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1. 填空
(1) $ 5 × \frac{2}{3} $既可以表示()，又可以表示()。
$ \frac{10}{4} × \frac{2}{3} $表示()。
(2) 一件衣服打八折出售，八折表示()。
(3) 一根木材重$ \frac{5}{4} $吨，8根这样的木材重()吨，$ \frac{2}{3} $根这样的木材重()吨。
(4) $ \frac{5}{8} × M $，当$ M $()时，积大于$ \frac{5}{8} $；当$ M $()时，积小于$ \frac{5}{8} $。
(1) $ 5 × \frac{2}{3} $既可以表示()，又可以表示()。
$ \frac{10}{4} × \frac{2}{3} $表示()。
(2) 一件衣服打八折出售，八折表示()。
(3) 一根木材重$ \frac{5}{4} $吨，8根这样的木材重()吨，$ \frac{2}{3} $根这样的木材重()吨。
(4) $ \frac{5}{8} × M $，当$ M $()时，积大于$ \frac{5}{8} $；当$ M $()时，积小于$ \frac{5}{8} $。
答案
(1) 5个$\frac{2}{3}$相加的和是多少；5的$\frac{2}{3}$是多少；$\frac{10}{4}$的$\frac{2}{3}$是多少
(2) 现价是原价的$\frac{8}{10}$（或80%）
(3) 10；$\frac{5}{6}$
(4) 大于1；小于1
(2) 现价是原价的$\frac{8}{10}$（或80%）
(3) 10；$\frac{5}{6}$
(4) 大于1；小于1
解析
1. (1) 根据分数乘法的意义，整数乘分数既可以表示几个相同分数的和，也可以表示这个整数的几分之几是多少；分数乘分数表示求一个分数的几分之几是多少。
(2) 折扣的含义：几折表示现价是原价的十分之几，八折即现价是原价的$\frac{8}{10}$。
(3) 求多根木材总重用乘法：$\frac{5}{4}×8=10$（吨）；求部分木材重量：$\frac{5}{4}×\frac{2}{3}=\frac{5}{6}$（吨）。
(4) 依据积与因数的大小关系：不为0的数乘大于1的数，积大于原数；乘小于1的数，积小于原数。
(2) 折扣的含义：几折表示现价是原价的十分之几，八折即现价是原价的$\frac{8}{10}$。
(3) 求多根木材总重用乘法：$\frac{5}{4}×8=10$（吨）；求部分木材重量：$\frac{5}{4}×\frac{2}{3}=\frac{5}{6}$（吨）。
(4) 依据积与因数的大小关系：不为0的数乘大于1的数，积大于原数；乘小于1的数，积小于原数。
2. 计算
$ 70 × \frac{5}{14} $ $ \frac{7}{12} × \frac{2}{5} $ $ \frac{7}{12} + \frac{2}{5} $ $ \frac{7}{12} - \frac{2}{5} $
$ \frac{17}{18} × \frac{9}{34} $ $ 222 × \frac{4}{333} $ $ \frac{1}{7} - \frac{1}{8} $ $ \frac{7}{45} × \frac{9}{14} $
$ 70 × \frac{5}{14} $ $ \frac{7}{12} × \frac{2}{5} $ $ \frac{7}{12} + \frac{2}{5} $ $ \frac{7}{12} - \frac{2}{5} $
$ \frac{17}{18} × \frac{9}{34} $ $ 222 × \frac{4}{333} $ $ \frac{1}{7} - \frac{1}{8} $ $ \frac{7}{45} × \frac{9}{14} $
答案
$70 × \frac{5}{14} = (70÷14)×5 = 5×5 = 25$
$\frac{7}{12} × \frac{2}{5} = \frac{7×(2÷2)}{(12÷2)×5} = \frac{7×1}{6×5} = \frac{7}{30}$
$\frac{7}{12} + \frac{2}{5} = \frac{35}{60} + \frac{24}{60} = \frac{59}{60}$
$\frac{7}{12} - \frac{2}{5} = \frac{35}{60} - \frac{24}{60} = \frac{11}{60}$
$\frac{17}{18} × \frac{9}{34} = \frac{(17÷17)×(9÷9)}{(18÷9)×(34÷17)} = \frac{1×1}{2×2} = \frac{1}{4}$
$222 × \frac{4}{333} = \frac{(222÷111)×4}{333÷111} = \frac{2×4}{3} = \frac{8}{3}$
$\frac{1}{7} - \frac{1}{8} = \frac{8}{56} - \frac{7}{56} = \frac{1}{56}$
