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5. 求出三角形各个角的度数。
(1)我是等腰三角形，一个底角是$34°$，另外两个角各是多少度？
(2)我是一个直角三角形，一个锐角是$72°$，另外两个角各是多少度？
(1)我是等腰三角形，一个底角是$34°$，另外两个角各是多少度？
(2)我是一个直角三角形，一个锐角是$72°$，另外两个角各是多少度？
答案
5. (1) 34° 112° (2) 18° 90°
解析
【分析】
(1) 对于等腰三角形，首先明确其核心特征：两个底角相等。已知一个底角是$34°$，所以另一个底角必然也是$34°$；再根据三角形内角和为$180°$，用内角和减去两个底角的度数和，即可求出顶角的度数。
(2) 直角三角形的关键特征是有一个角为$90°$，已知一个锐角是$72°$，结合三角形内角和$180°$，用$180°$减去直角和已知锐角的度数，就能算出另一个锐角的度数。
【解析】
(1) 因为等腰三角形的两个底角相等，所以另一个底角的度数为$34°$。
顶角的度数：$180° - 34°×2 = 180° - 68° = 112°$。
(2) 直角三角形必有一个角是$90°$，
另一个锐角的度数：$180° - 90° - 72° = 18°$。
【答案】
(1) $34°$，$112°$；(2) $90°$，$18°$
【知识点】
等腰三角形性质、直角三角形性质、三角形内角和定理
【点评】
本题考查三角形的基础性质，重点在于运用等腰三角形、直角三角形的角的特征，结合三角形内角和定理计算未知角度，题型基础，能有效巩固三角形的核心概念，帮助学生加深对特殊三角形的理解。
【难度系数】
0.8
(1) 对于等腰三角形，首先明确其核心特征：两个底角相等。已知一个底角是$34°$，所以另一个底角必然也是$34°$；再根据三角形内角和为$180°$，用内角和减去两个底角的度数和，即可求出顶角的度数。
(2) 直角三角形的关键特征是有一个角为$90°$，已知一个锐角是$72°$，结合三角形内角和$180°$，用$180°$减去直角和已知锐角的度数，就能算出另一个锐角的度数。
【解析】
(1) 因为等腰三角形的两个底角相等，所以另一个底角的度数为$34°$。
顶角的度数：$180° - 34°×2 = 180° - 68° = 112°$。
(2) 直角三角形必有一个角是$90°$，
另一个锐角的度数：$180° - 90° - 72° = 18°$。
【答案】
(1) $34°$，$112°$；(2) $90°$，$18°$
【知识点】
等腰三角形性质、直角三角形性质、三角形内角和定理
【点评】
本题考查三角形的基础性质，重点在于运用等腰三角形、直角三角形的角的特征，结合三角形内角和定理计算未知角度，题型基础，能有效巩固三角形的核心概念，帮助学生加深对特殊三角形的理解。
【难度系数】
0.8
(1)三角形中任意两个内角之和都大于第三个内角，这个三角形是(
A.钝角三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
B
)。A.钝角三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
答案
1. (1) B
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以结合三角形内角和定理，逐步分析不同类型三角形的内角关系：
1. 先明确三角形内角和为180°，题目要求是“任意两个内角之和都大于第三个内角”；
2. 逐一分析选项：钝角三角形有一个钝角大于90°，另外两个内角之和必然小于90°，小于这个钝角，不满足条件；直角三角形的两个锐角之和等于90°，等于直角，不满足“大于”的要求；只有锐角三角形的三个内角都小于90°，任意两个内角之和等于180°减去第三个内角，因为第三个内角小于90°，所以180°减去它的结果必然大于90°，也就大于第三个内角，满足题目条件。
【解析】
1. 已知三角形内角和为180°，根据题目条件“任意两个内角之和都大于第三个内角”，对各选项分析如下：
选项A（钝角三角形）：设钝角为α（α＞90°），则另外两个内角之和为180°-α，因为α＞90°，所以180°-α＜90°＜α，即两个内角之和小于第三个内角，不满足条件；
选项C（直角三角形）：直角为90°，另外两个锐角之和为180°-90°=90°，等于第三个内角，不满足“大于”的要求；
选项B（锐角三角形）：三个内角均小于90°，任意两个内角之和=180°-第三个内角，由于第三个内角＜90°，则180°-第三个内角＞90°＞第三个内角，满足“任意两个内角之和都大于第三个内角”的条件。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理、三角形分类
【点评】
本题考查不同类型三角形的内角特征，需要结合三角形内角和定理对每个选项进行推理分析，重点在于理解各类三角形内角之间的数量关系，是对三角形基础性质的典型考查。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以结合三角形内角和定理，逐步分析不同类型三角形的内角关系：
