1:
原式=$\frac{5 - 3}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5})^{2} - (\sqrt{3})^{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$
$=\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$
$=\sqrt{5} - \sqrt{3}$
方法2:
原式=$\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$
$=\frac{2(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}$
$=\sqrt{5} - \sqrt{3}$
原式=$\frac{5 - 3}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5})^{2} - (\sqrt{3})^{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$
$=\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$
$=\sqrt{5} - \sqrt{3}$
方法2:
原式=$\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$
$=\frac{2(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}$
$=\sqrt{5} - \sqrt{3}$