$\frac{7}{45} × \frac{9}{14} = \frac{(7÷7)×(9÷9)}{(45÷9)×(14÷7)} = \frac{1×1}{5×2} = \frac{1}{10}$
$\frac{7}{12} × \frac{2}{5} = \frac{7×(2÷2)}{(12÷2)×5} = \frac{7×1}{6×5} = \frac{7}{30}$
$\frac{7}{12} + \frac{2}{5} = \frac{35}{60} + \frac{24}{60} = \frac{59}{60}$
$\frac{7}{12} - \frac{2}{5} = \frac{35}{60} - \frac{24}{60} = \frac{11}{60}$
$\frac{17}{18} × \frac{9}{34} = \frac{(17÷17)×(9÷9)}{(18÷9)×(34÷17)} = \frac{1×1}{2×2} = \frac{1}{4}$
$222 × \frac{4}{333} = \frac{(222÷111)×4}{333÷111} = \frac{2×4}{3} = \frac{8}{3}$
$\frac{1}{7} - \frac{1}{8} = \frac{8}{56} - \frac{7}{56} = \frac{1}{56}$
$\frac{7}{45} × \frac{9}{14} = \frac{(7÷7)×(9÷9)}{(45÷9)×(14÷7)} = \frac{1×1}{5×2} = \frac{1}{10}$
解析
【分析】
这是一组分数的乘、加、减运算题，需根据不同运算类型选择对应方法计算：
1. 整数乘分数：先观察整数与分母是否有公因数，优先约分再计算，可简化运算；
2. 分数乘分数：先对分子、分母进行交叉约分，再将约分后的分子相乘作新分子，分母相乘作新分母；
3. 分数加减法：异分母分数需先通分，找到分母的最小公倍数化为同分母分数，再按同分母分数加减法规则计算（分子相加减，分母不变），最后结果化为最简分数。
接下来逐个计算每道小题：
计算$70 × \frac{5}{14}$时，70和14的最大公因数是14，先约分再计算；
计算$\frac{7}{12} × \frac{2}{5}$时，12和2有公因数2，交叉约分后再相乘；
计算$\frac{7}{12} + \frac{2}{5}$和$\frac{7}{12} - \frac{2}{5}$时，12和5互质，最小公倍数是60，通分后再进行加减；
计算$\frac{17}{18} × \frac{9}{34}$时，17和34、18和9分别有公因数，交叉约分后计算；
计算$222 × \frac{4}{333}$时，222和333的最大公因数是111，先约分再计算；
计算$\frac{1}{7} - \frac{1}{8}$时，7和8互质，最小公倍数是56，通分后相减；
计算$\frac{7}{45} × \frac{9}{14}$时，7和14、45和9分别有公因数，交叉约分后计算。
【解析】
1. $70 × \frac{5}{14} = (70÷14)×5 = 5×5 = 25$
2. $\frac{7}{12} × \frac{2}{5} = \frac{7×(2÷2)}{(12÷2)×5} = \frac{7×1}{6×5} = \frac{7}{30}$
3. $\frac{7}{12} + \frac{2}{5} = \frac{35}{60} + \frac{24}{60} = \frac{59}{60}$
4. $\frac{7}{12} - \frac{2}{5} = \frac{35}{60} - \frac{24}{60} = \frac{11}{60}$
5. $\frac{17}{18} × \frac{9}{34} = \frac{(17÷17)×(9÷9)}{(18÷9)×(34÷17)} = \frac{1×1}{2×2} = \frac{1}{4}$
6. $222 × \frac{4}{333} = \frac{(222÷111)×4}{333÷111} = \frac{2×4}{3} = \frac{8}{3}$
7. $\frac{1}{7} - \frac{1}{8} = \frac{8}{56} - \frac{7}{56} = \frac{1}{56}$
8. $\frac{7}{45} × \frac{9}{14} = \frac{(7÷7)×(9÷9)}{(45÷9)×(14÷7)} = \frac{1×1}{5×2} = \frac{1}{10}$
【答案】
$25$；$\frac{7}{30}$；$\frac{59}{60}$；$\frac{11}{60}$；$\frac{1}{4}$；$\frac{8}{3}$；$\frac{1}{56}$；$\frac{1}{10}$
【知识点】
整数乘分数、分数乘分数、分数加减法
【点评】
本题涵盖分数的基础运算类型，重点考查约分和通分的技巧，熟练运用简便计算方法可提升运算效率。解题时需准确判断运算类型，严格遵循对应规则，注意约分、通分的准确性，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
