例2 计算：$\frac{2}{3}+\frac{2}{15}+\frac{2}{35}+\frac{2}{63}$。
我的思考 仔细观察后很容易发现，每个分数的分子都是2，而分母都可分解为两个相邻奇数的乘积，并且分子恰好等于分母对应的两个相邻奇数的差，则有$\frac{2}{3}=\frac{3 - 1}{1\times3}=\frac{1}{1}-\frac{1}{3}$，$\frac{2}{15}=\frac{5 - 3}{3\times5}=\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$，$\frac{2}{35}=\frac{7 - 5}{5\times7}=\frac{1}{5}-\frac{1}{7}$，$\frac{2}{63}=\frac{9 - 7}{7\times9}=\frac{1}{7}-\frac{1}{9}$，所以可以这样算：
$\frac{2}{3}+\frac{2}{15}+\frac{2}{35}+\frac{2}{63}$
$=\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}$
……
我的解答
我的思考 仔细观察后很容易发现，每个分数的分子都是2，而分母都可分解为两个相邻奇数的乘积，并且分子恰好等于分母对应的两个相邻奇数的差，则有$\frac{2}{3}=\frac{3 - 1}{1\times3}=\frac{1}{1}-\frac{1}{3}$，$\frac{2}{15}=\frac{5 - 3}{3\times5}=\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$，$\frac{2}{35}=\frac{7 - 5}{5\times7}=\frac{1}{5}-\frac{1}{7}$，$\frac{2}{63}=\frac{9 - 7}{7\times9}=\frac{1}{7}-\frac{1}{9}$，所以可以这样算：
$\frac{2}{3}+\frac{2}{15}+\frac{2}{35}+\frac{2}{63}$
$=\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}$
……
我的解答
答案
$\frac{2}{3}+\frac{2}{15}+\frac{2}{35}+\frac{2}{63}$
$=\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}$
$=1−\frac{1}{9}$
$=\frac{8}{9}$
$=\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}$
$=1−\frac{1}{9}$
$=\frac{8}{9}$
我的发现 一个分数，如果分母是两个不相等的自然数的乘积，分子是这两个自然数的差，这个分数就能拆成分子都是（ ），分母分别是（ ）的两个分数相减的形式。
答案
1 这两个自然数
1. 计算：$\frac{1}{2}+\frac{5}{6}+\frac{11}{12}+\cdots+\frac{109}{110}$。
答案
$\frac{1}{2}+\frac{5}{6}+\frac{11}{12}+\cdots+\frac{109}{110}$
$=(1 - \frac{1}{2})+(1 - \frac{1}{6})+(1 - \frac{1}{12})+\cdots+(1 - \frac{1}{110})$
$=1×10-(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\cdots+\frac{1}{110})$
$=10-(\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\cdots+\frac{1}{10×11})$
$=10-(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{10}-\frac{1}{11})$
$=10-(1 - \frac{1}{11})$
$=9\frac{1}{11}$
$=(1 - \frac{1}{2})+(1 - \frac{1}{6})+(1 - \frac{1}{12})+\cdots+(1 - \frac{1}{110})$
$=1×10-(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\cdots+\frac{1}{110})$
$=10-(\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\cdots+\frac{1}{10×11})$
$=10-(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{10}-\frac{1}{11})$
$=10-(1 - \frac{1}{11})$
$=9\frac{1}{11}$
2. 计算：$\frac{5}{3\times6}+\frac{5}{6\times9}+\frac{5}{9\times12}+\cdots+\frac{5}{2997\times3000}$。（提示：分数乘法计算：$\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$，$b$、$d$均不为0；整数乘法的分配律在分数乘法中同样适用）
答案
$\frac{5}{3×6}+\frac{5}{6×9}+\frac{5}{9×12}+\cdots+\frac{5}{2997×3000}$
$=\frac{5}{3}\times\frac{3}{3×6}+\frac{5}{3}\times\frac{3}{6×9}+\frac{5}{3}\times\frac{3}{9×12}+\cdots+\frac{5}{3}\times\frac{3}{2997×3000}$
$=\frac{5}{3}\times(\frac{3}{3×6}+\frac{3}{6×9}+\frac{3}{9×12}+\cdots+\frac{3}{2997×3000})$
$=\frac{5}{3}\times(\frac{1}{3}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{12}+\cdots+\frac{1}{2997}-\frac{1}{3000})$
$=\frac{5}{3}\times(\frac{1}{3}-\frac{1}{3000})$
$=\frac{5}{9}-\frac{1}{1800}$
$=\frac{111}{200}$
$=\frac{5}{3}\times\frac{3}{3×6}+\frac{5}{3}\times\frac{3}{6×9}+\frac{5}{3}\times\frac{3}{9×12}+\cdots+\frac{5}{3}\times\frac{3}{2997×3000}$
$=\frac{5}{3}\times(\frac{3}{3×6}+\frac{3}{6×9}+\frac{3}{9×12}+\cdots+\frac{3}{2997×3000})$
$=\frac{5}{3}\times(\frac{1}{3}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{12}+\cdots+\frac{1}{2997}-\frac{1}{3000})$
$=\frac{5}{3}\times(\frac{1}{3}-\frac{1}{3000})$
$=\frac{5}{9}-\frac{1}{1800}$
$=\frac{111}{200}$