1. 先明确三角形内角和为180°，题目要求是“任意两个内角之和都大于第三个内角”；
2. 逐一分析选项：钝角三角形有一个钝角大于90°，另外两个内角之和必然小于90°，小于这个钝角，不满足条件；直角三角形的两个锐角之和等于90°，等于直角，不满足“大于”的要求；只有锐角三角形的三个内角都小于90°，任意两个内角之和等于180°减去第三个内角，因为第三个内角小于90°，所以180°减去它的结果必然大于90°，也就大于第三个内角，满足题目条件。
【解析】
1. 已知三角形内角和为180°，根据题目条件“任意两个内角之和都大于第三个内角”，对各选项分析如下：
选项A（钝角三角形）：设钝角为α（α＞90°），则另外两个内角之和为180°-α，因为α＞90°，所以180°-α＜90°＜α，即两个内角之和小于第三个内角，不满足条件；
选项C（直角三角形）：直角为90°，另外两个锐角之和为180°-90°=90°，等于第三个内角，不满足“大于”的要求；
选项B（锐角三角形）：三个内角均小于90°，任意两个内角之和=180°-第三个内角，由于第三个内角＜90°，则180°-第三个内角＞90°＞第三个内角，满足“任意两个内角之和都大于第三个内角”的条件。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理、三角形分类
【点评】
本题考查不同类型三角形的内角特征，需要结合三角形内角和定理对每个选项进行推理分析，重点在于理解各类三角形内角之间的数量关系，是对三角形基础性质的典型考查。
【难度系数】
0.8
(2)一个三角形，其中两个角的和是$90°$，这个三角形是(
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
A
)。A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
答案
1. (2) A
解析
【分析】
首先回忆三角形内角和为180°，题目中给出两个角的和是90°，那么用内角和减去这两个角的和，就能算出第三个角的度数。根据直角三角形的定义，有一个角是90°的三角形就是直角三角形，由此可以判断该三角形的类型。
【解析】
1. 三角形的内角和是180°；
2. 已知两个角的和是90°，则第三个角的度数为：180° - 90° = 90°；
3. 根据直角三角形的定义：有一个角是直角（90°）的三角形是直角三角形，所以这个三角形是直角三角形，选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和，直角三角形定义
【点评】
本题主要考查三角形内角和定理以及直角三角形的定义，属于基础题型，只要熟练掌握这两个知识点，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
首先回忆三角形内角和为180°，题目中给出两个角的和是90°，那么用内角和减去这两个角的和，就能算出第三个角的度数。根据直角三角形的定义，有一个角是90°的三角形就是直角三角形，由此可以判断该三角形的类型。
【解析】
1. 三角形的内角和是180°；
2. 已知两个角的和是90°，则第三个角的度数为：180° - 90° = 90°；
3. 根据直角三角形的定义：有一个角是直角（90°）的三角形是直角三角形，所以这个三角形是直角三角形，选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和，直角三角形定义
【点评】
本题主要考查三角形内角和定理以及直角三角形的定义，属于基础题型，只要熟练掌握这两个知识点，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
(3)一个等腰三角形，它的一个底角与顶角度数的和是$150°$，这个三角形的一个底角是(
A.$30°$
B.$100°$
C.$75°$
A
)。A.$30°$
B.$100°$
C.$75°$
答案
1. (3) A
解析
【分析】
首先回忆三角形内角和为180°，题目已知一个底角与顶角度数的和是150°，那么用三角形内角和减去这个和，即可得到另一个底角的度数；又因为等腰三角形的两个底角相等，所以这个结果就是该三角形一个底角的度数。
【解析】
1. 三角形内角和为180°，已知一个底角与顶角度数和是150°，则另一个底角的度数为：
$180° - 150° = 30°$
2. 由于等腰三角形的两个底角相等，所以这个三角形的一个底角是30°，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理，等腰三角形性质
【点评】
本题考查三角形内角和与等腰三角形的基本性质，属于基础题型，只要熟练掌握相关知识点，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
首先回忆三角形内角和为180°，题目已知一个底角与顶角度数的和是150°，那么用三角形内角和减去这个和，即可得到另一个底角的度数；又因为等腰三角形的两个底角相等，所以这个结果就是该三角形一个底角的度数。