这是一组分数的乘、加、减运算题，需根据不同运算类型选择对应方法计算：
1. 整数乘分数：先观察整数与分母是否有公因数，优先约分再计算，可简化运算；
2. 分数乘分数：先对分子、分母进行交叉约分，再将约分后的分子相乘作新分子，分母相乘作新分母；
3. 分数加减法：异分母分数需先通分，找到分母的最小公倍数化为同分母分数，再按同分母分数加减法规则计算（分子相加减，分母不变），最后结果化为最简分数。
接下来逐个计算每道小题：
计算$70 × \frac{5}{14}$时，70和14的最大公因数是14，先约分再计算；
计算$\frac{7}{12} × \frac{2}{5}$时，12和2有公因数2，交叉约分后再相乘；
计算$\frac{7}{12} + \frac{2}{5}$和$\frac{7}{12} - \frac{2}{5}$时，12和5互质，最小公倍数是60，通分后再进行加减；
计算$\frac{17}{18} × \frac{9}{34}$时，17和34、18和9分别有公因数，交叉约分后计算；
计算$222 × \frac{4}{333}$时，222和333的最大公因数是111，先约分再计算；
计算$\frac{1}{7} - \frac{1}{8}$时，7和8互质，最小公倍数是56，通分后相减；
计算$\frac{7}{45} × \frac{9}{14}$时，7和14、45和9分别有公因数，交叉约分后计算。
【解析】
1. $70 × \frac{5}{14} = (70÷14)×5 = 5×5 = 25$
2. $\frac{7}{12} × \frac{2}{5} = \frac{7×(2÷2)}{(12÷2)×5} = \frac{7×1}{6×5} = \frac{7}{30}$
3. $\frac{7}{12} + \frac{2}{5} = \frac{35}{60} + \frac{24}{60} = \frac{59}{60}$
4. $\frac{7}{12} - \frac{2}{5} = \frac{35}{60} - \frac{24}{60} = \frac{11}{60}$
5. $\frac{17}{18} × \frac{9}{34} = \frac{(17÷17)×(9÷9)}{(18÷9)×(34÷17)} = \frac{1×1}{2×2} = \frac{1}{4}$
6. $222 × \frac{4}{333} = \frac{(222÷111)×4}{333÷111} = \frac{2×4}{3} = \frac{8}{3}$
7. $\frac{1}{7} - \frac{1}{8} = \frac{8}{56} - \frac{7}{56} = \frac{1}{56}$
8. $\frac{7}{45} × \frac{9}{14} = \frac{(7÷7)×(9÷9)}{(45÷9)×(14÷7)} = \frac{1×1}{5×2} = \frac{1}{10}$
【答案】
$25$；$\frac{7}{30}$；$\frac{59}{60}$；$\frac{11}{60}$；$\frac{1}{4}$；$\frac{8}{3}$；$\frac{1}{56}$；$\frac{1}{10}$
【知识点】
整数乘分数、分数乘分数、分数加减法
【点评】
本题涵盖分数的基础运算类型，重点考查约分和通分的技巧，熟练运用简便计算方法可提升运算效率。解题时需准确判断运算类型，严格遵循对应规则，注意约分、通分的准确性，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
3. 解决问题
(1) 一条绳子长20米，第一次用了全长的$ \frac{1}{5} $，第二次用了全长的$ \frac{1}{4} $。
①两次共用去全长的几分之几？
②两次各用去多少米？
(2) 今年4月份，某市下雨的天数占$ \frac{2}{5} $。这个月有多少天下雨？
(1) 一条绳子长20米，第一次用了全长的$ \frac{1}{5} $，第二次用了全长的$ \frac{1}{4} $。
①两次共用去全长的几分之几？
②两次各用去多少米？
(2) 今年4月份，某市下雨的天数占$ \frac{2}{5} $。这个月有多少天下雨？
答案
(1)①
$\frac{1}{5} + \frac{1}{4} = \frac{4}{20} + \frac{5}{20} = \frac{9}{20}$
答：两次共用去全长的$\frac{9}{20}$。
②
第一次：$20×\frac{1}{5}=4$（米）
第二次：$20×\frac{1}{4}=5$（米）
答：第一次用去4米，第二次用去5米。
(2)
$30×\frac{2}{5}=12$（天）
答：这个月有12天下雨。
$\frac{1}{5} + \frac{1}{4} = \frac{4}{20} + \frac{5}{20} = \frac{9}{20}$
答：两次共用去全长的$\frac{9}{20}$。
②
第一次：$20×\frac{1}{5}=4$（米）
第二次：$20×\frac{1}{4}=5$（米）
答：第一次用去4米，第二次用去5米。
