27. 如图,$\triangle ABC是\odot O$的内接三角形,AB 是$\odot O$的直径,弦$CD⊥AB$,垂足为 E. 设$BD= 1,∠D= 30^{\circ }$,求图中阴影部分的面积.

解：如图过O作OF⊥AC于F ,连接OC


∵CD⊥AB
∴BC= BD，∠BEC=90°
∴BC=BD=1，∠D=∠BCE=30°
∴∠ABC=180°-∠BEC-∠BCE= 60°
∵OB=OC 
∴△OBC是等边三角形
∴OB=OC=BC=1 ,∠BOC=60°
∴∠AOC=180°-∠BOC=180° -60°=120°
∵AB是圆O的直径
∴∠ACB= 90°
∴∠BAC+∠ABC= 90°
∴∠BAC= 90°-∠ABC =90°-60°=30°
∵OA=OC，OC=OB=1 
∴OA=OB=1
∴AB=OA+OB=1+1=2
∴ $AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt3$
∵OF⊥AC
∴∠OFA=90°
∴ $OF=\frac 12OA=\frac 12$
∴ $S_{阴影}=S_{扇形}-S_{△OAC}$
  $=\frac {120π×OC^2}{360}-\frac 12×AC×OF$
  $=\frac 13π-\frac {\sqrt3}4$

28. 如图,AB 是$\odot O$的直径,AC 是$\odot O$的弦,$OD⊥AC$,垂足为 D,DO 的延长线交$\odot O$于点 E,$EF⊥AB$,垂足为 F,DF、CB 的延长线相交于点 G.
(1)$∠ODF与∠OFD$相等吗？为什么？
(2) 判断 GE 与$\odot O$的位置关系,并说明理由.

解：(1)∠ODF与∠OFD相等，理由如下 :
∵OD⊥AC, EF⊥AB
∴∠ADO=∠EFO= 90°
在△AOD和△EOF中
$\begin{cases}∠ADO=∠EFO\\∠AOD= ∠EOF\\OA=OE\end{cases}$
∴△AOD≌△EOF(AAS)
∴OD=OF
∴∠ODF=∠OFD

解：(2)GE与圆O的位置关系是相切，理由如下 :
∵AB是圆O的直径
∴∠ACB=90°，OA=OB=OF+BF
∴∠ADO=∠ACB =90°
∴DE//CG
∴∠ODF=∠BGF
∵∠OFD=∠BFG,∠ODF=∠OFD
∴∠BFG=∠BGF
∴BF= BG
∵OD⊥ AC
∴AD=DC
∴OD是△ABC的中位线
∴BC=2OD
∵OA=OE,OD=OF,
∴DE=OE+OD=OA+OD= BF+OF+OD= BG+OD+OD=BG+BC=CG
∴四边形CDGE是平行四边形
∵∠C=90°
∴四边形CDEG是矩形
∴∠OEG= 90°
∴OE⊥GE
而OE是圆O的半径
∴GE与圆O相切