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9. 有一捆质量为 8.9 kg，横截面积为 $ 2 × 10^{-5} \mathrm{ m}^{2} $ 的粗细均匀的金属丝。小红想知道这捆金属丝的长度，她选了一根同规格、同材料的短金属丝来进行间接测量。经测量得知，短金属丝的长为 1 m，质量为 0.178 kg。求：
（1）这捆金属丝的长度 $ L $。
（2）此金属丝的密度 $ \rho $。
（1）这捆金属丝的长度 $ L $。
（2）此金属丝的密度 $ \rho $。
答案
解：
(1)因为同种材料的金属丝，其质量与长度成正比，设这捆金属丝的长度为L。
已知短金属丝长$L_{0}=1m$，质量$m_{0}=0.178kg$，
这捆金属丝质量m = 8.9kg。
则$\frac{m}{m_{0}}=\frac{L}{L_{0}}$，即$L=\frac{m}{m_{0}}×L_{0}=\frac{8.9kg}{0.178kg}×1m = 50m$。
(2)这捆金属丝的体积$V = SL=2×10^{-5}m^{2}×50m = 1×10^{-3}m^{3}$，
金属丝的密度$\rho=\frac{m}{V}=\frac{8.9kg}{1×10^{-3}m^{3}} = 8.9×10^{3}kg/m^{3}$。
答：
(1)这捆金属丝的长度为50m；
(2)此金属丝的密度为$8.9×10^{3}kg/m^{3}$。
(1)因为同种材料的金属丝，其质量与长度成正比，设这捆金属丝的长度为L。
已知短金属丝长$L_{0}=1m$，质量$m_{0}=0.178kg$，
这捆金属丝质量m = 8.9kg。
则$\frac{m}{m_{0}}=\frac{L}{L_{0}}$，即$L=\frac{m}{m_{0}}×L_{0}=\frac{8.9kg}{0.178kg}×1m = 50m$。
(2)这捆金属丝的体积$V = SL=2×10^{-5}m^{2}×50m = 1×10^{-3}m^{3}$，
金属丝的密度$\rho=\frac{m}{V}=\frac{8.9kg}{1×10^{-3}m^{3}} = 8.9×10^{3}kg/m^{3}$。
答：
(1)这捆金属丝的长度为50m；
(2)此金属丝的密度为$8.9×10^{3}kg/m^{3}$。
解析
【分析】
对于问题（1），由于金属丝是同种材料且粗细均匀，单位长度的金属丝质量固定，即金属丝的质量与长度成正比，可利用短金属丝的质量和长度的比例关系，求出整捆金属丝的长度。
对于问题（2），先根据整捆金属丝的横截面积和求出的长度计算总体积，再结合整捆金属丝的质量，利用密度公式$\rho=\frac{m}{V}$求出金属丝的密度。
【解析】
(1) 因为同种材料、粗细均匀的金属丝，其质量与长度成正比。设这捆金属丝的长度为$L$，已知短金属丝长$L_{0}=1\mathrm{m}$，质量$m_{0}=0.178\mathrm{kg}$，这捆金属丝质量$m = 8.9\mathrm{kg}$。
根据比例关系有：
$\frac{m}{m_{0}}=\frac{L}{L_{0}}$
则这捆金属丝的长度：
$L=\frac{m}{m_{0}}×L_{0}=\frac{8.9\mathrm{kg}}{0.178\mathrm{kg}}×1\mathrm{m}=50\mathrm{m}$
(2) 这捆金属丝的体积：
$V = SL=2×10^{-5}\mathrm{m}^{2}×50\mathrm{m}=1×10^{-3}\mathrm{m}^{3}$
根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，可得金属丝的密度：
$\rho=\frac{m}{V}=\frac{8.9\mathrm{kg}}{1×10^{-3}\mathrm{m}^{3}}=8.9×10^{3}\mathrm{kg/m}^{3}$
【答案】
（1）这捆金属丝的长度为$\boldsymbol{50\mathrm{m}}$；
（2）此金属丝的密度为$\boldsymbol{8.9×10^{3}\mathrm{kg/m}^{3}}$。
【知识点】
密度公式的应用、质量与长度的比例关系
【点评】
本题考查了密度计算与比例法的结合应用，通过间接测量的思路解决实际问题，既考察了对密度公式的掌握，又培养了学生的转换思维，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