(2)
$30×\frac{2}{5}=12$（天）
答：这个月有12天下雨。
解析
【分析】
(1)①：要求两次共用去全长的几分之几，由于两次用去的都是占全长的分率，直接将两个分率相加即可，计算时先通分再求和。
(1)②：要求两次各用去的具体长度，本质是求绳子全长的几分之几是多少，用全长分别乘两次对应的分率就能得到结果。
(2)：首先明确4月份有30天，求下雨的天数，就是求30的$\frac{2}{5}$是多少，用乘法计算即可。
【解析】
(1)①
$\frac{1}{5} + \frac{1}{4} = \frac{4}{20} + \frac{5}{20} = \frac{9}{20}$
答：两次共用去全长的$\frac{9}{20}$。
②
第一次：$20×\frac{1}{5}=4$（米）
第二次：$20×\frac{1}{4}=5$（米）
答：第一次用去4米，第二次用去5米。
(2)
$30×\frac{2}{5}=12$（天）
答：这个月有12天下雨。
【答案】
(1)①两次共用去全长的$\frac{9}{20}$；②第一次用去4米，第二次用去5米；(2)这个月有12天下雨。
【知识点】
分数加减法、分数乘法应用、年月日认识
【点评】
本题主要考查分数的加减运算和分数乘法在实际生活中的应用，同时需要学生掌握4月份有30天的常识，属于基础题型，能帮助学生区分分率与具体量，巩固分数运算的基本方法。
【难度系数】
0.8
(1)①：要求两次共用去全长的几分之几，由于两次用去的都是占全长的分率，直接将两个分率相加即可，计算时先通分再求和。
(1)②：要求两次各用去的具体长度，本质是求绳子全长的几分之几是多少，用全长分别乘两次对应的分率就能得到结果。
(2)：首先明确4月份有30天，求下雨的天数，就是求30的$\frac{2}{5}$是多少，用乘法计算即可。
【解析】
(1)①
$\frac{1}{5} + \frac{1}{4} = \frac{4}{20} + \frac{5}{20} = \frac{9}{20}$
答：两次共用去全长的$\frac{9}{20}$。
②
第一次：$20×\frac{1}{5}=4$（米）
第二次：$20×\frac{1}{4}=5$（米）
答：第一次用去4米，第二次用去5米。
(2)
$30×\frac{2}{5}=12$（天）
答：这个月有12天下雨。
【答案】
(1)①两次共用去全长的$\frac{9}{20}$；②第一次用去4米，第二次用去5米；(2)这个月有12天下雨。
【知识点】
分数加减法、分数乘法应用、年月日认识
【点评】
本题主要考查分数的加减运算和分数乘法在实际生活中的应用，同时需要学生掌握4月份有30天的常识，属于基础题型，能帮助学生区分分率与具体量，巩固分数运算的基本方法。
【难度系数】
0.8
4. 一杯糖水重500克，含糖$ \frac{3}{10} $。把这杯糖水喝掉$ \frac{3}{5} $，喝掉的糖水中含糖多少克？
答案
500×$\frac{3}{10}$=150（克）
150×$\frac{3}{5}$=90（克）
答：喝掉的糖水中含糖90克。
150×$\frac{3}{5}$=90（克）
答：喝掉的糖水中含糖90克。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以分两步思考：首先，整杯糖水的含糖量是均匀的，先根据糖水总重量和含糖比例算出整杯糖水的总含糖量；然后，因为喝掉的糖水占整杯的$\frac{3}{5}$，且喝掉部分的含糖比例与整杯相同，所以用总含糖量乘以喝掉的糖水占比，就能得到喝掉的糖水中含糖的重量。
【解析】
第一步：计算整杯糖水的总含糖量
$500×\frac{3}{10}=150$（克）
第二步：计算喝掉的糖水中含糖的重量
$150×\frac{3}{5}=90$（克）
答：喝掉的糖水中含糖90克。
【答案】
90克
【知识点】
分数乘法的应用、求一个数的几分之几是多少
【点评】
本题考查分数乘法在实际生活中的应用，核心是理解糖水的均匀性，即喝掉部分的含糖率与原糖水一致。解题时可通过两步计算得出结果，也可先算喝掉的糖水重量再乘含糖率，两种方法本质相同，帮助学生巩固分数乘法的意义。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们可以分两步思考：首先，整杯糖水的含糖量是均匀的，先根据糖水总重量和含糖比例算出整杯糖水的总含糖量；然后，因为喝掉的糖水占整杯的$\frac{3}{5}$，且喝掉部分的含糖比例与整杯相同，所以用总含糖量乘以喝掉的糖水占比，就能得到喝掉的糖水中含糖的重量。
【解析】
第一步：计算整杯糖水的总含糖量
$500×\frac{3}{10}=150$（克）
第二步：计算喝掉的糖水中含糖的重量
$150×\frac{3}{5}=90$（克）
答：喝掉的糖水中含糖90克。
【答案】
90克
【知识点】
分数乘法的应用、求一个数的几分之几是多少
【点评】
本题考查分数乘法在实际生活中的应用，核心是理解糖水的均匀性，即喝掉部分的含糖率与原糖水一致。解题时可通过两步计算得出结果，也可先算喝掉的糖水重量再乘含糖率，两种方法本质相同，帮助学生巩固分数乘法的意义。
【难度系数】
0.8
