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1. 如图,在$△ ABC$中,已知$AC=20$,$AB$边的垂直平分线交$AB$于点$D$,交$AC$于点$E$。若$△ BCE$的周长为 35,则$BC$的长为
15
。答案
15
2. 如图,$DE$是$△ ABC$的边$AB$的垂直平分线,分别交$AB$,$BC$于点$D$,$E$,$AE$平分$∠ BAC$。若$∠ B=34°$,则$∠ C=$
78
°。答案
78
3. 如图,$AD⊥ BE$,$BD=DE$,点$E$在线段$AC$的垂直平分线上。若$AB=6\ \mathrm{cm}$,$BD=3\ \mathrm{cm}$,则$DC=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$。
答案
9
4. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$DE$是$AB$的垂直平分线,连接$AD$。若$BD=3CD$,则$S_{△ AED}:S_{△ ABC}=$
$3:8$
。答案
$3:8$
5. 在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ A=36°$,$AB$的垂直平分线$MN$交$AC$于点$D$。有下列结论:①$∠ C=72°$; ②$BD$是$△ ABC$的中线;③$∠ BDC=100°$;④$△ ABD$是等腰三角形;⑤$AD=BD=BC$。其中正确的有
①④⑤
(填序号)。答案
①④⑤
6. 如图,$P,Q$是$△ ABC$的边$BC$上的两点,且$AB=AC$,$AP=AQ$。
请说明:$BP=CQ$。
请说明:$BP=CQ$。
答案
如图，过点$A$作$AO ⊥ BC$于点$O$。
因为$AB = AC$，$AO ⊥ BC$，
所以$BO = CO$。
因为$AP = AQ$，$AO ⊥ BC$，
所以$PO = QO$，
所以$BO - PO = CO - QO$，
所以$BP = CQ$。
因为$AB = AC$，$AO ⊥ BC$，
所以$BO = CO$。
因为$AP = AQ$，$AO ⊥ BC$，
所以$PO = QO$，
所以$BO - PO = CO - QO$，
所以$BP = CQ$。
7. 如图,在四边形$ABCD$中,$DE$垂直平分$AB$,$DF$垂直平分$BC$,垂足分别为$E$,$F$。
(1)请说明:$DA=DC$。
(2)若$∠ A=70°$,$∠ C=60°$,求$∠ ADC$的度数。
(1)请说明:$DA=DC$。
(2)若$∠ A=70°$,$∠ C=60°$,求$∠ ADC$的度数。
答案
(1)如图，连接$DB$。
因为$DE$垂直平分$AB$，$DF$垂直平分$BC$，
所以$DA = DB$，$DC = DB$，
所以$DA = DC$。
(2)因为$DA = DB$，$∠ A = 70°$，
所以$∠ DBA = ∠ A = 70°$。
因为$DC = DB$，$∠ C = 60°$，
所以$∠ DBC = ∠ C = 60°$，
所以$∠ ABC = ∠ DBA + ∠ DBC = 130°$。
因为$∠ A + ∠ ABC + ∠ C + ∠ ADC = 360°$，
所以$∠ ADC = 360° - 70° - 60° - 130° = 100°$。
因为$DE$垂直平分$AB$，$DF$垂直平分$BC$，
所以$DA = DB$，$DC = DB$，
所以$DA = DC$。
(2)因为$DA = DB$，$∠ A = 70°$，
所以$∠ DBA = ∠ A = 70°$。
因为$DC = DB$，$∠ C = 60°$，
所以$∠ DBC = ∠ C = 60°$，
所以$∠ ABC = ∠ DBA + ∠ DBC = 130°$。
因为$∠ A + ∠ ABC + ∠ C + ∠ ADC = 360°$，
所以$∠ ADC = 360° - 70° - 60° - 130° = 100°$。