对于问题（1），由于金属丝是同种材料且粗细均匀，单位长度的金属丝质量固定，即金属丝的质量与长度成正比，可利用短金属丝的质量和长度的比例关系，求出整捆金属丝的长度。
对于问题（2），先根据整捆金属丝的横截面积和求出的长度计算总体积，再结合整捆金属丝的质量，利用密度公式$\rho=\frac{m}{V}$求出金属丝的密度。
【解析】
(1) 因为同种材料、粗细均匀的金属丝，其质量与长度成正比。设这捆金属丝的长度为$L$，已知短金属丝长$L_{0}=1\mathrm{m}$，质量$m_{0}=0.178\mathrm{kg}$，这捆金属丝质量$m = 8.9\mathrm{kg}$。
根据比例关系有：
$\frac{m}{m_{0}}=\frac{L}{L_{0}}$
则这捆金属丝的长度：
$L=\frac{m}{m_{0}}×L_{0}=\frac{8.9\mathrm{kg}}{0.178\mathrm{kg}}×1\mathrm{m}=50\mathrm{m}$
(2) 这捆金属丝的体积：
$V = SL=2×10^{-5}\mathrm{m}^{2}×50\mathrm{m}=1×10^{-3}\mathrm{m}^{3}$
根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，可得金属丝的密度：
$\rho=\frac{m}{V}=\frac{8.9\mathrm{kg}}{1×10^{-3}\mathrm{m}^{3}}=8.9×10^{3}\mathrm{kg/m}^{3}$
【答案】
（1）这捆金属丝的长度为$\boldsymbol{50\mathrm{m}}$；
（2）此金属丝的密度为$\boldsymbol{8.9×10^{3}\mathrm{kg/m}^{3}}$。
【知识点】
密度公式的应用、质量与长度的比例关系
【点评】
本题考查了密度计算与比例法的结合应用，通过间接测量的思路解决实际问题，既考察了对密度公式的掌握，又培养了学生的转换思维，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
一包 $ 70 \mathrm{ g/m}^{2} $ 的 A4 型号的复印纸共 500 张，小明用直尺测出 500 张复印纸的总厚度为 5 cm。求：
（1）一张复印纸的厚度 $ d $。
（2）该复印纸的密度 $ \rho $。
（1）一张复印纸的厚度 $ d $。
（2）该复印纸的密度 $ \rho $。
答案
解：
(1)一张复印纸的厚度$d=\frac{h}{n}=\frac{5cm}{500}=0.01cm = 1×10^{-4}m$。
(2)一包复印纸的质量$m = 70g/m^{2}×500×A4$纸面积，
A4纸尺寸约为0.21m×0.297m，
则A4纸面积$S = 0.21m×0.297m\approx0.0624m^{2}$，
所以$m = 70g/m^{2}×500×0.0624m^{2}=2184g = 2.184kg$。
一包复印纸的体积$V = S_{总}h=0.0624m^{2}×0.05m = 3.12×10^{-3}m^{3}$。
该复印纸的密度$\rho=\frac{m}{V}=\frac{2.184kg}{3.12×10^{-3}m^{3}} = 0.7×10^{3}kg/m^{3}$。
答：
(1)一张复印纸的厚度为$1×10^{-4}m$；
(2)该复印纸的密度为$0.7×10^{3}kg/m^{3}$。
(1)一张复印纸的厚度$d=\frac{h}{n}=\frac{5cm}{500}=0.01cm = 1×10^{-4}m$。
(2)一包复印纸的质量$m = 70g/m^{2}×500×A4$纸面积，
A4纸尺寸约为0.21m×0.297m，
则A4纸面积$S = 0.21m×0.297m\approx0.0624m^{2}$，
所以$m = 70g/m^{2}×500×0.0624m^{2}=2184g = 2.184kg$。
一包复印纸的体积$V = S_{总}h=0.0624m^{2}×0.05m = 3.12×10^{-3}m^{3}$。
该复印纸的密度$\rho=\frac{m}{V}=\frac{2.184kg}{3.12×10^{-3}m^{3}} = 0.7×10^{3}kg/m^{3}$。
答：
(1)一张复印纸的厚度为$1×10^{-4}m$；
(2)该复印纸的密度为$0.7×10^{3}kg/m^{3}$。
解析
【分析】
（1）因为一张复印纸厚度极小，直接测量误差大，所以采用累积法，用500张纸的总厚度除以纸张总数，即可得到单张纸的厚度。
