4. 先化简，再求值：$ \frac{x - 3}{x - 1} ÷ \frac{x - 3}{x^{2} + 2x + 1} - \frac{1}{x - 1} $，其中 $ x = \sqrt{2} + 1 $。

化简过程：
$\begin{aligned}&\frac{x - 3}{x - 1} ÷ \frac{x - 3}{x^{2} + 2x + 1} - \frac{1}{x - 1}\\=&\frac{x - 3}{x - 1} · \frac{(x + 1)^2}{x - 3} - \frac{1}{x - 1}&(x^2 + 2x + 1=(x + 1)^2，除法变乘法)\\=&\frac{(x + 1)^2}{x - 1} - \frac{1}{x - 1}&(约去 x - 3，x ≠ 3)\\=&\frac{(x + 1)^2 - 1}{x - 1}&(同分母分式相减，分子相减)\\=&\frac{x^2 + 2x + 1 - 1}{x - 1}&(展开 (x + 1)^2)\\=&\frac{x^2 + 2x}{x - 1}&(合并同类项)\\=&\frac{x(x + 2)}{x - 1}&(提取公因式 x)\end{aligned}$
代入求值：
当$x = \sqrt{2} + 1$时，
$\begin{aligned}&\frac{x(x + 2)}{x - 1}\\=&\frac{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} + 1 + 2)}{\sqrt{2} + 1 - 1}\\=&\frac{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} + 3)}{\sqrt{2}}\\=&\frac{(\sqrt{2} · \sqrt{2}) + \sqrt{2} · 3 + 1 · \sqrt{2} + 1 · 3}{\sqrt{2}}\\=&\frac{2 + 3\sqrt{2} + \sqrt{2} + 3}{\sqrt{2}}\\=&\frac{5 + 4\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\\=&\frac{(5 + 4\sqrt{2})\sqrt{2}}{2}\\=&\frac{5\sqrt{2} + 8}{2}\end{aligned}$
最终结果：$\frac{8 + 5\sqrt{2}}{2}$

5. 某工程招标会上，甲工程队在其投标书上宣称可以在 $ 2a $ 天内完成这项工程，而乙工程队在其投标书上宣称可以在 $ a $ 天内完成这项工程，那么乙工程队比甲工程队每天多完成多少工作量？

设这项工程的工作量为单位“1”。
甲工程队每天完成的工作量为：$\frac{1}{2a}$。
乙工程队每天完成的工作量为：$\frac{1}{a}$。
乙工程队比甲工程队每天多完成的工作量为：$\frac{1}{a} - \frac{1}{2a} = \frac{2}{2a} - \frac{1}{2a} = \frac{1}{2a}$。
结论：$\frac{1}{2a}$。

6. 据悉，国庆几天高档海鲜市场需求很旺，其中，某种高档海鲜由原来 $ a $ 元 / 千克上涨了 $ 1 $ 倍，那么用 $ 100 $ 元买这种海鲜，比原来少买了多少千克？

原来单价为$a$元/千克，上涨1倍后单价为$2a$元/千克。
原来100元可买：$\frac{100}{a}$千克。
现在100元可买：$\frac{100}{2a}=\frac{50}{a}$千克。
比原来少买：$\frac{100}{a}-\frac{50}{a}=\frac{50}{a}$千克。
结论：$\frac{50}{a}$千克。

7. 已知 $ x = \sqrt{3} - 1 $，求 $ \frac{x - 1}{x} ÷ (x - \frac{1}{x}) $ 的值。

解：
步骤1：化简原式
$\begin{aligned}\frac{x - 1}{x} ÷ (x - \frac{1}{x}) &= \frac{x - 1}{x} ÷ (\frac{x^2 - 1}{x}) \\&= \frac{x - 1}{x} × \frac{x}{(x + 1)(x - 1)} \\&= \frac{1}{x + 1}\end{aligned}$
步骤2：代入 $ x = \sqrt{3} - 1 $
$\frac{1}{x + 1} = \frac{1}{(\sqrt{3} - 1) + 1} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
结论
$\boxed{\frac{\sqrt{3}}{3}}$

已知 $ a + b + c = 0 $，求证：$ a(\frac{1}{b} + \frac{1}{c}) + b(\frac{1}{c} + \frac{1}{a}) + c(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) + 3 = 0 $。

证明：
左边 = $ a(\frac{1}{b} + \frac{1}{c}) + b(\frac{1}{c} + \frac{1}{a}) + c(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) + 3 $
展开括号得：
$ = \frac{a}{b} + \frac{a}{c} + \frac{b}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{a} + \frac{c}{b} + 3 $
将 3 拆分为 $ \frac{a}{a} + \frac{b}{b} + \frac{c}{c} $，则：
$ = \frac{a}{b} + \frac{a}{c} + \frac{b}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{a} + \frac{b}{b} + \frac{c}{c} $
按分母分组：
$ = ( \frac{b}{a} + \frac{c}{a} + \frac{a}{a} ) + ( \frac{a}{b} + \frac{c}{b} + \frac{b}{b} ) + ( \frac{a}{c} + \frac{b}{c} + \frac{c}{c} ) $
分子合并同类项：
$ = \frac{a + b + c}{a} + \frac{a + b + c}{b} + \frac{a + b + c}{c} $
已知 $ a + b + c = 0 $，代入得：
$ = \frac{0}{a} + \frac{0}{b} + \frac{0}{c} = 0 $
即左边 = 右边，原式得证。
结论：$ a(\frac{1}{b} + \frac{1}{c}) + b(\frac{1}{c} + \frac{1}{a}) + c(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) + 3 = 0 $。