18. 下图是某单位办公区域的建筑平面图（图中长度单位：$\mathrm{m}$），图中的四边形均是长方形或正方形。
(1) 会客室和会议室的占地面积分别是多少平方米？
(2) 若$x+y=5,xy=6$，则会议室比会客室大多少平方米？

18. (1) 解：会客室的占地面积为$(x - y)[2x + y - (x + y)] = (x - y)x = (x^{2} - xy)(\mathrm{m}^{2})$。
会议室的占地面积为$(2x + y)(2x + y - x) = 2x^{2} + 2xy + xy + y^{2} = (2x^{2} + 3xy + y^{2})(\mathrm{m}^{2})$。
答：会客室的占地面积是$(x^{2} - xy)\ \mathrm{m}^{2}$，会议室的占地面积是$(2x^{2} + 3xy + y^{2})\ \mathrm{m}^{2}$。
(2) 解：$2x^{2} + 3xy + y^{2} - (x^{2} - xy) = 2x^{2} + 3xy + y^{2} - x^{2} + xy = (x^{2} + 4xy + y^{2})(\mathrm{m}^{2})$。
因为$x + y = 5$，所以$(x + y)^{2} = 25$，
所以$x^{2} + 2xy + y^{2} = 25$。
又因为$xy = 6$，
所以$x^{2} + 4xy + y^{2} = 25 + 2 × 6 = 37(\mathrm{m}^{2})$。
答：会议室比会客室大$37\ \mathrm{m}^{2}$。

19. 在学习了幂的乘除后，我们经常会遇到比较幂的大小的问题。对于此类问题，通常有两种解决方法：一种是将幂化为底数相同的形式；另一种是将幂化为指数相同的形式。请阅读下列材料：
若$a^{3}=2,b^{5}=3$，则$a,b$的大小关系是$a$(填“$＞$”或“$＜$”)$b$。
解：因为$a^{15}=(a^{3})^{5}=2^{5}=32,b^{15}=(b^{5})^{3}=3^{3}=27$，且$32＞27$，
所以$a^{15}＞b^{15}$，
所以$a＞b$。
类比上面阅读材料的方法，解答下列问题。
(1) 上述解题过程中，运用的运算性质是()
A. 同底数幂的乘法
B. 同底数幂的除法
C. 幂的乘方
D. 积的乘方
(2) 试比较$81^{31},27^{41},9^{61}$的大小。

19. (1) 答案为C。
(2) 解：因为$81^{31} = (3^{4})^{31} = 3^{124}$，$27^{41} = (3^{3})^{41} = 3^{123}$，$9^{61} = (3^{2})^{61} = 3^{122}$，所以$81^{31} ＞ 27^{41} ＞ 9^{61}$。

20. 如图①，$AB// CD$，$F$为定点，$E,P$分别是$AB,CD$上的动点。
(1) 请说明：$∠ EFP=∠ BEF+∠ FPD$。
(2) 移动$E,P$，使得$∠ EFP=90°$，如图②，作$∠ FEG=∠ BEF$，请写出$∠ AEG$与$∠ FPD$之间的数量关系，并说明理由。

20. (1) 解：如图①，过点$F$作$MN // AB$，
所以$∠ BEF = ∠ EFN$（两直线平行，内错角相等）。
因为$MN // AB$，$AB // CD$，
所以$MN // CD$，
所以$∠ NFP = ∠ FPD$（两直线平行，内错角相等）。
因为$∠ EFP = ∠ EFN + ∠ NFP$，
所以$∠ EFP = ∠ BEF + ∠ FPD$。
(2) $∠ AEG = 2∠ FPD$。理由如下：
如图②，延长$EF$交$DC$于点$Q$。
因为$AB // CD$，
所以$∠ 1 = ∠ BEF$（两直线平行，内错角相等）。
又因为$∠ FEG = ∠ BEF$，
所以$∠ FEG = ∠ 1$，
$∠ AEG = 180° - (∠ FEG + ∠ BEF) = 180° - 2∠ 1$。
因为$∠ EFP = 90°$，
所以$∠ QFP = 180° - ∠ EFP = 90°$，
所以$∠ 1 = 180° - ∠ QFP - ∠ FPD = 90° - ∠ FPD$，
所以$∠ AEG = 180° - 2∠ 1 = 180° - 2(90° - ∠ FPD)$，
所以$∠ AEG = 2∠ FPD$。