1. 找规律：4，12，21，31，42，()，67，()，()，112。

54，81，96

计算相邻两数的差：12-4=8，21-12=9，31-21=10，42-31=11，差依次为8，9，10，11，规律是差依次加1。下一个差为12，42+12=54；再下一个差13，67-54=13（验证正确）；接着差14，67+14=81；差15，81+15=96；差16，96+16=112（验证正确）。

2. 学校组织活动，要从 8 名女生、7 名男生中各选 1 名做主持人，共有()种不同的选法。

56

从 8 名女生中选 1 名，有 8 种选法；从 7 名男生中选 1 名，有 7 种选法。根据乘法原理，做一件事，完成它需要分成$n$个步骤，做第一步有$m_1$种不同的方法，做第二步有$m_2$种不同的方法……做第$n$步有$m_n$种不同的方法，那么完成这件事共有$N = m_1× m_2×···× m_n$种不同的方法。所以选主持人的不同选法一共有$8×7 = 56$（种）。

3. $a$、$b$、$c$ 各代表一个数，如果 $a + b - c = 18$，$a - b + c = 6$，$b = 4c$，那么 $a + 2b =$()。

28

已知$b = 4c$，将其代入$a + b - c = 18$与$a - b + c = 6$中，
可得$a+4c - c = 18$，即$a + 3c = 18$ ①；
$a - 4c + c = 6$，即$a - 3c = 6$ ②；
①式加②式可得：$a+3c+a - 3c=18 + 6$，
$2a=24$，
解得$a = 12$；
把$a = 12$代入①式可得：$12+3c = 18$，
$3c=18 - 12=6$，
解得$c = 2$；
因为$b = 4c$，所以$b=4×2 = 8$；
则$a + 2b=12+2×8=12 + 16=28$。

4. 有 28 个精密零件，其中有 1 个较重。假如用天平称，至少称()次才能保证找出这个较重的零件。

4

将28个零件分为9个，9个，10个三组，将9个的两组放在天平上称，若天平不平衡，那么较重的零件在较重的那9个中；若天平平衡，那么较重的零件在10个的那组中；对于9个的情况，再分为3个，3个，3个三组，取其中两组称，可确定在哪一组3个中；再对这3个分为1个，1个，1个三组，取其中两个称，可找出较重的零件；对于10个的情况，可分为3个，3个，4个三组，对3个的两组称，若平衡则在4个中，再将4个分为1个，1个，2个三组，取1个的两组称，若平衡则在2个中，再称一次可找出；若第一次称3个的两组不平衡，则在较重的3个中，再按前面9个中找的方法进行；这样至少称4次才能保证找出这个较重的零件。

5. 下面各图形中的数之间都有相同的规律。根据此规律，$n$ 的值是()。
| 1 | 2 |
| 3 | 5 |
| 3 | 4 |
| 5 | 17 |
| 5 | 6 |
| 7 | 37 |
| 7 | |
| | $n$ |

65

观察图形，每个图形中四个数记为：
第一行：a，b；第二行：c，d。
规律：a依次为1,3,5,7（奇数递增）；b依次为2,4,6,8（偶数递增）；c依次为3,5,7,9（奇数递增）；且d=a×b+c。
第一个图形：1×2+3=5；第二个：3×4+5=17；第三个：5×6+7=37。
第四个图形：a=7，b=8，c=9，n=7×8+9=65。

二、简答题
6. 提升题 明明在计算 $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1$ 时，想到了用数形结合的方法来探究。他将每个数视为小正方形的个数，然后通过移动右边的小正方形拼成一个大正方形来进行研究。
图形： →
算式： $1 + 2 + 1 = 2^{2} = 4$
图形： →
算式： $1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 3^{2} = 9$

图形： →
算式：$1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 = 4^{2} = 16$
……
(1) 观察上面的图形和算式，请你画出下面算式对应的大正方形，并将算式补充完整。
算式：$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = ($$) )=($$)(2) 请你把下面的算式补充完整。① $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = () )=()
② $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = ($$) )=($$)③ $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = () )=()
④ $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = ($$) )=($$)(3) 若按此规律继续拼下去，则 $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + ··· + n + (n - 1) + ··· + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = () )。

(1)
算式：$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = (5^{2})=(25)$
(2)
①$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = (6^{2})=(36)$
②$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = (7^{2})=(49)$
③$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = (8^{2})=(64)$
④$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = (10^{2})=(100)$
(3)$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + ··· + n + (n - 1) + ··· + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = (n^{2})$