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14. 在 $ △ ABC $ 中，$ a $，$ b $，$ c $ 分别为角 $ A $，$ B $，$ C $ 的对边，若 $ ∠ B = 60° $，求 $ \frac{c}{a + b} + \frac{a}{c + b} $ 的值。
答案
14. 1
解析
【解析】
已知在$△ABC$中，$∠B=60°$，根据余弦定理：
$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{1}{2}$，
整理得$a^2 + c^2 - b^2 = ac$，即$a^2 + c^2 = ac + b^2$。
对$\frac{c}{a + b} + \frac{a}{c + b}$通分：
$\frac{c(c + b) + a(a + b)}{(a + b)(c + b)} = \frac{c^2 + bc + a^2 + ab}{ac + ab + bc + b^2}$，
将$a^2 + c^2 = ac + b^2$代入分子：
分子$= (ac + b^2) + bc + ab = ac + b^2 + ab + bc$，
分子与分母相等，故原式$=1$。
【答案】
1
【知识点】
余弦定理，分式化简
【点评】
本题考查余弦定理的应用与分式的化简运算，关键是利用余弦定理得到边的关系，再代入分式完成化简求值。
【难度系数】
0.6
已知在$△ABC$中，$∠B=60°$，根据余弦定理：
$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{1}{2}$，
整理得$a^2 + c^2 - b^2 = ac$，即$a^2 + c^2 = ac + b^2$。
对$\frac{c}{a + b} + \frac{a}{c + b}$通分：
$\frac{c(c + b) + a(a + b)}{(a + b)(c + b)} = \frac{c^2 + bc + a^2 + ab}{ac + ab + bc + b^2}$，
将$a^2 + c^2 = ac + b^2$代入分子：
分子$= (ac + b^2) + bc + ab = ac + b^2 + ab + bc$，
分子与分母相等，故原式$=1$。
【答案】
1
【知识点】
余弦定理，分式化简
【点评】
本题考查余弦定理的应用与分式的化简运算，关键是利用余弦定理得到边的关系，再代入分式完成化简求值。
【难度系数】
0.6
15. 我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(记作 $ \mathrm{sad} $). 如图①，在 $ △ ABC $ 中，$ AB = AC $，顶角 $ A $ 的正对记做 $ \mathrm{sad} A $，这时 $ \mathrm{sad} A = \frac{\mathrm{底边}}{\mathrm{腰}} = \frac{BC}{AB} $. 容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的. 根据上述角的正对定义，解下列问题：
(1) $ \mathrm{sad} 60° = $
(2) 如图②，在 $ △ ABC $ 中，$ CB = CA $，若 $ \mathrm{sad} C = \frac{6}{5} $，求 $ \tan B $ 的值；
(3) 在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90° $，若 $ \sin A = \frac{4}{5} $，求 $ \mathrm{sad} A $ 的值.
(1) $ \mathrm{sad} 60° = $
1
；(2) 如图②，在 $ △ ABC $ 中，$ CB = CA $，若 $ \mathrm{sad} C = \frac{6}{5} $，求 $ \tan B $ 的值；
(3) 在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90° $，若 $ \sin A = \frac{4}{5} $，求 $ \mathrm{sad} A $ 的值.
答案
15. (1)1
解析:
∵顶角为 60°的等腰三角形是等边三角形，
∴sin 60° = 底边 / 腰 = 1 / 1 = 1.故答案为 1.
(2)解:如图，作 CD⊥BA 于点 D,
在△ABC 中,
∵CB = CA,
sin C = 6 / 5,sin C = AB / BC,
∴AB = 6 / 5 BC,BD = AD = 1 / 2 AB = 3 / 5 BC,
∴CD = √(BC² - BD²) = √(BC² - (3 / 5 BC)²) = 4 / 5 BC,
∴tan B = CD / BD = (4 / 5 BC) / (3 / 5 BC) = 4 / 3,即 tan B = 4 / 3.
(3)解:设 AB = 5a,则 BC = 4a,AC = 3a.
如图所示,在 AB 上截取 AD = AC = 3a,作 DE⊥AC 于点 E.
在 Rt△ABC 中,
∵∠C = 90°,sin A = 4 / 5,
∴DE = AD·sin A = 3a×4 / 5 = 12a / 5.
∴AE = √(AD² - DE²) = √(9a² - 144 / 25 a²) = 9a / 5,
∴CE = AC - AE = 3a - 9a / 5 = 6a / 5,
∴CD = √(EC² + ED²) = √((6a / 5)² + (12a / 5)²) = 6√5 a / 5.