【解析】
1. 三角形内角和为180°，已知一个底角与顶角度数和是150°，则另一个底角的度数为：
$180° - 150° = 30°$
2. 由于等腰三角形的两个底角相等，所以这个三角形的一个底角是30°，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理，等腰三角形性质
【点评】
本题考查三角形内角和与等腰三角形的基本性质，属于基础题型，只要熟练掌握相关知识点，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
(4)下面每组中三个角的度数，不能在同一个三角形内的是(
A.$15°$、$87°$、$78°$
B.$80°$、$50°$、$50°$
C.$90°$、$16$、$104°$
C
)。A.$15°$、$87°$、$78°$
B.$80°$、$50°$、$50°$
C.$90°$、$16$、$104°$
答案
1. (4) C
解析
【分析】
要判断三个角能否在同一个三角形内，需依据三角形内角和为180°这一核心定理。解题思路是分别计算每组三个角的度数之和，若和等于180°，则这三个角可以在同一个三角形内；若和不等于180°，则不能在同一个三角形内。接下来依次对每个选项进行计算验证即可。
【解析】
根据三角形内角和为180°，分别计算各选项三个角的度数和：
选项A：$15° + 87° + 78° = 180°$，符合三角形内角和定理，这三个角可以在同一个三角形内；
选项B：$80° + 50° + 50° = 180°$，符合三角形内角和定理，这三个角可以在同一个三角形内；
选项C：$90° + 16° + 104° = 210° ≠ 180°$，不符合三角形内角和定理，这三个角不能在同一个三角形内。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题考查三角形内角和定理的基础应用，难度较低，解题关键是牢记三角形内角和为180°，通过简单的加法运算即可判断结果，帮助学生巩固对三角形基本性质的理解。
【难度系数】
0.9
要判断三个角能否在同一个三角形内，需依据三角形内角和为180°这一核心定理。解题思路是分别计算每组三个角的度数之和，若和等于180°，则这三个角可以在同一个三角形内；若和不等于180°，则不能在同一个三角形内。接下来依次对每个选项进行计算验证即可。
【解析】
根据三角形内角和为180°，分别计算各选项三个角的度数和：
选项A：$15° + 87° + 78° = 180°$，符合三角形内角和定理，这三个角可以在同一个三角形内；
选项B：$80° + 50° + 50° = 180°$，符合三角形内角和定理，这三个角可以在同一个三角形内；
选项C：$90° + 16° + 104° = 210° ≠ 180°$，不符合三角形内角和定理，这三个角不能在同一个三角形内。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题考查三角形内角和定理的基础应用，难度较低，解题关键是牢记三角形内角和为180°，通过简单的加法运算即可判断结果，帮助学生巩固对三角形基本性质的理解。
【难度系数】
0.9
2. 想一想，算一算。
答案
2. 55° 30°, 60° 107°, 30°
解析
【分析】
这三道题均围绕三角形内角和与平角的性质展开计算，解题思路如下：
1. 第一个图：已知直角三角形的直角和一个锐角，利用三角形内角和减去已知的两个角，即可求出∠2的度数。
2. 第二个图：先借助平角的性质求出∠2，再结合直角三角形的直角，用三角形内角和算出∠1。
3. 第三个图：先通过平角求出∠2，再用三角形内角和减去已知的两个角，得到∠1的度数。
【解析】
1. 第一个图形：
该三角形是直角三角形，其中一个角为$90°$，已知一个锐角为$35°$，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠2 = 180° - 90° - 35° = 55°$
2. 第二个图形：
$∠2$与$120°$组成平角，平角为$180°$，因此：
$∠2 = 180° - 120° = 60°$
该三角形是直角三角形，有一个角为$90°$，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠1 = 180° - 90° - 60° = 30°$
3. 第三个图形：
$∠2$与$150°$组成平角，平角为$180°$，因此：
$∠2 = 180° - 150° = 30°$
根据三角形内角和为$180°$，已知一个角是$43°$，可得：
$∠1 = 180° - 43° - 30° = 107°$
【答案】
$∠2 = 55°$；$∠1 = 30°$，$∠2 = 60°$；$∠1 = 107°$，$∠2 = 30°$
【知识点】
三角形内角和、平角的性质
【点评】
本题主要考查三角形内角和与平角性质的综合应用，需要熟练掌握这两个基础几何性质，明确直角三角形的直角为$90°$，通过已知角度逐步推导未知角度，培养几何角度计算的逻辑思维。
