10. 如图,$A$,$B两块试验田相距200\ m$,$C$为水源地,$AC= 160\ m$,$BC= 120\ m$,为了方便灌溉,现有如下两种方案修筑水渠。甲方案：从水源地$C直接修筑两条水渠分别到实验田A$,$B$；乙方案：过点$C作AB$的垂线,垂足为$H$,先从水源地$C修筑一条水渠到AB所在直线上的H$处,再从$H处分别向实验田A$,$B$进行修筑。
(1)请判断$△ ABC$的形状(要求写出推理过程)。
(2)两种方案中,哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明。

(1)在$△ ABC$中，已知$AC=160m,BC=120m,AB=200m$，
因为$AC^{2} + BC^{2} =160^{2} + 120^{2} =25600 + 14400 = 40000$，
$AB^{2} = 200^{2}=40000$，
所以$AC^{2} + BC^{2} = AB^{2}$。
根据勾股定理的逆定理，$△ ABC$是直角三角形，且$∠ ACB = 90^{\circ}$。
(2)甲方案：$AC + BC = 160 + 120 = 280(m)$。
乙方案：因为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CH$，
即$\frac{1}{2}×160×120=\frac{1}{2}×200× CH$，
可得$CH = 96m$。
在$Rt△ ACH$中，根据勾股定理$AH=\sqrt{AC^{2}-CH^{2}}=\sqrt{160^{2}-96^{2}} = 128m$。
在$Rt△ BCH$中，$BH=\sqrt{BC^{2}-CH^{2}}=\sqrt{120^{2}-96^{2}} = 72m$。
所以$AH + BH=128 + 72 = 200m$，$CH + AH + BH=96+200 = 296m$。
因为$280＜296$，所以甲方案所修的水渠较短。

11. 如图,在$△ ABD$中,$AC⊥ BD$,垂足为$C$,点$E在AC$上,连接$BE$,$DE$,延长$DE交AB于点F$。已知$AB= DE$,$∠ EBC= ∠ CAD= 45^{\circ}$。$BC= a$,$AC= b$,$AB= c$。利用图中阴影部分面积的两种不同计算方法证明$a^2+b^2= c^2$。

证明：
1. 等腰直角三角形性质：
因$AC ⊥ BD$，$∠ EBC = 45°$，故$△ EBC$为等腰直角三角形，得$EC = BC = a$。
因$∠ CAD = 45°$，$AC ⊥ BD$，故$△ ACD$为等腰直角三角形，得$CD = AC = b$，则$BD = BC + CD = a + b$。
2. 三角形全等：
在$△ ABC$和$△ DEC$中，$\{\begin{array}{l} BC = EC = a \\ ∠ ACB = ∠ DCE = 90° \\ AC = DC = b \end{array} $，故$△ ABC ≌ △ DEC$（SAS），得$AB = DE = c$，$∠ BAC = ∠ EDC$。
3. 垂直关系：
因$∠ BAC + ∠ ABC = 90°$，故$∠ EDC + ∠ ABC = 90°$。在$△ BFD$中，$∠ BFD = 180° - (∠ EDC + ∠ ABC) = 90°$，即$DE ⊥ AB$。
4. 阴影面积计算方法一：
$△ ADE$与$△ BDE$面积之和：
$S = S_{△ ADE} + S_{△ BDE} = \frac{1}{2} · AF · DE + \frac{1}{2} · BF · DE = \frac{1}{2} · AB · DE = \frac{1}{2}c^2$。
5. 阴影面积计算方法二：
$△ ADE$与$△ BDE$面积之和 = $S_{△ ABD} - S_{△ ABE}$：
$S_{△ ABD} = \frac{1}{2} · BD · AC = \frac{1}{2}(a + b)b$，
$S_{△ ABE} = \frac{1}{2} · AE · BC = \frac{1}{2}(b - a)a$，
故$S = \frac{1}{2}(a + b)b - \frac{1}{2}(b - a)a = \frac{1}{2}(a^2 + b^2)$。
6. 结论：
由两种方法得$\frac{1}{2}(a^2 + b^2) = \frac{1}{2}c^2$，即$a^2 + b^2 = c^2$。
证毕。