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11. 如图，在直角三角形$ABC$中，$BC = 9$，$∠ABC = 90^{\circ}$，把三角形$ABC$沿$AB$方向平移至三角形$EFG$，$EG$与$BC$交于点$M$.若$CM = 3$，图中阴影部分的面积为$15$，则平移距离为.
答案
2
解析
设平移距离为$x$，即$AE = BF = x$。
由平移性质知$EG// AC$，$FG = BC = 9$。
因为$CM = 3$，所以$BM = BC - CM = 9 - 3 = 6$。
由于$EG// AC$，则$△ EBM∼△ ABC$，相似比为$\frac{BM}{BC}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$。
设$AB = m$，则$EB = AB - AE = m - x$，由相似比得$\frac{EB}{AB}=\frac{2}{3}$，即$\frac{m - x}{m}=\frac{2}{3}$，解得$m = 3x$。
$△ ABC$面积为$\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}×3x×9=\frac{27x}{2}$。
$△ EBM$面积为$(\frac{2}{3})^2×△ ABC$面积$=\frac{4}{9}×\frac{27x}{2}=6x$。
阴影部分面积为$△ ABC$面积$-△ EBM$面积，即$\frac{27x}{2}-6x = 15$，解得$x = 2$。
由平移性质知$EG// AC$，$FG = BC = 9$。
因为$CM = 3$，所以$BM = BC - CM = 9 - 3 = 6$。
由于$EG// AC$，则$△ EBM∼△ ABC$，相似比为$\frac{BM}{BC}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$。
设$AB = m$，则$EB = AB - AE = m - x$，由相似比得$\frac{EB}{AB}=\frac{2}{3}$，即$\frac{m - x}{m}=\frac{2}{3}$，解得$m = 3x$。
$△ ABC$面积为$\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}×3x×9=\frac{27x}{2}$。
$△ EBM$面积为$(\frac{2}{3})^2×△ ABC$面积$=\frac{4}{9}×\frac{27x}{2}=6x$。
阴影部分面积为$△ ABC$面积$-△ EBM$面积，即$\frac{27x}{2}-6x = 15$，解得$x = 2$。
12. 两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的$3$倍少$20^{\circ}$，则这两个角的度数分别是.
答案
$10^{\circ},10^{\circ}$或$50^{\circ},130^{\circ}$
解析
设其中一个角为$x^{\circ}$，则另一个角为$(3x - 20)^{\circ}$。
∵两个角的两边分别平行，∴这两个角相等或互补。
①若两角相等，则$x = 3x - 20$，解得$x = 10$，此时两角均为$10^{\circ}$；
②若两角互补，则$x + (3x - 20) = 180$，解得$x = 50$，此时两角分别为$50^{\circ}$和$130^{\circ}$。
综上，这两个角的度数分别是$10^{\circ},10^{\circ}$或$50^{\circ},130^{\circ}$。
∵两个角的两边分别平行，∴这两个角相等或互补。
①若两角相等，则$x = 3x - 20$，解得$x = 10$，此时两角均为$10^{\circ}$；
②若两角互补，则$x + (3x - 20) = 180$，解得$x = 50$，此时两角分别为$50^{\circ}$和$130^{\circ}$。
综上，这两个角的度数分别是$10^{\circ},10^{\circ}$或$50^{\circ},130^{\circ}$。
三、解答题
13. 如图，在由边长为$1$个单位长度的小正方形组成的网格中，三角形$ABC$的顶点都在格点上，将三角形$ABC$向右平移$1$个单位长度，再向上平移$3$个单位长度，得到三角形$DEF$，其中点$A$，$B$，$C$的对应点分别为点$D$，$E$，$F$.
（1）在图中画出平移后的三角形$DEF$；
（2）过点$A$画$BC$的垂线$AH$，垂足为$H$；
（3）在整个平移过程中，求线段$AC$扫过的面积.
13. 如图，在由边长为$1$个单位长度的小正方形组成的网格中，三角形$ABC$的顶点都在格点上，将三角形$ABC$向右平移$1$个单位长度，再向上平移$3$个单位长度，得到三角形$DEF$，其中点$A$，$B$，$C$的对应点分别为点$D$，$E$，$F$.
（1）在图中画出平移后的三角形$DEF$；
（2）过点$A$画$BC$的垂线$AH$，垂足为$H$；
（3）在整个平移过程中，求线段$AC$扫过的面积.