【难度系数】
0.7
这三道题均围绕三角形内角和与平角的性质展开计算，解题思路如下：
1. 第一个图：已知直角三角形的直角和一个锐角，利用三角形内角和减去已知的两个角，即可求出∠2的度数。
2. 第二个图：先借助平角的性质求出∠2，再结合直角三角形的直角，用三角形内角和算出∠1。
3. 第三个图：先通过平角求出∠2，再用三角形内角和减去已知的两个角，得到∠1的度数。
【解析】
1. 第一个图形：
该三角形是直角三角形，其中一个角为$90°$，已知一个锐角为$35°$，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠2 = 180° - 90° - 35° = 55°$
2. 第二个图形：
$∠2$与$120°$组成平角，平角为$180°$，因此：
$∠2 = 180° - 120° = 60°$
该三角形是直角三角形，有一个角为$90°$，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠1 = 180° - 90° - 60° = 30°$
3. 第三个图形：
$∠2$与$150°$组成平角，平角为$180°$，因此：
$∠2 = 180° - 150° = 30°$
根据三角形内角和为$180°$，已知一个角是$43°$，可得：
$∠1 = 180° - 43° - 30° = 107°$
【答案】
$∠2 = 55°$；$∠1 = 30°$，$∠2 = 60°$；$∠1 = 107°$，$∠2 = 30°$
【知识点】
三角形内角和、平角的性质
【点评】
本题主要考查三角形内角和与平角性质的综合应用，需要熟练掌握这两个基础几何性质，明确直角三角形的直角为$90°$，通过已知角度逐步推导未知角度，培养几何角度计算的逻辑思维。
【难度系数】
0.7
3. 如图，在三角形$ABC$中，$∠A = 60°$，$AB = AC$，$∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4$。求$∠D$的度数。
答案
3. 120°
解析
【分析】
首先，根据AB=AC且∠A=60°，可判定△ABC是等边三角形，从而得出∠ABC和∠ACB的度数均为60°；接着，由∠1=∠2，∠3=∠4，可推出∠2是∠ABC的一半，∠4是∠ACB的一半，进而求出∠2+∠4的度数；最后，利用三角形内角和为180°，在△BDC中计算出∠D的度数。
【解析】
1. 判定△ABC为等边三角形：
因为AB=AC，∠A=60°，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，可得△ABC是等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=60°。
2. 计算∠2和∠4的度数：
已知∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2=∠ABC÷2=60°÷2=30°，∠4=∠ACB÷2=60°÷2=30°，则∠2+∠4=30°+30°=60°。
3. 计算∠D的度数：
在△BDC中，根据三角形内角和定理（三角形内角和为180°），可得∠D=180°-(∠2+∠4)=180°-60°=120°。
【答案】
120°
【知识点】
等边三角形判定与性质，三角形内角和定理
【点评】
本题结合等腰三角形、等边三角形的性质与三角形内角和定理进行考查，解题关键是通过角的等量关系求出∠2与∠4的和，再利用内角和计算∠D，整体思路清晰，侧重基础知识点的综合应用。
【难度系数】
0.6
首先，根据AB=AC且∠A=60°，可判定△ABC是等边三角形，从而得出∠ABC和∠ACB的度数均为60°；接着，由∠1=∠2，∠3=∠4，可推出∠2是∠ABC的一半，∠4是∠ACB的一半，进而求出∠2+∠4的度数；最后，利用三角形内角和为180°，在△BDC中计算出∠D的度数。
【解析】
1. 判定△ABC为等边三角形：
因为AB=AC，∠A=60°，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，可得△ABC是等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=60°。
2. 计算∠2和∠4的度数：
已知∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2=∠ABC÷2=60°÷2=30°，∠4=∠ACB÷2=60°÷2=30°，则∠2+∠4=30°+30°=60°。
3. 计算∠D的度数：
在△BDC中，根据三角形内角和定理（三角形内角和为180°），可得∠D=180°-(∠2+∠4)=180°-60°=120°。
【答案】
120°
【知识点】
等边三角形判定与性质，三角形内角和定理
【点评】
本题结合等腰三角形、等边三角形的性质与三角形内角和定理进行考查，解题关键是通过角的等量关系求出∠2与∠4的和，再利用内角和计算∠D，整体思路清晰，侧重基础知识点的综合应用。
【难度系数】
0.6
