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章末总结复习
思维导图·发展创新意识
思维导图·发展创新意识
答案
1. 平方根部分：
第一个空：平方。
第二个空：被开方数。
第三个空：$0$。
2. 立方根部分：
第一个空：立方。
故答案依次为：平方；被开方数；$0$；立方。
第一个空：平方。
第二个空：被开方数。
第三个空：$0$。
2. 立方根部分：
第一个空：立方。
故答案依次为：平方；被开方数；$0$；立方。
一、选择题
1. 下列各式中，正确的是().
A.$\sqrt{(-3)^2} = -3$
B.$-\sqrt{3^2} = -3$
C.$\sqrt{(\pm 3)^2} = \pm 3$
D.$\sqrt{3^2} = \pm 3$
1. 下列各式中，正确的是().
A.$\sqrt{(-3)^2} = -3$
B.$-\sqrt{3^2} = -3$
C.$\sqrt{(\pm 3)^2} = \pm 3$
D.$\sqrt{3^2} = \pm 3$
答案
B
解析
对选项逐一分析：
A. $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 ≠ -3$，错误；
B. $-\sqrt{3^2} = -\sqrt{9} = -3$，正确；
C. $\sqrt{(\pm 3)^2} = \sqrt{9} = 3 ≠ \pm 3$，错误；
D. $\sqrt{3^2} = \sqrt{9} = 3 ≠ \pm 3$，错误；
综上，正确选项为 B。
A. $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 ≠ -3$，错误；
B. $-\sqrt{3^2} = -\sqrt{9} = -3$，正确；
C. $\sqrt{(\pm 3)^2} = \sqrt{9} = 3 ≠ \pm 3$，错误；
D. $\sqrt{3^2} = \sqrt{9} = 3 ≠ \pm 3$，错误；
综上，正确选项为 B。
2. (2024 昆明期末)有一组数：$\sqrt{2}$，$3.1415926535$，$\sqrt{4}$，$0.1010010001···$(相邻两个$1$之间依次多一个$0$)，$\frac{π}{3}$，$\frac{23}{7}$，$0$，$\sqrt[3]{9}$，其中无理数的个数为().
A.$6$
B.$5$
C.$4$
D.$3$
A.$6$
B.$5$
C.$4$
D.$3$
答案
C
解析
无理数的三种形式：①开方开不尽的数；②无限不循环小数；③含有$π$的数。
$\sqrt{2}$是无限不循环小数，属于无理数；
$3.1415926535$是有限小数，属于有理数；
$\sqrt{4}=2$，是整数，属于有理数；
$0.1010010001···$（相邻两个$1$之间依次多一个$0$）是无限不循环小数，属于无理数；
$\frac{π}{3}$含有$π$，属于无理数；
$\frac{23}{7}$是分数，属于有理数；
$0$是整数，属于有理数；
$\sqrt[3]{9}$是开方开不尽的数，属于无理数。
所以无理数有$\sqrt{2}$，$0.1010010001···$，$\frac{π}{3}$，$\sqrt[3]{9}$，共$4$个。
$\sqrt{2}$是无限不循环小数，属于无理数；
$3.1415926535$是有限小数，属于有理数；
$\sqrt{4}=2$，是整数，属于有理数；
$0.1010010001···$（相邻两个$1$之间依次多一个$0$）是无限不循环小数，属于无理数；
$\frac{π}{3}$含有$π$，属于无理数；
$\frac{23}{7}$是分数，属于有理数；
$0$是整数，属于有理数；
$\sqrt[3]{9}$是开方开不尽的数，属于无理数。
所以无理数有$\sqrt{2}$，$0.1010010001···$，$\frac{π}{3}$，$\sqrt[3]{9}$，共$4$个。
3. (2024 昆明期末)下列说法中，不正确的是().
