活动一：看一看 做一做
如图5 - 12，二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a \neq 0)$的图像与$x$轴的一个交点坐标是$(-2,0)$，顶点坐标是$(1,3)$.
(1)观察图像，写出图像所反映的二次函数的有关信息；
(2)怎样平移二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a \neq 0)$的图像，可以使顶点坐标为$(3,6)$？
(3)若方程$ax^{2}+bx + c = k$有两个不相等的实数根，求$k$的取值范围.

解：​(1)​图像与​x​轴交于点​(-2，​​0)、​​(4，​​0) ；​
当-2＜x＜4时，y＞
解：沿着x轴方向先向右平移2个单位长度，再沿着y轴方向向上平移3个单位长度。
解:由函数图像可知, y的最大值为3
所以当$k\lt 3$时,二次函数图像与直线y=k的交点有2个
即当$k\lt 3$时,方程ax²+ bx+c= k有两个不相等的实数根

活动二：想一想 试一试
如图5 - 13，二次函数$y = \frac{1}{2}x^{2}+bx - 2$的图像与$x$轴交于$A$、$B$两点，与$y$轴交于点$C$，且点$A$的坐标为$(-1,0)$.
(1)求该二次函数的表达式及顶点$D$的坐标；
(2)判断$\triangle ABC$的形状，并证明你的结论；
(3)$M(m,0)$是$x$轴上的一个动点，求：当$CM + DM$的值最小时，$m$的值.

解：(1)将点​A(-1，​​0)​代入得$​0=\frac {1}{2}×(-1)²+b×(-1)-2，$$​​b=-\frac {3}{2}​$
∴二次函数表达式为$​y =\frac {1}{2}x²-\frac {3}{2}x-2​$
∴顶点$​D(\frac {3}{2}，$$​​-\frac {25}{8})​$
解：​(2)​令​y=0，$​​-\frac {1}{2}x²-\frac {3}{2}x-2=0​$
解得$​x_1=-1，$$​​x_2=4​$
令​x=0，​​y=-2​
∴​B(4，​​0)、​​C(0，​​-2)​
∴​OA=1，​​OB=4，​​OC=2，​​AB=5​
∴​AB²=25，​​AC²=OA²+ OC²=5，​​BC²= OC²+OB²= 20​
∴​AB²=AC²+BC²​
∴​△ABC​是直角三角形
解：​(3)​点​C​关于​x​轴的对称点为​C'，​则​C'(0，​​2)​
连接​C'D​交​x​轴于点​M​
设经过点​C'、​​D​的一次函数表达式为​y=kx+b​
将点代入得$​\begin{cases}{b=2 } \\{\dfrac {3}{2}k+b=-\dfrac {25}{8}} \end{cases}​\ \ \ \ \ $解得$​\begin{cases}{k=-\dfrac {41}{12}}\\{b=2}\end{cases}​$
∴一次函数表达式为$​y= -\frac {41}{12}x+2​$
令​y=0，$​​x=\frac {24}{41}​$
∴$​m=\frac {24}{41}​$