∴sin A = CD / AC = (6√5 / 5 a) / (3a) = 2√5 / 5,
即 sin A = 2√5 / 5.
解析
【解析】
(1) 当顶角为$60°$时，等腰三角形为等边三角形，三边相等，因此$\mathrm{sad} 60°=\frac{BC}{AB}=\frac{AB}{AB}=1$。
(2) 如图，作$CD⊥ BA$于点$D$。
$\because CB = CA$，$\mathrm{sad} C=\frac{6}{5}=\frac{AB}{BC}$，
$\therefore AB=\frac{6}{5}BC$，$BD=AD=\frac{1}{2}AB=\frac{3}{5}BC$。
由勾股定理得：$CD=\sqrt{BC^2 - BD^2}=\sqrt{BC^2 - (\frac{3}{5}BC)^2}=\frac{4}{5}BC$，
$\therefore \tan B=\frac{CD}{BD}=\frac{\frac{4}{5}BC}{\frac{3}{5}BC}=\frac{4}{3}$。
(3) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$\sin A=\frac{4}{5}$，设$AB=5a$，则$BC=4a$，$AC=3a$。
在$AB$上截取$AD=AC=3a$，作$DE⊥ AC$于点$E$。
$DE=AD·\sin A=3a×\frac{4}{5}=\frac{12a}{5}$，
$AE=\sqrt{AD^2 - DE^2}=\sqrt{(3a)^2 - (\frac{12a}{5})^2}=\frac{9a}{5}$，
$CE=AC - AE=3a - \frac{9a}{5}=\frac{6a}{5}$，
$CD=\sqrt{EC^2 + ED^2}=\sqrt{(\frac{6a}{5})^2 + (\frac{12a}{5})^2}=\frac{6\sqrt{5}a}{5}$，
$\therefore \mathrm{sad} A=\frac{CD}{AC}=\frac{\frac{6\sqrt{5}a}{5}}{3a}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{1}$；(2) $\boldsymbol{\frac{4}{3}}$；(3) $\boldsymbol{\frac{2\sqrt{5}}{5}}$
【知识点】
等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【点评】
本题考查新定义“正对”的理解与运用，需结合等腰三角形性质、勾股定理、三角函数定义求解，理解新定义是解题核心。
【难度系数】
0.6
(1) 当顶角为$60°$时，等腰三角形为等边三角形，三边相等，因此$\mathrm{sad} 60°=\frac{BC}{AB}=\frac{AB}{AB}=1$。
(2) 如图，作$CD⊥ BA$于点$D$。
$\because CB = CA$，$\mathrm{sad} C=\frac{6}{5}=\frac{AB}{BC}$，
$\therefore AB=\frac{6}{5}BC$，$BD=AD=\frac{1}{2}AB=\frac{3}{5}BC$。
由勾股定理得：$CD=\sqrt{BC^2 - BD^2}=\sqrt{BC^2 - (\frac{3}{5}BC)^2}=\frac{4}{5}BC$，
$\therefore \tan B=\frac{CD}{BD}=\frac{\frac{4}{5}BC}{\frac{3}{5}BC}=\frac{4}{3}$。
(3) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$\sin A=\frac{4}{5}$，设$AB=5a$，则$BC=4a$，$AC=3a$。
在$AB$上截取$AD=AC=3a$，作$DE⊥ AC$于点$E$。
$DE=AD·\sin A=3a×\frac{4}{5}=\frac{12a}{5}$，
$AE=\sqrt{AD^2 - DE^2}=\sqrt{(3a)^2 - (\frac{12a}{5})^2}=\frac{9a}{5}$，
$CE=AC - AE=3a - \frac{9a}{5}=\frac{6a}{5}$，
$CD=\sqrt{EC^2 + ED^2}=\sqrt{(\frac{6a}{5})^2 + (\frac{12a}{5})^2}=\frac{6\sqrt{5}a}{5}$，
$\therefore \mathrm{sad} A=\frac{CD}{AC}=\frac{\frac{6\sqrt{5}a}{5}}{3a}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{1}$；(2) $\boldsymbol{\frac{4}{3}}$；(3) $\boldsymbol{\frac{2\sqrt{5}}{5}}$
【知识点】
等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【点评】
本题考查新定义“正对”的理解与运用，需结合等腰三角形性质、勾股定理、三角函数定义求解，理解新定义是解题核心。
【难度系数】
0.6
