12. 已知方程组$$\begin{cases}x + y = 4, \\ y + z = 6, \\ z + x = 8\end{cases}$$则 $x + y + z$ 的值是 ______ 。

9

解：将三个方程相加，得：
$(x + y) + (y + z) + (z + x) = 4 + 6 + 8$
$2x + 2y + 2z = 18$
两边同时除以 2，得：
$x + y + z = 9$

13. 已知方程组$$\begin{cases}2x + 3y = z, \\ 3x + 4y = 2z + 6\end{cases}$$的解满足 $x + y = 3$，则 $z$ 的值为【 】

A.9
B.-3
C.12
D.不能确定

B

已知方程组：
$\begin{cases}2x + 3y = z,(1) \\3x + 4y = 2z + 6,(2)\end{cases}$
及$x + y = 3,(3)$
由$(3)$得$y=3-x$（4），
将（4）代入（1）得$2x+3(3-x)=z$，
化简得$z=9-x$（5），
将（4）（5）代入（2）得$3x+4(3-x)=2(9-x)+6$，
去括号得$3x+12-4x=18-2x+6$，
移项合并得$x=12$，
将$x = 12$代入（5）得$z = 9 - 12=-3$。

14. 已知$$\begin{cases}4x - 5y + 2z = 0, \\ x + 4y - 3z = 0\end{cases}(xyz ≠ 0)$$，则 $x : y : z$ 的值为【 】

A.1 : 2 : 3
B.3 : 2 : 1
C.2 : 1 : 3
D.不能确定

A

原方程组为：
$\begin{cases}4x - 5y + 2z = 0 \quad (1) \\x + 4y - 3z = 0 \quad (2)\end{cases}$
由(2)得 $x = 3z - 4y$，代入(1)：$4(3z - 4y) - 5y + 2z = 0$，化简得 $14z - 21y = 0$，即 $2z = 3y$，则 $y = \frac{2}{3}z$。
将 $y = \frac{2}{3}z$ 代入 $x = 3z - 4y$，得 $x = 3z - 4×\frac{2}{3}z = \frac{1}{3}z$。
故 $x = \frac{1}{3}z$，$y = \frac{2}{3}z$，所以 $x:y:z = \frac{1}{3}z : \frac{2}{3}z : z = 1:2:3$。

15. 设$$\begin{cases}2x + y + 3z = 23, \\ x + 4y + 5z = 36\end{cases}$$则 $3x - 2y + z =$ ______ 。

$\begin{cases}2x + y + 3z = 23 \quad (1) \\x + 4y + 5z = 36 \quad (2)\end{cases}$
设 $3x - 2y + z = k$，令 $a(2x + y + 3z) + b(x + 4y + 5z) = 3x - 2y + z$，则：
$\begin{cases}2a + b = 3 \\a + 4b = -2 \\3a + 5b = 1\end{cases}$
由前两式解得 $a = 2$，$b = -1$，代入第三式验证成立。
则 $k = 2×(1) - 1×(2) = 2×23 - 36 = 46 - 36 = 10$。
$3x - 2y + z = 10$
10

16. 解下列三元一次方程组：
(1) $$\begin{cases}2x + y = 4, \\ x + 3z = 1, \\ x + y + z = 7\end{cases}$(2) $$\begin{cases}x - z - 3 = 0, \\ 2x - y + 2z = 2, \\ x - y - z = -3\end{cases}$
(3) $$\begin{cases}x - 2y + z = 0, \\ 3x + y - 2z = 0, \\ 7x + 6y + 7z = 100\end{cases}$(4) $$\begin{cases}x : y = 1 : 5, \\ y : z = 2 : 3, \\ x + y + z = 27\end{cases}$