A.$0$的算术平方根是$0$
B.$0$的平方根是$0$
C.$1$的立方根是$1$
D.$4$的平方根是$2$
A.$0$的算术平方根是$0$
B.$0$的平方根是$0$
C.$1$的立方根是$1$
D.$4$的平方根是$2$
答案
D
解析
根据平方根和立方根的定义分别分析各选项：
选项A：若一个非负数$x$的平方等于$a$，即$x^2 = a$，那么这个数$x$叫做$a$的算术平方根，因为$0^2 = 0$，所以$0$的算术平方根是$0$，该选项正确。
选项B：若一个数$x$的平方等于$a$，即$x^2 = a$，那么这个数$x$叫做$a$的平方根，因为$0^2 = 0$，所以$0$的平方根是$0$，该选项正确。
选项C：若一个数$x$的立方等于$a$，即$x^3 = a$，那么这个数$x$叫做$a$的立方根，因为$1^3 = 1$，所以$1$的立方根是$1$，该选项正确。
选项D：因为$(\pm2)^2 = 4$，所以$4$的平方根是$\pm2$，而不只是$2$，该选项错误。
选项A：若一个非负数$x$的平方等于$a$，即$x^2 = a$，那么这个数$x$叫做$a$的算术平方根，因为$0^2 = 0$，所以$0$的算术平方根是$0$，该选项正确。
选项B：若一个数$x$的平方等于$a$，即$x^2 = a$，那么这个数$x$叫做$a$的平方根，因为$0^2 = 0$，所以$0$的平方根是$0$，该选项正确。
选项C：若一个数$x$的立方等于$a$，即$x^3 = a$，那么这个数$x$叫做$a$的立方根，因为$1^3 = 1$，所以$1$的立方根是$1$，该选项正确。
选项D：因为$(\pm2)^2 = 4$，所以$4$的平方根是$\pm2$，而不只是$2$，该选项错误。
4. 计算$(-1)^{2026} + |\sqrt{2} - 2|$，结果为().
A.$-1 + \sqrt{2}$
B.$-3 + \sqrt{2}$
C.$3 - \sqrt{2}$
D.$1 + \sqrt{2}$
A.$-1 + \sqrt{2}$
B.$-3 + \sqrt{2}$
C.$3 - \sqrt{2}$
D.$1 + \sqrt{2}$
答案
C
解析
首先计算$(-1)^{2026}$，因为2026是偶数，所以$(-1)^{2026} = 1$。
然后计算$|\sqrt{2} - 2|$，因为$\sqrt{2} \approx 1.414$，小于2，所以$\sqrt{2} - 2$为负数，其绝对值为$2 - \sqrt{2}$。
因此，原式可化简为：
$1 + (2 - \sqrt{2}) = 3 - \sqrt{2}$。
5. 若$a = \sqrt[3]{7}$，$b = \sqrt{5}$，$c = 2$，则$a$，$b$，$c$的大小关系为().
A.$b ＜ c ＜ a$
B.$b ＜ a ＜ c$
C.$a ＜ c ＜ b$
D.$a ＜ b ＜ c$
A.$b ＜ c ＜ a$
B.$b ＜ a ＜ c$
C.$a ＜ c ＜ b$
D.$a ＜ b ＜ c$
答案
C
解析
已知 $a = \sqrt[3]{7}$，$b = \sqrt{5}$，$c = 2$，
1. 先比较 $a$ 和 $c$：
$a^3 = 7$，$c^3 = 2^3 = 8$，
由于 $7 ＜ 8$，且立方根函数单调递增，故 $a ＜ c$。
2. 再比较 $b$ 和 $c$：
$b = \sqrt{5}$，$c = 2$，
$b^2 = 5$，$c^2 = 4$，
由于 $5 ＞ 4$，且平方根函数单调递增，故 $b ＞ c$ 的反即为 $c＜ b$（或直接计算 $\sqrt{4}=2$，$\sqrt{5} \approx 2.236$，故 $2 ＜ \sqrt{5}$）。
综合得：$a ＜ c ＜ b$。
6. (2024 昆明期末)如图，面积为$10$的正方形$ABCD$的顶点$A$在数轴上，点$A$表示的数为$1$. 若点$M$在数轴上(点$M$在点$A$的右侧)，$AD = AM$，则点$M$所表示的数为().
A.$\sqrt{10}$
B.$\sqrt{10} + 1$
C.$\sqrt{10} - 1$
D.$\frac{\sqrt{10} - 1}{2}$
A.$\sqrt{10}$
B.$\sqrt{10} + 1$
C.$\sqrt{10} - 1$
D.$\frac{\sqrt{10} - 1}{2}$
答案
B
解析
因为正方形ABCD的面积为10，所以边长AD=$\sqrt{10}$。因为AD=AM，所以AM=$\sqrt{10}$。点A表示的数为1，点M在点A右侧，所以点M表示的数为1+$\sqrt{10}$。