答案
（1）
将$△ ABC$各点向右平移$1$个单位，向上平移$3$个单位，
得到$D(2,4)$，$E(0,2)$，$F(3,3)$，
在图中画出$△ DEF$。
（2）
由图可画垂线$AH$，垂直于$BC$，垂足为$H$。
（3）
$AC$的长度：
$ \sqrt{(1-4)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{9 + 9} = 3\sqrt{2} $，
$AC$扫过的面积为平行四边形面积：
$ 1 × (3\sqrt{2} × \cos 45°) + 3 × (3\sqrt{2} × \cos 45°) = 12 $。
或线段$AC$扫过的面积为平行四边形，其面积为$CF× CD=\sqrt{2}× 6×\sqrt{2}=12$。
所以线段$AC$扫过的面积为$12$。
将$△ ABC$各点向右平移$1$个单位，向上平移$3$个单位，
得到$D(2,4)$，$E(0,2)$，$F(3,3)$，
在图中画出$△ DEF$。
（2）
由图可画垂线$AH$，垂直于$BC$，垂足为$H$。
（3）
$AC$的长度：
$ \sqrt{(1-4)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{9 + 9} = 3\sqrt{2} $，
$AC$扫过的面积为平行四边形面积：
$ 1 × (3\sqrt{2} × \cos 45°) + 3 × (3\sqrt{2} × \cos 45°) = 12 $。
或线段$AC$扫过的面积为平行四边形，其面积为$CF× CD=\sqrt{2}× 6×\sqrt{2}=12$。
所以线段$AC$扫过的面积为$12$。
14. 如图，直线$AB$，$CD$相交于点$O$，$OD$平分$∠BOE$，$OF$平分$∠AOE$.
（1）判断$OF$与$OD$的位置关系，并证明；
（2）若$∠AOC = 30^{\circ}$，求$∠EOF$的度数.
（1）判断$OF$与$OD$的位置关系，并证明；
（2）若$∠AOC = 30^{\circ}$，求$∠EOF$的度数.
答案
（1）OF⊥OD。
证明：∵OD平分∠BOE，∴∠DOE=1/2∠BOE。
∵OF平分∠AOE，∴∠EOF=1/2∠AOE。
∵∠AOE+∠BOE=180°（平角定义），
∴∠DOF=∠EOF+∠DOE=1/2∠AOE+1/2∠BOE=1/2(∠AOE+∠BOE)=1/2×180°=90°，
∴OF⊥OD。
（2）∵∠AOC=30°，∠AOC=∠BOD（对顶角相等），∴∠BOD=30°。
∵OD平分∠BOE，∴∠BOE=2∠BOD=60°。
∵∠AOE+∠BOE=180°，∴∠AOE=180°-∠BOE=120°。
∵OF平分∠AOE，∴∠EOF=1/2∠AOE=60°。
证明：∵OD平分∠BOE，∴∠DOE=1/2∠BOE。
∵OF平分∠AOE，∴∠EOF=1/2∠AOE。
∵∠AOE+∠BOE=180°（平角定义），
∴∠DOF=∠EOF+∠DOE=1/2∠AOE+1/2∠BOE=1/2(∠AOE+∠BOE)=1/2×180°=90°，
∴OF⊥OD。
（2）∵∠AOC=30°，∠AOC=∠BOD（对顶角相等），∴∠BOD=30°。
∵OD平分∠BOE，∴∠BOE=2∠BOD=60°。
∵∠AOE+∠BOE=180°，∴∠AOE=180°-∠BOE=120°。
∵OF平分∠AOE，∴∠EOF=1/2∠AOE=60°。
15. 如图，已知$∠ABC = ∠C$，$∠A = ∠E$.
（1）求证：$AD// BE$；
（2）若$∠1 = ∠2 = 69^{\circ}$，$∠DBE = 2∠CBD$，求$∠A$的度数.
（1）求证：$AD// BE$；
（2）若$∠1 = ∠2 = 69^{\circ}$，$∠DBE = 2∠CBD$，求$∠A$的度数.
答案
（1）见解析；（2）69°
解析
（1）证明：∵∠ABC=∠C，∴AB//CD（内错角相等，两直线平行），∴∠A=∠ADC（两直线平行，内错角相等），∵∠A=∠E，∴∠ADC=∠E，∴AD//BE（同位角相等，两直线平行）。
（2）设∠CBD=x，则∠DBE=2x，∴∠CBE=∠CBD+∠DBE=3x。∵AD//BE，∠1=69°，∴∠E=∠1=69°（两直线平行，同位角相等），∵∠A=∠E，∴∠A=69°。
（2）设∠CBD=x，则∠DBE=2x，∴∠CBE=∠CBD+∠DBE=3x。∵AD//BE，∠1=69°，∴∠E=∠1=69°（两直线平行，同位角相等），∵∠A=∠E，∴∠A=69°。