(1)
由$2x + y = 4$可得$y = 4 - 2x$，由$x + 3z = 1$可得$z=\frac{1 - x}{3}$，
将$y = 4 - 2x$，$z=\frac{1 - x}{3}$代入$x + y + z = 7$得：
$x+(4 - 2x)+\frac{1 - x}{3}=7$
$3x + 12 - 6x + 1 - x = 21$
$-4x = 8$
$x=-2$
把$x = - 2$代入$y = 4 - 2x$得$y = 4-2×(-2)=8$，
把$x = - 2$代入$z=\frac{1 - x}{3}$得$z=\frac{1-(-2)}{3}=1$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x = - 2, \\ y = 8, \\ z = 1\end{cases}$
(2)
由$x - z - 3 = 0$可得$z=x - 3$，
把$z=x - 3$代入$2x - y + 2z = 2$得$2x - y+2(x - 3)=2$，即$4x - y-6 = 2$，$y = 4x - 8$，
把$z=x - 3$，$y = 4x - 8$代入$x - y - z = - 3$得：
$x-(4x - 8)-(x - 3)= - 3$
$x-4x + 8 - x + 3 = - 3$
$-4x=-14$
$x=\frac{7}{2}$
把$x=\frac{7}{2}$代入$y = 4x - 8$得$y = 4×\frac{7}{2}-8 = 6$，
把$x=\frac{7}{2}$代入$z=x - 3$得$z=\frac{7}{2}-3=\frac{1}{2}$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x=\frac{7}{2}, \\ y = 6, \\ z=\frac{1}{2}\end{cases}$
(3)
由$x - 2y + z = 0$可得$z = 2y - x$，
把$z = 2y - x$代入$3x + y - 2z = 0$得：
$3x + y-2(2y - x)=0$
$3x + y - 4y + 2x = 0$
$5x - 3y = 0$，$y=\frac{5}{3}x$
把$z = 2y - x$，$y=\frac{5}{3}x$代入$7x + 6y + 7z = 100$得：
$7x + 6×\frac{5}{3}x+7(2×\frac{5}{3}x - x)=100$
$7x + 10x+7×\frac{7}{3}x=100$
$17x+\frac{49}{3}x=100$
$\frac{51 + 49}{3}x=100$
$\frac{100}{3}x=100$
$x = 3$
把$x = 3$代入$y=\frac{5}{3}x$得$y = 5$，
把$x = 3$，$y = 5$代入$z = 2y - x$得$z = 2×5 - 3 = 7$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 3, \\ y = 5, \\ z = 7\end{cases}$
(4)
因为$x:y = 1:5$，所以$x=\frac{1}{5}y$，
因为$y:z = 2:3$，所以$z=\frac{3}{2}y$，
把$x=\frac{1}{5}y$，$z=\frac{3}{2}y$代入$x + y + z = 27$得：
$\frac{1}{5}y+y+\frac{3}{2}y=27$
$\frac{2 + 10+15}{10}y=27$
$\frac{27}{10}y=27$
$y = 10$
把$y = 10$代入$x=\frac{1}{5}y$得$x = 2$，
把$y = 10$代入$z=\frac{3}{2}y$得$z = 15$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 2, \\ y = 10, \\ z = 15\end{cases}$

17. 若$$\dfrac{a}{3} = \dfrac{b}{5} = \dfrac{c}{7}$$，且 $3a + 2b - 4c = 9$，则 $a + b + c$ 的值等于。

设$\dfrac{a}{3} = \dfrac{b}{5} = \dfrac{c}{7} = k$，则$a = 3k$，$b = 5k$，$c = 7k$。
将$a = 3k$，$b = 5k$，$c = 7k$代入$3a + 2b - 4c = 9$，得：
$3×3k + 2×5k - 4×7k = 9$
$9k + 10k - 28k = 9$
$-9k = 9$
$k = -1$
所以$a = 3×(-1) = -3$，$b = 5×(-1) = -5$，$c = 7×(-1) = -7$。
则$a + b + c = -3 + (-5) + (-7) = -15$。
$-15$

18. 对于实数 $x$，$y$ 定义新运算：$x \otimes y = ax + by + c$，其中 $a$，$b$，$c$ 均为常数，且已知 $3 \otimes 5 = 15$，$4 \otimes 7 = 28$，则 $2 \otimes 3$ 的值为【 】

A.2
B.4
C.6
D.8
第 2 课时

A

由新运算定义得：
$3⊗5 = 3a + 5b + c = 15$ ①，
$4⊗7 = 4a + 7b + c = 28$ ②，
② - ①得：$a + 2b = 13$ ③，
设$2⊗3 = 2a + 3b + c = k$，
① - k得：$(3a + 5b + c) - (2a + 3b + c) = 15 - k$，即$a + 2b = 15 - k$，
由③知$a + 2b = 13$，故$15 - k = 13$，解得$k = 2$，即$2⊗3 = 2$。