（2）计算密度需依据公式$\rho=\frac{m}{V}$，先通过题目给出的$70\mathrm{g/m}^{2}$（每平方米纸张的质量）结合A4纸面积、总张数算出一包纸的总质量；再用A4纸单张面积乘以总厚度得到总体积，最后代入密度公式计算即可。
【解析】
解：
(1) 已知500张复印纸总厚度$h=5\mathrm{cm}$，纸张数$n=500$，则一张复印纸的厚度：
$d=\frac{h}{n}=\frac{5\mathrm{cm}}{500}=0.01\mathrm{cm}=1×10^{-4}\mathrm{m}$
(2) A4纸的尺寸为$0.21\mathrm{m}×0.297\mathrm{m}$，单张纸的面积：
$S=0.21\mathrm{m}×0.297\mathrm{m}\approx0.0624\mathrm{m}^{2}$
根据$70\mathrm{g/m}^{2}$的物理含义，一包500张纸的总质量：
$m=70\mathrm{g/m}^{2}×500× S=70\mathrm{g/m}^{2}×500×0.0624\mathrm{m}^{2}=2184\mathrm{g}=2.184\mathrm{kg}$
500张纸的总厚度$h=5\mathrm{cm}=0.05\mathrm{m}$，则一包纸的总体积：
$V=S× h=0.0624\mathrm{m}^{2}×0.05\mathrm{m}=3.12×10^{-3}\mathrm{m}^{3}$
代入密度公式得该复印纸的密度：
$\rho=\frac{m}{V}=\frac{2.184\mathrm{kg}}{3.12×10^{-3}\mathrm{m}^{3}}=0.7×10^{3}\mathrm{kg/m}^{3}$
答：
(1) 一张复印纸的厚度为$1×10^{-4}\mathrm{m}$；
(2) 该复印纸的密度为$0.7×10^{3}\mathrm{kg/m}^{3}$。
【知识点】
累积法测微小量，密度的计算，单位换算
【点评】
本题考查累积法的应用和密度的计算，需注意单位统一，准确理解$70\mathrm{g/m}^{2}$的物理含义，同时牢记A4纸的标准尺寸是解题的关键。
【难度系数】
0.6
（1）因为一张复印纸厚度极小，直接测量误差大，所以采用累积法，用500张纸的总厚度除以纸张总数，即可得到单张纸的厚度。
（2）计算密度需依据公式$\rho=\frac{m}{V}$，先通过题目给出的$70\mathrm{g/m}^{2}$（每平方米纸张的质量）结合A4纸面积、总张数算出一包纸的总质量；再用A4纸单张面积乘以总厚度得到总体积，最后代入密度公式计算即可。
【解析】
解：
(1) 已知500张复印纸总厚度$h=5\mathrm{cm}$，纸张数$n=500$，则一张复印纸的厚度：
$d=\frac{h}{n}=\frac{5\mathrm{cm}}{500}=0.01\mathrm{cm}=1×10^{-4}\mathrm{m}$
(2) A4纸的尺寸为$0.21\mathrm{m}×0.297\mathrm{m}$，单张纸的面积：
$S=0.21\mathrm{m}×0.297\mathrm{m}\approx0.0624\mathrm{m}^{2}$
根据$70\mathrm{g/m}^{2}$的物理含义，一包500张纸的总质量：
$m=70\mathrm{g/m}^{2}×500× S=70\mathrm{g/m}^{2}×500×0.0624\mathrm{m}^{2}=2184\mathrm{g}=2.184\mathrm{kg}$
500张纸的总厚度$h=5\mathrm{cm}=0.05\mathrm{m}$，则一包纸的总体积：
$V=S× h=0.0624\mathrm{m}^{2}×0.05\mathrm{m}=3.12×10^{-3}\mathrm{m}^{3}$
代入密度公式得该复印纸的密度：
$\rho=\frac{m}{V}=\frac{2.184\mathrm{kg}}{3.12×10^{-3}\mathrm{m}^{3}}=0.7×10^{3}\mathrm{kg/m}^{3}$
答：
(1) 一张复印纸的厚度为$1×10^{-4}\mathrm{m}$；
(2) 该复印纸的密度为$0.7×10^{3}\mathrm{kg/m}^{3}$。
【知识点】
累积法测微小量，密度的计算，单位换算
【点评】
本题考查累积法的应用和密度的计算，需注意单位统一，准确理解$70\mathrm{g/m}^{2}$的物理含义，同时牢记A4纸的标准尺寸是解题的关键。
【难度系数】
0.6
